冀教版九年级上册数学第二十八章 圆28.4《垂径定理》课件PPT

5. 如图，在⊙O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条 弦，OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，求证：四边形 ADOE 是正方形． 证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，
∴∠OEA =∠EAD =∠ODA = 90°. ∴ 四边形 ADOE 为矩形，
C E ·O
又∵AC = AB， ∴ AE = AD. ∴ 四边形 ADOE 为正方形.
4．如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 8 cm，圆心 O 到
弦 AB 的距离为 3 cm，求⊙O 的半径．
解：∵作 OE⊥AB 于点 E，连接 OA，
∴ AE 1 AB 1 8 4.
A
2
2
在 Rt△AOE 中，
∵ AO2 OE2 AE2，
EB · O
∴ AO = OE2 + AE2 = 32 + 42 = 5 cm 答：⊙O 的半径为 5 cm.
A DB
第四部分 PART 04
课堂小结
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当堂练习
1.已知⊙O 中，弦 AB = 8 cm，圆心到 AB 的距离为 3 cm，则此圆的半径为 5 cm.
2.已知⊙O 的直径 AB = 20 cm，∠BAC = 30°，则弦 AC = 10 3 cm.
3.（分类讨论题）已知⊙O 的半径为 10 cm，弦 MN ∥EF，且 MN = 12 cm，EF = 16 cm，则弦 MN 和 EF 之间的距离为 14 cm 或 2 cm .
B
M D B
O
N
解决有关弦的问题，经常过圆心作弦的垂线， 或作垂直于弦的直径，并构造半径等辅助线，为应 用垂径定理创造条件.
二 垂径定理的实际应用 例4 赵州桥的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长) 为 37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2 m，求赵 州桥主桥拱的半径.
解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 AB
即赵州桥主桥拱的半径约为 27.9 m.
O
第三部分 PART 03
巩固练习
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课堂小结
内容
垂径 定理
推论 辅助线
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分这条弦所对的两条弧.
一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦；③ 平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就 可以推出其它三个结论（“知二推三”）
两条辅助线：
弦心距：圆心到弦
连半径，作弦心距 的垂线段的长度
例3 已知：⊙O 中弦 AB∥CD，求证：AC = BD .
证明：作直径 MN⊥AB，如图.
M
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
C
A
则 AM = BM，CM = DM .（垂直
平分弦的直径平分弦所对的弧）
D B
.O
∴ AM－CM = BM －DM .
∴ AC = BD.
N
归纳总结
C
A
B
A
O
A
EO CD
学习目标
1.复习并巩固圆心角和圆周角的相关知识. 2.理解并掌握垂径定理及其推论的推导过程. (重点) 3.能够运用垂径定理及其推论解决实际问题. (难点)
导入新课
观察与思考 赵州桥的主桥是圆弧形，它的跨度(弧 所对的弦长)为 37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2 m，你知道如何求出赵州桥主桥拱的半径吗？
证明猜想
① CD 是直径 ② CD⊥AB，垂足为 E
③ AE = BE
④ AC BC ⑤ AD BD
C
举例证明其中一种组合方法
已知: O
求证：
E
A
B
D
证明举例
如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使 AE = BE.
（1）CD⊥AB 吗？为什么？
C
（2）AC与 BC 相等吗？AD 与 BD 相等吗？
解析：连接 OA. ∵ OE⊥AB，
AEB
∴ AE OA2 OE2
O·
102 62 8 cm.
∴ AB = 2AE = 16 cm.
例2 如图，⊙O 的弦 AB＝8 cm ，直径 CE⊥AB 于 D
，DC＝2 cm，求半径 OC 的长.
解：连接 OA. ∵ CE⊥AB 于 D，
E
∴ AD 1 AB 1 8 4 (cm).
为什么？
解：(1)连接 AO、BO，则 AO = BO.
·O
又∵AE = BE，∴△AOE≌△BOE(SSS).
∴∠AEO =∠BEO = 90°. ∴CD⊥AB. A E
B
(2)由垂径定理可得 AC BC，AD BD.
D
归纳总结
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦
所对的弧.
C
C
C
A O
E A
B
B
O A
O
E
BA
O EB D
D
是
不是，因为
是
没有垂直
不是，因为 AB，CD 都
不是直径
归纳总结
➢垂径定理的几种基本图形：
C
A
O
O
E A
D BA
B
D
E
DB O
C
O A CB
例1 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm， OE = 6 cm，则 AB = 16 cm.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？
C
如果不能，请举出反例. ：
圆的两条直径都是互相平分的 .
A
·O
B D
垂径定理的本质是： （1）一条直线过圆心
满足其中任 两条，必定 同时满足另 三条
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分不是直径的弦
（4）这条直线平分不是直径的弦所 对的优弧
（5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧
2
2
设 OC = x cm，则 OD = x - 2，
·O
根据勾股定理，得
AD B
x2 = 42 + ( x - 2)2，解得 x = 5.
C
即半径 OC 的长为 5 cm.
思考探索
如果把垂径定理 (垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧) 结论与题设交换一条，命题是真命 题吗？
①过圆心； ②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个 结论吗？
于点 C，交 AB 于点 D，则 CD = 7.2 m.
由垂径定理，得 AD = 1 AB = 18.7 m，
设⊙O 的半径为 R. 2
C
在 Rt△AOD 中，AO = R，
A
D
B
OD = R - 7.2，AD = 18.7.
由勾股定理，得 AO 2 OD2 AD2，
∴ R2 = (R - 7.2)2 + 18.72，解得 R ≈ 27.9.
C
弧：AC BC，AD BD.
理由如下：
·O
把圆沿着直径 CD 折叠时，CD 两侧的两
Байду номын сангаас
E
A
B
个半圆重合，点 A 与点 B 重合，AE 与
D
BE 重合，AC 和 BC， AD 与 BD 重合．
想一想： 已知：在☉O中，CD 是直径，AB 为弦，且 CD⊥AB，
垂足为 E. 求证：AE = BE，AD BD，AC BC .
基本图形及 构造直角三角形，利用勾股 变式图形 定理计算或建立方程.
第二十八章 圆 28.4
垂径定理
冀教版九年级上册数学课件
第二十八章 圆 28.4
垂径定理
冀教版九年级上册数学课件
目 录 CONTENTS
1-新知导入
2-探究新知
3-巩固练习
4-课堂小结
第一部分 PART 01
新知导入
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第二部分 PART 02
探究新知
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且平分这条弦所对的两条弧.
推导格式：
∵ CD 是直径，CD⊥AB，(条件)
C
∴ AE = BE，AC BC， AD BD.(结论) ·O
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的
定理，三种语言要相互转化，形成整体， A E B
才能运用自如.
D
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不
是，请说明为什么？
讲授新课
一 垂径定理及其推论
问题1 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使
CD⊥AB，垂足为 E．
C
(1)圆是轴对称图形吗？
如果是，它的对称轴是什么？
(2)图中有相等的线段和弧吗？
·O
如果有，请说明理由.
E
(1)圆是轴对称图形．
A
B
直径 CD 所在的直线是它的对称轴.
D
(2)线段：AE = BE.
证明：连接 OA、OB，则 OA = OB.
在△AOB 中，∵OA = OB，OE⊥AB，
C
∴AE = BE，∠AOE = ∠BOE.∴ AD BD.
∵∠AOC = 180° - ∠AOE， ∠BOC = 180° - ∠BOE，
·O
∴∠AOC =∠BOC.
∴ AC BC.
AE
B
D
归纳总结 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并