传染病的SI微分方程模型及稳定性分析

传染病的SI微分方程模型及稳定性分析
第23卷第3期
V o1.23
四川教育学院2007年3月JOURNALOFSICHUANCOLLEGEOFEDUCA~ONMar.2007
传染病的SI微分方程模型及稳定性分析
杜瑜
(成都航空职业技术学院,成都610000)
摘要:利用微分方程的基本知识和疾病传播的一般规律及人口守恒统计法则建立起SI与SIR的传染病模
型.再运用微分方程定性理论的数学方法,重点对SI的传染病模型进行定性与稳定性分析,从而得出相应情况下
的生态意义.
关键词:模型;稳定性;相轨线;阈值定理TheSIDifferentialEquationModelofEpidemicsandItsAnalysisofStabmty
Abstract:ThispaperintroducesamethodtoestablishtheSIepidemicalmodelandSIRepidem icalmodelwiththebasicknowledge
ofdifferentialequations,thegeneralrulesofepidemicspreadingandstatisticalruleso fpopula tionconservation.Applyingthequalitative
theoryofdifferentialequations.thequalitativeanalysisandstabilityanalysisoftheSIepidem icalmodelcanbedone.TheTef0Te,theeco-
logical8ignjticaneeunderdifferentsituationsisobtained.
Keywords:model;stability;phasetrajectory;thetheoremofthreshold
中图分类号:017文献标识码:A文章编号:1000-5757(2007)03-0111-02
一
,模型准备
1,SI模型把城市人口分为易感者(S)和已感者(I)
两个集合,其人数比例分别记作:S(t),I(t).(即s(t)+I
(t)=1)
2,SIR模型把城市人口分为易感者(s)和已感者(I)
和病愈免疫的移出者(包括死亡)的人R(t).(即S(t)+I (t)+R(t)=1)
我们知道疾病传播一般服从下列法则:
法则1在所考虑的时期内,人口总数保持在固定水
平N.
法则2易受传染者S(t)人数比例的变化率正比于传
染病患者I(t)与S(t)人数的乘积.
法则3由I(t)向R(t)转变的速率与I(t)成正比.
二,SI模型
由上述疾病传播法则,不难得出传染病的数学模型
f=一Is,s(o)=S0>0
7u=(1)
lO1=hiS—ctI,I(o)=10>o
其中,s(o),I(0)为初始状态,常数,称为传染率,
移除率,其值均大于零.令叮:,吉=称为相对移除
率.该方程无法求出s和I的解析解,但可将,,s(o),I (0)取定某值后用MATLAB软件编程计算,从而得出I(t) 一
S(t)的图形即相轨线.
在相平面sI平面上,相轨线的定义域(s,I)∈D为
D={(S,I)lS>10,II>0,S+I≤1},在方程(1)中消去dt司得到:
dI
=
1—
1,Il=I.,
容易求出方程的解为:I=(s.+Io)一s言nSo
在定义域D内表示的曲线即为相轨线,如图1所示.
其中箭头表示了随时间t的增加S(t)和I(t)的变化趋势.
图I
定理l(阈值定理)设s(t),I(t)是初值问题的解,
如果叮s0<1,那么,当t一+时,I(t)单调减少趋于零.如
果叮s.>1,当t一+时,I(t)先增加达到最大值1一言一
丽1,此时s:吉,而后单调减少趋于零,s(t)是一个
单调减少函数,并且其极限limS(t)垒s(+),是方程
In
,
1一S+=0在(O,—L)内的根(见图1).
收稿日期:2oo6—10-04
作者简介:杜瑜(1974一),男,四川广安人,本科,讲师,研究方向:计算数学. 111
四川教育学院2007年3月
f票=一入Is一8s,sc.,=s.>.2
1dI=一I'I(0)=I.>0一
其中k,Ot,8均大于零,令叮=,=为相对移除
Of.叮^
率.
以下对模型(2)进行分析.
我们在(s,I)相平面上考察轨线.首先由警=一hIS
一
8S=一(入IS+8S)<0得S(t)是单调减少的,所以,对于
所有t>0有s(t)<So再由方程=入Is一=hI(S一吉)
可知,当s.≤吉时,有dI<0,对所有t>0成立,lit~'/I(t)
单调减少.当S.>时由S(t)单调减少可得存在唯一的
t.,使s(t.)=1
叮,因此有:0<t<t时,票>0,llt~J"I(t)增
加,t>t.后崇<0,此时I(t)单调减少,所以I(h)是最大值.即在相平面上的轨线I()在:时,I()为最大
值.
显然方程组(2)的轨线方程为:I(t)+ln[击]=1一s
言k()
上式说明采取预防措施后,可以减少得病人数,并且I (t)的最大值小于不采取预防措施时的最大值.
令D={(S,I)10<S<1,0<I(t)<1,S+I=1}是一个
由S轴到I转以及直线S+I=1所围成的三角形区域.
对于方程组(2),其轨线为:S=0,I=Ioe
I=0.S=Soe一
o(o,0)点在(2)在D上唯一的平衡点,并且点(0,0)
是局部渐近稳定的,这是因为特征根一8及一均小于零. 112
对于在直线S+I:1上的所有解均有:一
一
8S<0
所以,在D内出发的轨线不会越出区域D.
令D={(s,I)J0≤S≤1,0<I(t)≤1,S+I=1}在上
I~Dulac函数B(s,I)l-,由Dulac定理知在上不存在D
极限环,所以由D上出发的轨线当t一+*时,必趋于平衡点(O,0).
综上所述,我们得出如下定理.
定理2对于初始问题(2),区域D是平衡点0(0,0)
的渐近稳定区域.
定理3(阈值定理)设s(t),I(t)是初值问题(2)的
解,如果aS.<1那么当t一+*时I(t)单调减少趋于零,如
果aS.>1,当t一+*时I(t)增加到达最大值I(),而后
单调减少趋于零.s(t)同时单调减少趋于零.
3,在传染病流行之前,对易感染的人群进行有效的预
防可以使易感染的人数下降,从而达到防止传染病流行的目的.
4,在传染病发生之后,立即对易感染的人群进行有效
的预防,同样可以使易感染的人数下降,从而减少得病人数.此种情况下,如果在发病初期易感染的人数S.≤÷,
那么疾病会很快被消灭.如果在发病初期易感染人数s. >一1
,那么得病人数先增加,当其达到最大值I()后,得
病人数逐渐减少而后疾病被消灭.此种情况下的最大值I (吉)小于不作预防时的最大值1一1一而1.
5,经过一段时间以后.整个人群将趋于对该疾病具有
免疫力.
三,SIR模型
由前述疾病传播的一般法则及人口守恒定律,可得到SIR的数学模型.
f:一hISldt
IidI:hIS—aI(3)IU【
l
且S0>0,Io>0,R0>0
方程组(3)是三维的,采取与(1)的同样讨论方法,只
须把第一个和第二个方程联立即可,同样得到与定理1相类似的阈值定理.
参考文献:
[1]姜启源等.数学模型[M].高等教育出版社,1993.
[2]张锦炎.常微分方程几何理论与分支问题[M].北
京大学出版社,i987.
[3]张芷芬等.微分方程定性理论[M].科学出版社, 1985.
(责任编辑:刘舂林责任校对:林子)。