2020-2021学年高中数学人教A版必修5：1-2-2 高度、角度问题

＝hsinsi9n0°α＋－ββsinα， ∴CD＝BD－BC ＝sin90°＋sβinsiαn－α－βsinα－βh.
对于顶部不能到达的建筑物高度的测量，我们可以选择另一 建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、 俯角等构成的三角形，在此三角形中利用正弦或余弦定理求解即 可.
[变式训练 2] 如图，线段 AB，CD 分别表示甲、乙两楼， AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部 A 处测得乙楼顶部 C 的仰角 α ＝30°，测得乙楼底部 D 的俯角 β＝60°，已知甲楼高 AB＝24 米， 则乙楼高 CD＝ 32 米．
[答一答] 4．为了测量某建筑物的高度所构造的三角形，其所在平面 与地面之间有什么关系？
提示：为了测量某建筑物的高度所构造的三角形，其所在平 面与地面垂直．
5．解三角形应用问题常见的几种情况是什么？
提示：解三角形实际应用问题经抽象概括为解三角形问题 时，常见情况有以下几种：
(1)已知量与未知量全都集中在一个三角形中，可直接用正弦 定理或余弦定理求解；
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
知识点一 测量中的有关概念、名词、术语
[填一填] 1．俯角和仰角：如下图所示，当我们进行测量时，在视线 与水平线所成的角中， 视线在水平线上方的角 叫仰角， 视线在水平线下方的角 叫俯角．
2．方向角和Biblioteka 位角：①指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平 角，叫方向角．目标方向线方向一般可用“×偏×”多少度来表 示 ， 这 里 第 一 个 “×” 是 “ 北 ” 或 “ 南 ” ， 第 二 个 “×” 是 “东”或“西”．如图所示，OA，OB，OC，OD 的方向角分别 表示北偏东 60°、北偏西 30°、 西南方向 、南偏东 20°.
2．方向角和方位角有何区别？
提示：方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角，而方位角是从正北方向顺时针转到目标方向线所 成的角．
3．坡度和坡比有什么区别？ 提示：坡度是坡面与水平面所成的二面角的度数，而坡比是 坡面的铅直高度与水平宽度的比．
知识点二 高度与角度问题
1．高度问题
[解析] 由题意，在△ABC 中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180° －75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又 AB＝600 m，故由正弦定理得si6n0405°＝siBn3C0°， 解得 BC＝300 2 m. 在 Rt△BCD 中， CD＝BC·tan30°＝300 2× 33＝100 6(m)．
②方位角： 从某点开始的指北方向线按顺时针转到目标 方向线为止的水平角 叫方位角．
3．坡度和坡比： 坡面与水平面所成的二面角的度数叫坡度，坡面的铅直高度 与水平宽度之比叫坡比i＝hl .如图所示．
[答一答] 1．“视角”是“仰角”吗？
提示：不是．视角是指观察物体的两端视线张开的角度．如 图所示，视角 60°指的是观察该物体上下两端点时，视线的张角．
俯角为 α，在塔底 C 处测得点 A 的俯角为 β，已知铁塔 BC 部分 的高为 h，求出山高 CD.
[分析] 根据已知条件，应该先设法计算出 AB 的长，再在 Rt△ABD 中解得 BD，最后求出 CD.
[解] 在△ABC 中，∠BCA＝90°＋β， ∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α， 则sinBαC－β＝sin9A0B°＋β， ∴AB＝BCssiinnα9－0°β＋ β. 在 Rt△ABD 中， BD＝ABsin∠BAD＝BCsisnin90α°－＋ββsinα
解析：根据图示，AC＝100 2 m. 在△MAC 中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理，得siAn4C5°＝siAn6M0°⇒AM＝100 3 m. 在△AMN 中，MAMN＝sin60°， ∴MN＝100 3× 23＝150(m)．
类型二 顶部不可达到的高度问题 [例 2] 如图所示，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的
[填一填]
测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到
达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用 正弦或余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之
间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
2．角度问题 测量角度就是在三角形内，利用正弦定理和余弦定理求角的 三角函数值 ，然后求角，再根据需要求所求的角．
解析：ED＝AB＝24 米，在△ACD 中，∠CAD＝α＋β＝30° ＋60°＝90°，AE⊥CD，DE＝24 米，则 AD＝sDinEβ＝sin2640°＝16 3 (米)，
对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，我们可选择一 条过建筑物底部点的基线，在基线上取另外两点，这样四点可以 构成两个小三角形.其中，把不含未知高度的那个小三角形作为 依托，从中解出相关量，进而应用到含未知高度的三角形中，利 用正弦或余弦定理求解即可.
[变式训练 1] 如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山 的山顶 C 为测量观测点．从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN＝60°， C 点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从 C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高 BC＝100 m，则山高 MN＝ 150 m.
(2)已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形．这时可先解 条件充足的三角形，然后逐步求解其他三角形；有时需要设出未 知量，从几个三角形中利用正弦或余弦定理列出方程或方程组， 解方程或方程组得到答案．
类型一 底面不可达到的高度问题
[例 1] 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶， 到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD＝__1_0_0__6__m.
第一章
解三角形
1．2 应用举例
第2课时 高度、角度问题
[目标] 1.巩固正、余弦定理等基本知识点；2.能够运用正、 余弦定理等知识和方法求解高度和角度问题．
[重点] 在三角形中利用正、余弦定理解决高度、角度问题． [难点] 把实际问题中的条件和所求转化为三角形中的已知 和未知的边角，建立数学模型求解．