2021_2022学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.5.1函数的零点与方程的解课件新人教
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y=－2x+6
x
【变式练习】
1.求方程2-x =x的根的个数，并确定根所在的区
间[n，n+1](n∈Z)．
解析：求方程 2x 的根的个数，即求方程
x
的根的个数，即判断函数
y 与
x
1
y ( )x
2
y
1
y ( )x
2
y=x
的图象交点个数.由图可
知只有一个解.
1
O
数形结合
1
x ( )x
2)＝0，解得 x＝0 或 x＝±2.
例 函数f(x)=x(x－4)的零点为（ D ）
A．(0，0)，(2，0)
B．0
C．(4，0)，(0，0)，
D．4，0
【解析】选D.由x(x－4)=0得x=0或x=4.
注意：函数的零点是实数，而不是点.
解方程是求函数零点的一种方法
【变式练习】
2
如果二次函数 y＝x ＋2x＋(k＋3)有两个不同的零
A.大于0
B.小于0
C.无法判断
D.等于0
f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在(a,b)上一定有零点，
但是函数y=f(x)在(a,b)上有零点，f(a)f(b)<0不一
定成立.
例3.求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数.
解：方法一 用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表和图象；
-4
4.若函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且 f(x)在
(0，＋∞)上有一个零点．则 f(x)的零点个数为
3
________．
【解析】
根据奇函数的定义 f(－x)＝－f(x)，f(x)在(0，
＋∞)上有一个零点 x0，则－x0 也是 f(x)的零点，
又由于 f(0)＝0，所以 f(x)有 3 个零点．
5.若方程ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一个零点，求
实数a的取值范围．
【解析】 （1）当a=0时，f（x）=-x-1，其零点
为
-1∉（0，1），所以a≠0；
（2）当a≠0时，因为方程ax2-x-1=0在（0，1）
内恰有一解，即二次函数函数f（x）=ax2-x-1在
（0，1）内恰有一个零点，所以f（0）•f（1）＜0，
f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（
）
（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·
f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（
）
（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0，
则f(x)在区间(a,b)内一定存在零点.（
）
不是一个点
结
论
现在知道 如何求没有
公式的方程的根了吗？
方程f(x)＝0有实数根
函数y＝f(x)的图象与x轴有交点
函数y＝f(x)有零点
【即时训练】
3
函数 f(x)＝x －4x 的零点为(
C)
A．(0,0)，(2,0)
B．(－2,0)，(0,0)，(2,0)
C．－2,0,2
D．0,2
【解析】选 C.令 f(x)＝0，得 x(x－2)(x＋
即-1×（a-2）＜0，解得a＞2．
6、求下列函数的零点．
2
(1)y＝－x ＋x＋6；
2
2
(2)y＝(x －2)(x －3x＋2)．
2
【解】 (1)令 y＝0，得－x ＋x＋6＝0，
∴(x＋2)(－x＋3)＝0，
解得 x1＝－2，x2＝3，
2
∴函数 y＝－x ＋x＋6 的零点是－2,3.
2
2
(2)令 y＝0，得(x －2)(x －3x＋2)＝0，
x
0
x1
(x1,0)
x
0
x
没有交点
一
般
结
论
一般地，方程f(x)=0的实数根，也就是其
对应函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
即方程f(x)＝0有实数根
函数y＝f(x)的图象与x轴有交点
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x
叫做函数y=f(x)的零点.
零点指的是一个实数，
意函数图象的连续性
函数的零点存在定理
函数的零点
与方程的解
直观想象：通过确定函数零
点个数及所在区间，培养直
观想象的核心素养
转化法：函数的零点转化为方程的根，
转化为函数图象与x轴的交点
数形结合：借助函数图象与x轴交点
确定零点及方程的根
2
1.在二次函数 y ax bx c 中，ac<0,则其零点的个
-1.306 9
1.098 6
3.386 3
由表可知f(2)<0，f(3)>0，
从而f(2)·f(3)<0,∴函数f(x)
在区间(2,3)内有零点．
由于函数f(x)在定义域
(0,+∞)内是增函数，所
以它仅有一个零点．
5.609 4
7.791 8
9.945 9
12.079 4 14.197 2
y
10
8
数为（ B ）
Ａ.１
Ｂ.２
Ｃ.３
Ｄ.不存在
2.若 y f ( x ) 不是常数函数且最小值为１，则 y f ( x ) 1
的零点个数（ D ）
Ａ.０
Ｂ.１
Ｃ.０或１
Ｄ.不确定
, ≤
3.(2018 · 全 国 卷 I) 已 知 函 数 = {
= + + , 若
f ( x) x 2 2 x 3 在区间 2,1 上有零点.
计算 f (2) 与 f (1) 的乘积，你能发现这
个乘积有什么特点？在区间 2, 4 上是
否也具有这种特点呢？
y
5
4
3
2
1
-2 -1 O
-1
-2
-3
-4
1 2
3 4 5x
观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：
2
2
∴x －2＝0 或 x －3x＋2＝0，
解得 x1＝ 2，x2＝－ 2，x3＝1，x4＝2，
2
2
∴函数 y＝(x －2)(x －3x＋2)的零点是－ 2，
2，1,2.
三个等价关系
方程有实根 函数的图象与 轴有交点 函数有零点
x
零点
零点的存在性定理
零点的求法
代数法
图象法
二次函数的零点与二次方程的实43;c(a
>0)的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0(a
>0)的根
有两相异实根
x1,x2(x1<x2)
得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的一个根.
【即时训练】
2
方程lnx=
x
A.(1,2)
C.(
1
e
必有一个根的区间是( B )
,1)
B.(2,3)
D.(3,+∞)
【解题关键】
将方程转化为函数，利用零点的存在性定理判断
例2
判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例
（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·
C．至多有一个解
D．可能无解，可能有一个或多个解
【解析】选 C.由于函数 y＝f(x)在定义域内
是单调函数，因此若 c 为 f(x)的值域内的
值，则 f(x)＝c 有一个解，若 c 不在 f(x)
的值域内，则 f(x)＝c 无解.
函数零点的定义
函数零点、方程的根、函数的图象
与x轴交点的关系
应用函数零点存在定理时注
f(a)·f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.
（ ）
y
如图,
O a
b x
可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，f(a)·f(b)≥0，
但f(x)在区间(a,b)内有零点.
故论断不正确.
（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0，
则f(x)在区间(a,b)内一定存在零点.（ ）
2
1234
x
1 x
令 f (x) x ( )
2
估算f(x)在各整数处的取值的正负：
－
+
＋
可根据图
象确定大
体区间
＋
由上表可知，方程的根所在区间为 0 , 1 .
2.已知函数 y＝f(x)在定义域内是单调函数，则方
程 f(x)＝c(c 为常数)的解的情况是( C )
A．有且只有一个解
B．至少有一个解
思考：观察图象填空
y
a
c
O
b
d x
<
①在区间(a,b)上,f(a)·f(b)____0(填“＜”或
“＞”)．在区间(a,b)上,______(填“有”或“无”)零
有
点；
<
②在区间(b,c)上,f(b)·f(c) ___0(填“＜”或
有
“＞”)．在区间(b,c)上,______(填“有”或“无”)零
点，则 k 的取值范围是( B )
A．(－2，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，2)
【解析】选 B.由 Δ>0，得 4－4(k＋3)>0，
解得 k<－2.
微课2：
对于不能通过求方程根的方法确定零点的函数该如
何确定零点呢？
观察二次函数 f ( x) x2 2 x 3
的图象，如图，我们发现函数
在区间[-2，1]上有零点______；
x=－1
f(-2)=_______，
f(1)=_______，
－4
5
<
f(-2)·f(1)___0(填“＜”或“＞”)．
在区间(2，4)上有零点______；
x=3
f(2)·f(4)____0（填“＜”或
<
“＞”）．
y
5
4
3
2
1
-2 -1 O
-1
-2
-3
-4
1 2 3 4 5x
6
4
2
O 123456
-2
-4
f(x)=lnx+2x－6
x
方法二：
即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，即求lnx=6-2x的
根的个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个
数.
如图可知，只有一个交点，
即方程只有一根，函数
方程
的根
6
转化
f(x)只有一个零点.
函数
零点
y
图象
交点
y=lnx
O 1234
点；
③在区间(c,d)上f(c)·f(d) <
___0(填“＜”或
有
“＞”)．在区间(c,d)上,____(填“有”或“无”)
零点；
函数零点存在的判断
y
c
O
a
b
x
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不
断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数
y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使
汲取新知识的营养，
让我们一起 走 进 课 堂 吧！
微课1：求出下列一元二次方程的根并作出相应的二次
函数的图象，观察二者有何联系？
（1）方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3
（2）方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1
（3）方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3
你知道方程对应的函
, >
g 存在 2 个零点,则 a 的取值范围是
A. -,
(
)
B. , + ∞ C. -, + ∞ D. , + ∞
【解析】选 C.因为 g(x)=f(x)+x+a 存在 2 个零点,即 y=f(x)与 y=-x-a 有两
个交点,图象如下:
要使得 y=-x-a 与 f(x)有两个交点,则有-a≤1 即 a≥-1.
数是怎么找的吗？
方程
函数
x2-2x-3=0
y=x2-2x-3
x2-2x+1=0
x2-2x+3=0
y=x2-2x+1
y=x2-2x+3
y
y
函
数
的
图
象
方程的实
数根
.
.
2
.
.0
.
1
－1
2
.3
x
1
－2
－3
－4
.
2
1
－1
y
－1
O
.
.
.
1
2
函数的图象
(-1,0)、(3,0)
与x轴的交点
.
2
.
.
.
1
x
－1
.
x1=-1,x2=3
代数方程的正根的解法
你会求什
么方程的
根呢？
今天我们来学习方程的根与函数的零点！
1.理解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的关系.（难点）
2.学习函数零点的判断方法并会判断函数零点的个数.（易错点）
3.学习掌握求函数的零点.（重点）
通过确定函数零点个数及所在区间，培养直观想象的核心素养
体会课堂探究的乐趣，
解析：（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且
f(a)·f(b)< 0 ，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一
个零点.
（ ）
如图,
y
满足条件一定有零点，
但不确定有几个
a
O
b
x
函数y=f(x)在区间(a,b)上有3个零点,故“在区间(a,b)
内有且仅有一个零点”的说法是错误的.
（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且
4.5 函数的应用（二）
4.5.1 函数的零点与方程的解
我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的
求解的问题.如约公元50～100年编成的《九章算术》，
就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体
方法……
11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次
以上的方程的解法.
13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次
3
5
4
O
1
2
3
x1=x2=1
无实数根
(1,0)
无交点
x
判别式Δ=
b2－4ac
Δ=0
Δ＞0
Δ＜0
两个不相等 有两个相等的
方程ax2+bx+c
没有实数根
的实数根x1、 实数根x =x
=0(a＞0)的根
1
2
x2
y
y
函数
y=ax²+bx
+c(a＞0)的
图象
函数的图象
与x轴的交点
x1
0
y
x2
(x1,0),(x2,0)
y
如图,
x
【变式练习】
1.求方程2-x =x的根的个数，并确定根所在的区
间[n，n+1](n∈Z)．
解析：求方程 2x 的根的个数，即求方程
x
的根的个数，即判断函数
y 与
x
1
y ( )x
2
y
1
y ( )x
2
y=x
的图象交点个数.由图可
知只有一个解.
1
O
数形结合
1
x ( )x
2)＝0，解得 x＝0 或 x＝±2.
例 函数f(x)=x(x－4)的零点为（ D ）
A．(0，0)，(2，0)
B．0
C．(4，0)，(0，0)，
D．4，0
【解析】选D.由x(x－4)=0得x=0或x=4.
注意：函数的零点是实数，而不是点.
解方程是求函数零点的一种方法
【变式练习】
2
如果二次函数 y＝x ＋2x＋(k＋3)有两个不同的零
A.大于0
B.小于0
C.无法判断
D.等于0
f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在(a,b)上一定有零点，
但是函数y=f(x)在(a,b)上有零点，f(a)f(b)<0不一
定成立.
例3.求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数.
解：方法一 用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表和图象；
-4
4.若函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且 f(x)在
(0，＋∞)上有一个零点．则 f(x)的零点个数为
3
________．
【解析】
根据奇函数的定义 f(－x)＝－f(x)，f(x)在(0，
＋∞)上有一个零点 x0，则－x0 也是 f(x)的零点，
又由于 f(0)＝0，所以 f(x)有 3 个零点．
5.若方程ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一个零点，求
实数a的取值范围．
【解析】 （1）当a=0时，f（x）=-x-1，其零点
为
-1∉（0，1），所以a≠0；
（2）当a≠0时，因为方程ax2-x-1=0在（0，1）
内恰有一解，即二次函数函数f（x）=ax2-x-1在
（0，1）内恰有一个零点，所以f（0）•f（1）＜0，
f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（
）
（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·
f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（
）
（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0，
则f(x)在区间(a,b)内一定存在零点.（
）
不是一个点
结
论
现在知道 如何求没有
公式的方程的根了吗？
方程f(x)＝0有实数根
函数y＝f(x)的图象与x轴有交点
函数y＝f(x)有零点
【即时训练】
3
函数 f(x)＝x －4x 的零点为(
C)
A．(0,0)，(2,0)
B．(－2,0)，(0,0)，(2,0)
C．－2,0,2
D．0,2
【解析】选 C.令 f(x)＝0，得 x(x－2)(x＋
即-1×（a-2）＜0，解得a＞2．
6、求下列函数的零点．
2
(1)y＝－x ＋x＋6；
2
2
(2)y＝(x －2)(x －3x＋2)．
2
【解】 (1)令 y＝0，得－x ＋x＋6＝0，
∴(x＋2)(－x＋3)＝0，
解得 x1＝－2，x2＝3，
2
∴函数 y＝－x ＋x＋6 的零点是－2,3.
2
2
(2)令 y＝0，得(x －2)(x －3x＋2)＝0，
x
0
x1
(x1,0)
x
0
x
没有交点
一
般
结
论
一般地，方程f(x)=0的实数根，也就是其
对应函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
即方程f(x)＝0有实数根
函数y＝f(x)的图象与x轴有交点
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x
叫做函数y=f(x)的零点.
零点指的是一个实数，
意函数图象的连续性
函数的零点存在定理
函数的零点
与方程的解
直观想象：通过确定函数零
点个数及所在区间，培养直
观想象的核心素养
转化法：函数的零点转化为方程的根，
转化为函数图象与x轴的交点
数形结合：借助函数图象与x轴交点
确定零点及方程的根
2
1.在二次函数 y ax bx c 中，ac<0,则其零点的个
-1.306 9
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3.386 3
由表可知f(2)<0，f(3)>0，
从而f(2)·f(3)<0,∴函数f(x)
在区间(2,3)内有零点．
由于函数f(x)在定义域
(0,+∞)内是增函数，所
以它仅有一个零点．
5.609 4
7.791 8
9.945 9
12.079 4 14.197 2
y
10
8
数为（ B ）
Ａ.１
Ｂ.２
Ｃ.３
Ｄ.不存在
2.若 y f ( x ) 不是常数函数且最小值为１，则 y f ( x ) 1
的零点个数（ D ）
Ａ.０
Ｂ.１
Ｃ.０或１
Ｄ.不确定
, ≤
3.(2018 · 全 国 卷 I) 已 知 函 数 = {
= + + , 若
f ( x) x 2 2 x 3 在区间 2,1 上有零点.
计算 f (2) 与 f (1) 的乘积，你能发现这
个乘积有什么特点？在区间 2, 4 上是
否也具有这种特点呢？
y
5
4
3
2
1
-2 -1 O
-1
-2
-3
-4
1 2
3 4 5x
观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：
2
2
∴x －2＝0 或 x －3x＋2＝0，
解得 x1＝ 2，x2＝－ 2，x3＝1，x4＝2，
2
2
∴函数 y＝(x －2)(x －3x＋2)的零点是－ 2，
2，1,2.
三个等价关系
方程有实根 函数的图象与 轴有交点 函数有零点
x
零点
零点的存在性定理
零点的求法
代数法
图象法
二次函数的零点与二次方程的实43;c(a
>0)的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0(a
>0)的根
有两相异实根
x1,x2(x1<x2)
得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的一个根.
【即时训练】
2
方程lnx=
x
A.(1,2)
C.(
1
e
必有一个根的区间是( B )
,1)
B.(2,3)
D.(3,+∞)
【解题关键】
将方程转化为函数，利用零点的存在性定理判断
例2
判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例
（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·
C．至多有一个解
D．可能无解，可能有一个或多个解
【解析】选 C.由于函数 y＝f(x)在定义域内
是单调函数，因此若 c 为 f(x)的值域内的
值，则 f(x)＝c 有一个解，若 c 不在 f(x)
的值域内，则 f(x)＝c 无解.
函数零点的定义
函数零点、方程的根、函数的图象
与x轴交点的关系
应用函数零点存在定理时注
f(a)·f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.
（ ）
y
如图,
O a
b x
可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，f(a)·f(b)≥0，
但f(x)在区间(a,b)内有零点.
故论断不正确.
（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0，
则f(x)在区间(a,b)内一定存在零点.（ ）
2
1234
x
1 x
令 f (x) x ( )
2
估算f(x)在各整数处的取值的正负：
－
+
＋
可根据图
象确定大
体区间
＋
由上表可知，方程的根所在区间为 0 , 1 .
2.已知函数 y＝f(x)在定义域内是单调函数，则方
程 f(x)＝c(c 为常数)的解的情况是( C )
A．有且只有一个解
B．至少有一个解
思考：观察图象填空
y
a
c
O
b
d x
<
①在区间(a,b)上,f(a)·f(b)____0(填“＜”或
“＞”)．在区间(a,b)上,______(填“有”或“无”)零
有
点；
<
②在区间(b,c)上,f(b)·f(c) ___0(填“＜”或
有
“＞”)．在区间(b,c)上,______(填“有”或“无”)零
点，则 k 的取值范围是( B )
A．(－2，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，2)
【解析】选 B.由 Δ>0，得 4－4(k＋3)>0，
解得 k<－2.
微课2：
对于不能通过求方程根的方法确定零点的函数该如
何确定零点呢？
观察二次函数 f ( x) x2 2 x 3
的图象，如图，我们发现函数
在区间[-2，1]上有零点______；
x=－1
f(-2)=_______，
f(1)=_______，
－4
5
<
f(-2)·f(1)___0(填“＜”或“＞”)．
在区间(2，4)上有零点______；
x=3
f(2)·f(4)____0（填“＜”或
<
“＞”）．
y
5
4
3
2
1
-2 -1 O
-1
-2
-3
-4
1 2 3 4 5x
6
4
2
O 123456
-2
-4
f(x)=lnx+2x－6
x
方法二：
即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，即求lnx=6-2x的
根的个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个
数.
如图可知，只有一个交点，
即方程只有一根，函数
方程
的根
6
转化
f(x)只有一个零点.
函数
零点
y
图象
交点
y=lnx
O 1234
点；
③在区间(c,d)上f(c)·f(d) <
___0(填“＜”或
有
“＞”)．在区间(c,d)上,____(填“有”或“无”)
零点；
函数零点存在的判断
y
c
O
a
b
x
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不
断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数
y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使
汲取新知识的营养，
让我们一起 走 进 课 堂 吧！
微课1：求出下列一元二次方程的根并作出相应的二次
函数的图象，观察二者有何联系？
（1）方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3
（2）方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1
（3）方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3
你知道方程对应的函
, >
g 存在 2 个零点,则 a 的取值范围是
A. -,
(
)
B. , + ∞ C. -, + ∞ D. , + ∞
【解析】选 C.因为 g(x)=f(x)+x+a 存在 2 个零点,即 y=f(x)与 y=-x-a 有两
个交点,图象如下:
要使得 y=-x-a 与 f(x)有两个交点,则有-a≤1 即 a≥-1.
数是怎么找的吗？
方程
函数
x2-2x-3=0
y=x2-2x-3
x2-2x+1=0
x2-2x+3=0
y=x2-2x+1
y=x2-2x+3
y
y
函
数
的
图
象
方程的实
数根
.
.
2
.
.0
.
1
－1
2
.3
x
1
－2
－3
－4
.
2
1
－1
y
－1
O
.
.
.
1
2
函数的图象
(-1,0)、(3,0)
与x轴的交点
.
2
.
.
.
1
x
－1
.
x1=-1,x2=3
代数方程的正根的解法
你会求什
么方程的
根呢？
今天我们来学习方程的根与函数的零点！
1.理解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的关系.（难点）
2.学习函数零点的判断方法并会判断函数零点的个数.（易错点）
3.学习掌握求函数的零点.（重点）
通过确定函数零点个数及所在区间，培养直观想象的核心素养
体会课堂探究的乐趣，
解析：（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且
f(a)·f(b)< 0 ，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一
个零点.
（ ）
如图,
y
满足条件一定有零点，
但不确定有几个
a
O
b
x
函数y=f(x)在区间(a,b)上有3个零点,故“在区间(a,b)
内有且仅有一个零点”的说法是错误的.
（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且
4.5 函数的应用（二）
4.5.1 函数的零点与方程的解
我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的
求解的问题.如约公元50～100年编成的《九章算术》，
就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体
方法……
11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次
以上的方程的解法.
13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次
3
5
4
O
1
2
3
x1=x2=1
无实数根
(1,0)
无交点
x
判别式Δ=
b2－4ac
Δ=0
Δ＞0
Δ＜0
两个不相等 有两个相等的
方程ax2+bx+c
没有实数根
的实数根x1、 实数根x =x
=0(a＞0)的根
1
2
x2
y
y
函数
y=ax²+bx
+c(a＞0)的
图象
函数的图象
与x轴的交点
x1
0
y
x2
(x1,0),(x2,0)
y
如图,