抛物线中的斜率问题

—科教导刊（电子版）·2018年第02期/1月（中）—
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抛物线中的斜率问题
李天一
（武汉市第六中学高三（8）班
湖北·武汉430014）
摘
要
在解析几何抛物线问题中，只要涉及到抛物线上两点的斜率问题，都可以直接设点，利用点差法快速得到斜
率与坐标之间的关系，方便计算。

关键词抛物线点差法斜率
中图分类号：G633.6文献标识码：A 例1：过抛物线
上一点
任作两条相互垂直
的弦PA,PB ，问：
AB 是否过定点？分析，此题有诸多解法，由于，则
，
由此可以导出，只要我们用
表示出了A 点，就可以用
表示B 点，两点已知，AB 直线的特点也就已知；也可以设AB 直线与抛物线交于AB 两点，由韦达定理可导出A,B 两点坐标的关系，代入垂直关系也可得到。

方法1：解：设PA 与抛物线的关系为：代入有：
；
；
图1
由于直线PA 与直线PB 的区别仅在斜率所以对于点B ，仅用将点A 中的m
换作即可。

所以AB 直线已知，但为了写出AB 直线需两点作差，计算量偏大。

方法2：设更为直接。

联立：
；
此处设
；
又有代入：
得到：
或
后者得出的点为P 点，舍去，故过点（10，-4）。

法2比法1简化不少，也更为巧妙。

如果在抛物线上使用点差法，是一个更新奇的方法。

方法3：点差法，与椭圆和双曲线中一样，我们设：
由于A,B 均在C 上，有：
有：
因为设的点为抛物线上的任意点，所以对于抛物线上任意两点均可使用，
有：
；
由韦达定理：
；
；过点（10，-4）。

由方法3可看出，法3对于一般情况，比如
为定
值，或
为定值均适用，且用途更广，更简便。

例2知点M （-5，0）C （1，0），点B
P 是平面内一点，
（1）求P 的轨迹方程C 。

（2）已知点A (n,2)在曲线C 上，过A 作曲线C 的两条弦AD 、AE ，且AD 、
AE 斜率满足，试推断动直线PE 有何
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变化规律，试证明。

解：（1）
证明：（2）由抛物线知A （1，2）设：由点差法：
过（-1，
-2）与之比的问题。

例3知于抛物线
，过P （2，0）作不垂直于x 轴的直
线交抛物线于、两点，为抛物线的焦点，再分别作直线，
与抛物线交于M ，N 两点，设直线
，
斜率为
，
图2
证明：设：
点差法易得：
又设直线：
有：
如此，，，，之间的关系；代入表达式
中有：
设
综上可知，抛物线中涉及到的斜率问题，如果是斜率之间关系的问题，可以考虑点差法，辅以相关知识和技巧，便可以
轻松解决。

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