高中数学北师大版选修2-2第1章反证法第2课时word教案

反证法
一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种大体方式──反证法；了解反证法的试探进程与特点。

二、教学重点：了解反证法的试探进程与特点
教学难点：正确理解、运用反证法
三、教学方式：探析归纳，讲练结合
四、教学进程
（一）、温习：反证法的试探进程与特点。

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从那个假设动身，通过正确的推理，致使矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方式。

反证法能够分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。

用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常常利用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/最多有(n 一1)个；最多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的进程没有固定的模式，但必需从反设动身，不然推导将成为无源之水，无本之木。

推理必需严谨。

导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、概念、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

（二）、探讨新课
反证法是数学中非构造性证明中的极重要的方式。

对于处置存在性问题、否定性问题、唯一性问题和最多、至少性问题，反证法具有特殊的优越性。

例一、已知1004321>+++a a a a ，求证：4321a a a a ，，，中，至少有一个数大于25。

证明：假设命题的结论不成立，即4321a a a a ，，，均不大于25，那么
100252525254321=+++≤+++a a a a ，
这与已知条件相矛盾。

所以，4321a a a a ，，，中，至少有一个数大于25。

例二、求证：1，2，5不可能是一个等差数列中的三项。

证明：假设1，2，5是公差为d 的等差数列的第p ，q ，r 项，则
d p r d p q )(15)(12-=--=-，，于是
p
r p q --=-151。

因为p ，q ，r 均为整数，所以等式右边是有理数，而等式左侧是无理数，二者不可能相等，推出矛盾。

所以，1，2，5不可能是一个等差数列中的三项。

例3、如图所示，直线a 平行于平面α，β是过直线a 的平面，平面α与β相交于直线b ，求证：直线a 平行于直线b 。

证明：假设命题的结论不成立，即“直线a 不平行于直线b ”。

由于直线a ，b 在同一平面β中，且直线a ，b 不平行。

故直线a ，b 相交，
设交点为A ，A 在直线b 上，故A 在平面α上。

所以，直线a 与平面α相交于A 。

这与条件“直线a 平行于平面α”矛盾。

因此，假设不成立，即“直线a 平行于直线b ”。

（三）、小结：反证法与直接证法是相对而言的，在证明进程中咱们不能僵化的利用反证法。

对于一个证明来讲，可能要交替地利用这两种证法。

1.哪些命题适宜用反证法加以证明？笼统地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法；具体地讲，当所证命题的结论为否定形式或含有“最多”、“至少”等不肯定词，另外，“存在性”、“唯一性”问题.
2.归谬是“反证法”的核心步骤，归谬取得的逻辑矛盾，常见的类型有哪些？归谬包括推出的结果与已知概念、公理、定理、公式矛盾，或与已知条件、临时假设矛盾，和自相矛盾等各类情形。

(四)、练习：一、讲义15P 练习2。

二、（1）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）
(A) 假设三内角都不大于60度；
(B) 假设三内角都大于60度；
(C) 假设三内角最多有一个大于60度；
(D) 假设三内角最多有两个大于60度。

（2）已知33q p +＝2，关于p ＋q 的取值范围的说法正确的是
（ ） （A ）必然不大于2 （B ）必然不大于22
（C ）必然不小于22 （D ）必然不小于2
解析 用反证法可得（1）应选（B ） （2）应选（A ）
3、 用反证法证明命题“若是,a b >
>_____________.
解析：用反证法可得应填
=
4、若是1a +为无理数，求证a 是无理数.
提示：假设a 为有理数，则a 可表示为/p q （,p q 为整数），即/a p q =. 由1()/a p q q +=+，则1a +也是有理数，这与已知矛盾. ∴ a 是无理数.
（五）、作业：讲义15P 习题1-3： 一、5
补充题：对于直线l ：y =kx +1，是不是存在如此的实数k ，使得l 与双曲线C ：3x 2－y 2=1的交点A 、B 关于直线y =ax （a 为常数）对称？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

证明：（反证法）假设存在实数k ，使得A 、B 关于直线y =ax 对称，设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）则
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+++=+-=)3(22
)2(2)()1(121212121x x a y y k x k y y ka 由022)3(1312222=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④ 由②、③有a （x 1+x 2）=k （x 1+x 2）+2 ⑤
由④知x 1+x 2=232k k
- 代入⑤整理得：ak =－3与①矛盾。

故不存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称。

五、教后反思：。