教学设计5：4.1.2 圆的一般方程

4.1.2 圆的一般方程
教学目标
1.掌握圆的一般方程及其特点.
2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.
3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.
知识梳理
知识点 圆的一般方程
1.圆的一般方程
当D 2＋E 2－4F >0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0称为圆的一般方程.
2.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形
教学案例题型一 圆的一般方程的理解
例1 若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求实数m 的取值范围，并写出圆心坐标和半径.
解 由表示圆的条件，
得(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )>0，
解得m <15
， 即实数m 的取值范围为⎝
⎛⎭⎫－∞，15. 圆心坐标为(－m ,1)，半径为1－5m .
反思感悟 形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法
(1)由圆的一般方程的定义，令D 2＋E 2－4F >0成立，则表示圆，否则不表示圆.
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.
应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.
跟踪训练1 (1)若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是( )
A.m <12
B.m >12
C.m <0
D.m ≤12 【答案】A
【解析】因为x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则1＋1－4m >0，所以m <12
. (2)圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0的半径和圆心坐标分别为( )
A.r ＝1，(－2,1)
B.r ＝2，(－2,1)
C.r ＝2，(2，－1)
D.r ＝1，(2，－1) 【答案】D
【解析】x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0可化为
(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，
所以半径和圆心分别为r ＝1，(2，－1).
题型二 求圆的一般方程
例2 已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1).
(1)求△ABC 的外接圆的一般方程；
(2)若点M (a ,2)在△ABC 的外接圆上，求a 的值.
解 (1)设△ABC 外接圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，52＋32＋5D ＋3E ＋F ＝0，
32＋(－1)2＋3D －E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.
即△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.
(2)由(1)知，△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0，
∵点M (a ,2)在△ABC 的外接圆上，
∴a 2＋22－8a －2×2＋12＝0，
即a 2－8a ＋12＝0，解得a ＝2或6.
反思感悟 应用待定系数法求圆的方程时应注意
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求
出常数D ，E ，F .
跟踪训练2 已知一圆过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程.
解 方法一 (待定系数法)
设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
将P ，Q 的坐标分别代入上式，
得⎩⎪⎨⎪⎧
4D －2E ＋F ＋20＝0， ①D －3E －F －10＝0. ② 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，③
由已知得|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程③的根，
∴|y 1－y 2|2＝(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.④
联立①②④解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝0，
F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.
故圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.
方法二 (几何法)
由题意得线段PQ 的垂直平分线方程为x －y －1＝0，
∴所求圆的圆心C 在直线x －y －1＝0上，
设其坐标为(a ，a －1).
又圆C 的半径长
r ＝|CP |＝(a －4)2＋(a ＋1)2. (*)
由已知得圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆心C 到y 轴的距离为|a |，
∴r 2＝a 2＋⎝⎛⎭
⎫4322， 代入(*)式整理得a 2－6a ＋5＝0，
解得a 1＝1，a 2＝5，
∴r 1＝13，r 2＝37.
故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37.
求动点的轨迹方程
典例 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，点B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点.
(1)求线段AP 中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程.
解 (1)设线段AP 的中点M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x 0，y 0)，
∵⎩⎨⎧ x ＝2＋
x 02，y ＝0＋y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x －2，y 0＝2y . 又P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，
∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，∴(x －1)2＋y 2＝1.
(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，
在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，
设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，
所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，
所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.
故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.
[素养评析] (1)求与圆有关的轨迹问题的方程
①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
②定义法：根据圆、直线等定义列方程.
③代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
(2)理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，是数学运算的数学核心素养的体现. 课堂小结
圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是圆的另一种表示形式，其隐含着D 2＋E 2－4F >0，同圆的标准方程类似，求圆的一般式方程也需要三个独立的条件.
求轨迹的方法很多，注意合理选取，在求与圆有关的轨迹时，注意充分利用圆的性质. 达标检测
1.圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径分别为( )
A.(4，－6)，16
B.(2，－3)，4
C.(－2,3)，4
D.(2，－3)，16
【答案】C
2.已知圆的方程是x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0，那么经过圆心的一条直线的方程是( )
A.2x －y ＋1＝0
B.2x ＋y ＋1＝0
C.2x －y －1＝0
D.2x ＋y －1＝0
【答案】B 【解析】圆心坐标为(1，－3)，检验知2x ＋y ＋1＝0过圆心(1，－3).
3.圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的面积为( )
A.8π
B.4π
C.2π
D.π
【答案】C
【解析】原方程可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝2，∴半径r ＝2，∴圆的面积为S ＝πr 2＝2π.
4.若点M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －4y ＋10＝0内一点，则过点M (3,0)的最长的弦所在的直线方程是( )
A.x ＋y －3＝0
B.x －y －3＝0
C.2x －y －6＝0
D.2x ＋y －6＝0 【答案】C
【解析】圆x 2＋y 2－8x －4y ＋10＝0的圆心坐标为(4,2)，则过点M (3,0)且过圆心(4,2)的弦最
长.由k ＝2－04－3
＝2，可知C 正确. 5.如图，已知线段AB 的中点C 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的端点B 的轨迹方程.
解 设B 点坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点C 的坐标是(4,3)且点C 是线段AB
的中点，所以4＝x 0＋x 2，3＝y 0＋y 2
， 于是有x 0＝8－x ，y 0＝6－y .①
因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，
所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4，
即(x 0＋1)2＋y 20＝4，②
把①代入②，得(8－x ＋1)2＋(6－y )2＝4，
整理，得(x －9)2＋(y －6)2＝4.
所以点B 的轨迹方程为(x －9)2＋(y －6)2＝4.。