光学教程答案(第一章)

1. 波长为nm 500的绿光投射在间距d 为cm 02
2.0的双缝上，在距离cm 180处
的光屏上形成干涉条纹，求两个亮条纹之间的距离.若改用波长为nm 700的红光投射到此双缝上,两个亮条纹之间的距离又为多少?算出这两种光第2级亮纹位置的距离.
解：由条纹间距公式
λ
d r y y y j j 0
1=
-=∆+ 得
cm 328.0818.0146.1cm
146.1573.02cm
818.0409.02cm
573.010700022.0180cm 409.010500022.018021222202221022172027101=-=-=∆=⨯===⨯===⨯⨯==∆=⨯⨯==
∆--y y y d
r
j y d r
j y d r y d r y j λλλλ
2．在杨氏实验装置中,光源波长为nm 640,两狭缝间距为mm 4.0,光屏离狭缝的距离为
cm 50.试求：(1)光屏上第1亮条纹和中央亮条纹之间的距离；（2）若p 点离中央亮条纹为mm 1.0，问两束光在p 点的相位差是多少？（3）求p 点的光强度和中央点的强度之比.
解：（1）由公式
λd r y 0
=
∆
得
λd r y 0=
∆ =cm 100.8104.64.05025--⨯=⨯⨯
（2）由课本第20页图1-2的几何关系可知
52100.01
sin tan 0.040.810cm 50
y r r d d d
r θθ--≈≈===⨯
5
21522()0.8106.4104
r r π
ππϕλ
--∆=
-=
⨯⨯=
⨯
(3) 由公式
22
22
121212cos 4cos 2I A A A A A ϕ
ϕ∆=++∆= 得
8536.04
2224cos 18cos 0cos 421cos 2
cos
42cos 42220
2212
212020=+=+=
=︒⋅=∆∆=
=π
ππϕϕA A A A I I p
p
3. 把折射率为1.5的玻璃片插入杨氏实验的一束光路中,光屏上原来第5级亮条纹所
在的位置为中央亮条纹,试求插入的玻璃片的厚度.已知光波长为6×10-7
m .
解：未加玻璃片时，1S 、2S 到P 点的光程差，由公式2r
ϕπ
λ∆∆=
可知为 Δr =215252r r λ
πλπ-=
⨯⨯=
现在
1S 发出的光束途中插入玻璃片时，P 点的光程差为
()210022r r h nh λλ
ϕππ'--+=
∆=⨯=⎡⎤⎣⎦
所以玻璃片的厚度为
421510610cm 10.5r r h n λ
λ--=
===⨯-
4. 波长为500nm 的单色平行光射在间距为0.2mm 的双狭缝上.通过其中一个缝的能量为另一个的2倍,在离狭缝50cm 的光屏上形成干涉图样.求干涉条纹间距和条纹的可见度.
解：
6050050010 1.250.2r y d λ-∆=
=⨯⨯=m m
122I I = 22
122A A =
1
2A A =
()(
)
122
122/0.94270.9412
1/A A V A A ∴==
=≈++
5. 波长为700nm 的光源与菲涅耳双镜的相交棱之间距离为20cm ，棱到光屏间的距离L 为180cm ,若所得干涉条纹中相邻亮条纹的间隔为1mm ，求双镜平面之间的夹角θ。

解：6
4
()(2001800)70010sin 3510222001r L r y λθθ--++⨯⨯====⨯∆⨯⨯弧度12'≈
6. 在题1.6图所示的劳埃德镜实验中,光源S 到观察屏的距离为1.5m ，到劳
埃德镜面的垂直距离为2mm 。

劳埃德镜长40cm ，置于光源和屏之间的中央.(1)若光波波长λ=500nm ,问条纹间距是多少?(2)确定屏上可以看见条纹的区域大小,此区域内共有几条条纹?(提示:：产生干涉的区域P 1P 2可由图中的几何关系求得.)
解：（1）干涉条纹间距
601500
500100.1875mm 4r y d λ-∆=
=⨯⨯=
（2）产生干涉区域
12PP 由图中几何关系得：设2p 点为2y 位置、1P 点位置为1y
则干涉区域
21y y y =- ()()()202001
11
2
tan 122
2d y r r r r r r α''=
+=+⨯'-
()()002(1500400)3800
3.455mm
215004001100
r r d r r '++=
==='--
2mm
P 2
P 1 P 0
01010001
()112
()tan ()1222()()2
2(1500400) 1.16mm 1500400d r r d y r r r r r r r r α'-''=-=-=
'+'+-==+
21 3.46 1.16 2.30mm y y y =-=-=
（3） 劳埃镜干涉存在半波损失现象 N
∴暗
y
y =
∆
N
亮
=N
暗
1
- 2.311121110.1875y y =
-=-=-=∆条亮纹
7. 试求能产生红光(λ=700nm)的二级反射干涉条纹的肥皂膜厚度.已知肥皂膜折射率
为1.33,且平行光与发向成30°角入射.
解：根据题意
2(210)2
710nm
j d λ=+∴=
=
=
8. 透镜表面通常镀一层如MgF 2（n=1.38）一类的透明物质薄膜，目的是利用干涉来降低玻璃表面的反射．为了使透镜在可见光谱的中心波长（550nm ）处产生极小的反射,则镀层必须有多厚?
解：可以认为光是沿垂直方向入射的。

即︒==021i i
由于上下表面的反射都由光密介质反射到光疏介质，所以无额外光程差。

因此光程差nh i nh 2cos 22==δ
如果光程差等于半波长的奇数倍即公式
2)
12(λ
+=∆j r ，则满足反射相消的条件
因此有
2)
12(2λ
+=j nh
所以
),1,20(4)12( =+=
j n j h λ
当0=j 时厚度最小
cm
10nm 64.9938.14550
45-min ≈=⨯=
=
n
h λ
9. 在两块玻璃片之间一边放一条厚纸,另一边相互压紧.玻璃片l 长10cm,纸厚为0.05mm,从60°的反射角进行观察,问在玻璃片单位长度内看到的干涉条纹数目是多少?设单色光源波长为500nm.
解：由课本49页公式（1-35）可知斜面上每一条纹的宽度所对应的空气尖劈的厚度的
变化量为
1
221221sin 2i n n h h h j j -=
-=∆+λ
λ
λ
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
2
2312
如果认为玻璃片的厚度可以忽略不记的情况下，则上式中︒===60,1122i n n 。

而厚度h 所对应的斜面上包含的条纹数为
10010500005.07=⨯==∆=
-λh h h N
故玻璃片上单位长度的条纹数为
1010100===
'l N N 条/厘米
10. 在上题装置中,沿垂直于玻璃片表面的方向看去,看到相邻两条暗纹间距为1.4mm 。

—已知玻璃片长17.9cm,纸厚0.036mm,求光波的波长。

解:依题意,相对于空气劈的入射角
220,cos 1.sin i i θ
==L d
=
=θtan 0.12=n
d L i n L 22cos 222λ
θλθλ=
==∆∴
563.13nm mm 10631284916.51794
.1036.0224=⨯=⨯⨯=∆=
∴-L L d λ
11. 波长为400 760nm 的可见光正射在一块厚度为1.2×10-6
m,折射率为1.5玻璃片上,
试问从玻璃片反射的光中哪些波长的光最强.
解：依题意，反射光最强即为增反膜的相长干涉，则有：
2)
12(22λ
δ+==j d n
故
1242+=
j d n λ
当0=j 时，
nm 7200102.15.1443
2=⨯⨯⨯==-d n λ
当1=j 时，nm
24003102.15.143
=⨯⨯⨯=-λ 当2=j 时，nm
14405102.15.143
=⨯⨯⨯=-λ 当3=j 时，nm
10707102.15.143
=⨯⨯⨯=-λ
当4=j 时，nm
8009102.15.143
=⨯⨯⨯=-λ 当5=j 时，nm
5.65411102.15.143
=⨯⨯⨯=-λ 当6=j 时，nm
8.55313102.15.143
=⨯⨯⨯=-λ 当7=j 时，nm
48015102.15.143
=⨯⨯⨯=-λ 当8=j 时，nm
5.42317102.15.143
=⨯⨯⨯=-λ 当9=j 时，nm
37819102.15.143
=⨯⨯⨯=-λ
所以，在nm 760~390的可见光中，从玻璃片上反射最强的光波波长为
nm.5.654,nm 8.553,nm 480,nm 5.423
12. 迈克耳孙干涉仪的反射镜M 2移动0.25mm 时，看到条纹移过的数目为909个，设光为垂直入射，求所用光源的波长。

解：根据课本59页公式可知，迈克耳孙干涉仪移动每一条条纹相当h 的变化为：
()222
12cos 2cos 2cos 21i i j i j h h h λ
λλ=
-
+=
-=∆
现因 02=i ， 故
2λ
=
∆h
909=N 所对应的h 为
2λN h N h =
∆=
故
550nm mm 105.590925.0224=⨯=⨯==
-N h λ
13. 迈克耳孙干涉仪平面镜的面积为４×４cm 2
，观察到该镜上有20个条纹。

当入射光
的波长为589nm 时，两镜面之间的夹角为多大？
解： 因为 2
cm 44⨯=S
所以 40mm cm 4==L
所以
mm 22040===
∆N L L
又因为
θλ2=
∆L
所以
()73.301025.147102258926
6
''=⨯=⨯⨯=
∆=
-rad L
λ
θ
14. 调节一台迈克耳孙干涉仪，使其用波长为500nm 的扩展光源照明时会出现同心圆
环条纹。

若要使圆环中心处相继出现1000条圆环条纹，则必须将移动一臂多远的距离？若中心是亮的，试计算第一暗环的角半径。

（提示：圆环是等倾干涉图样。

计算第一暗环角半
径是可利用θ≈sin θ及cos θ≈1－θ2
/2的关系。

）
解：（1）因为光程差δ每改变一个波长λ的距离，就有一亮条A 纹移过。

所以 λδN =∆
又因为对于迈克耳孙干涉仪光程差的改变量d ∆=∆2δ（Δd 为反射镜移动的距离）
所以 d N ∆==∆2λδ
所以
0.25mm nm 10255002100024=⨯=⨯==
∆λN d
（2）因为迈克耳孙干涉仪无附加光程差
并且 021==i i 0.121==n n
它形成等倾干涉圆环条纹，假设反射面的相位不予考虑 所以光程差
1
2222cos 2l l d i d -===δ 即两臂长度差的2倍
若中心是亮的，对中央亮纹有： λj d =2 （1）
对第一暗纹有：
()
212cos 22λ
-=j i d （2）
（2）-（1）得：
()2cos 122λ
=
-i d
2242sin 42sin 222
22
22222λ=
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛≈=di i d i d i d 所以
︒===
=
1.8rad 03
2.010001
22d
i λ
这就是等倾干涉条纹的第一暗环的角半径，可见2i 是相当小的。

15. 用单色光观察牛顿环，测得某一亮环的直径为3mm ，在它外边第5个亮环的直径为
4.6mm ，所用平凸透镜的凸面曲率半径为1.03m ，求此单色光的波长。

解：对于亮环，有
R
j r j 2
)
12(λ
+= （ ,3,2,1,0=j ）
所以 λR j r j )21(2
+= λ
R j r j )215(25++=+
所以
590.3nm mm 10903.51030540.36.454542
22252
25=⨯=⨯⨯-=⨯⨯-=-=
-++R d d R
r r j
j j j λ
16. 在反射光中观察某单色光所形成的牛顿环。

其第2级亮环与第3级亮环间距为1mm ，
求第19和20级亮环之间的距离。

解：对于亮环，有
R
j r j 2
)
12(λ
+= （ ,3,2,1,0=j ）
所以 R r λ)211(1+= R
r λ)21
2(2+=
又根据题意可知
mm 1232512=-=
-R R r r λλ
两边平方得
12325223252
2=-+R R R λλλ
所以
1541-=
R λ
故
R
R r r λλ⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-211921201920
15412391541241-⨯--⨯=
cm 039.0=
17 牛顿环可有两个曲率半径很大的平凸透镜之间的空气产生（图）。

平凸透镜A 和B 的曲率半径分别为
A R 和
B R ，在波长为600nm 的单射光垂直照射下观察到第10个暗环半径
4AB
r
mm =。

若另有曲率半径为C R 的平凸透镜C （图中未画出），并且B 、C 组合和A 、
C 组合产生的第10个暗环半径分别为
4.5BC r mm =和5AC r mm =，试计算A R 、B R 和C R 。

解：2
2r h R =
22211()
22211,()211()2AB AB AB AB
A B A B A B
BC BC B C
AC AC A C
r r r h h h R R R R r h R R r h R R ∴=+=+=+=+=
+同理
又对于暗环：
2(21)
2
2h j λ
λ
δ=-
=+ 即
2h j
λ
=
∴
21110(
)
AB A B r R R λ=+ (1)
21110(
)
BC B C r R R λ=+ (2) 21110(
)
AC A B r R R λ=+ (3)
(1)(2)(3)联立并代入数据得：
A R =6.28m
B R =4.64m
C R =12.4m
题1.17图
18 菲涅尔双棱镜实验装置尺寸如下：缝到棱镜的距离为5cm ，棱镜到屏的距离为95cm ，
棱镜角为'17932α= 构成棱镜玻璃材料的折射率'
1.5n =，采用的是单色光。

当厚度均匀
的肥皂膜横过双冷静的一半部分放置，该系统中心部分附近的条纹相对原先有0.8mm 的位移。

若肥皂膜的折射率为 1.35n =, 试计算肥皂膜厚度的最小值为多少？ 解：如图所示：光源和双棱镜系统的性质相当于相干光源
1s 和2s ，它们是虚光源。

由近似条件
'
(1)n A θ≈-和
1
()
2d l θ≈ 得'
22(1)d l l n A θ==- (1)
按双棱镜的几何关系得 2A απ+=
所以
'
14
2
A πα
-=
= (2)
肥皂膜插入前，相长干涉的条件为 0d
y j r λ= (3)
由于肥皂膜的插入，相长干涉的条件为 '
0(1)d y n t j r λ+-= (4)
由(3)和 (4)得 '''00()2(1)()
(1)(1)d y y l n A y y t r n r n ---==
--
代入数据得 7
4.9410t m -=⨯
19 将焦距为50cm 的会聚透镜中央部分C 切去（见题图），余下的A 、B 两部分仍旧粘起来，C 的宽度为1cm 。

在对称轴线上距透镜25cm 处置一点光源，发出波长为692nm 的红宝石激光，在对称轴线上透镜的另一侧50cm 处置一光屏，平面垂直于轴线。

试求： (1)干涉条纹的间距是多少？
(2)光屏上呈现的干涉图样是怎样的？ 解：
(1) 透镜由 A 、B 两部分粘合而成，这两部分的主轴都不在该光学系统的中心 轴线上，A 部分的主轴在中心线上0.5cm 处，B 部分的主轴在中心线下0.5cm
由于单色点光源P 经凸透镜A 和B 所成的像是对称的，故仅需考虑P 经B 的成
像位置即可。

由111''s s
f -=
得'50s cm =- 由因为
''y s y s β=
= 所以''1s y y cm s ==
S S
(a)
d
题1.18图
C
题1.19图
B
题1.20图
即所成的虚像在B的主轴下方1cm处，也就是在光学系统对称轴下方0.5cm处，同理，单色光源经A所成的虚像在光学系统对称轴上方0.5cm处，两虚像构成相干光源，它们之间
的距离为1cm，所以
3
6.9210
y r cm
d
λ
-
∆==⨯
(2)光屏上呈现的干涉条纹是一簇双曲线。

20将焦距为5cm的薄透镜L沿直线方向剖开（见题图）分成两部分A和B，并将A 部分沿主轴右移至2.5cm处，这种类型的装置称为梅斯林对切透镜。

若将波长为632.8nm的点光源P置于主轴上离透镜L B距离为10cm处，试分析：(1) 成像情况如何？(2)若在L B右边10.5cm
解：（1）如图（b）所示,该情况可以看作由两个挡掉一半的透镜L A和L B构成,其对称轴为PO,但是主轴和光心却发生了平移.对于透镜L A,其光心移到O A处,而主轴上移0.01cm到O A F A;对于透镜L B,其光心移到O B处,而主轴下移0.01cm到O B F B.点光源P恰恰在透镜的对称轴上二倍焦距处.由于物距和透镜L A、L B的焦距都不变,故通过L A 、L B成像的像距也不变。

根据物像公式
''
111
p p f
-=
将p=-10cm和
'
f=5cm代入上式，得
'p
=5cm
'y
y
β=
=
'
p
p=-1
故
'
y
=-0.01 cm
由于P 点位于透镜L A 的光轴下方0.01 cm,按透镜的成像规律可知,实像P A 应在透镜L A 主轴上方0.01 cm 处;同理,P 点位于透镜L B 主轴上方0.01 cm 处, 实像P B 应在主轴下方0.01 cm 处.
两像点的距离为上方0.01 cm 处.
P A P B =d=2|'y |+h
=0.04cm
(2)由于实像P A 和 P B 构成了一对相干光源,而且相干光束在观察屏的区域上是相互交叠的,故两束光叠加后将发生光的干涉现象,屏上呈现干涉花样.按杨氏干涉规律,两相邻亮条纹的间距公式为 0y r d λ∆=
将数据代入得y ∆=1.582mm
21 如图所示，A 为平凸透镜，B 为平玻璃板，C 为金属柱，D 为框架，A 、B 间有空隙，图中绘出的是接触的情况，而A 固结在框架的边缘上。

温度变化时，C 发生伸缩，而假设A 、B 、D 都不发生伸缩。

以波长632.8nm 的激光垂直照射。

试问：
(1)在反射光中观察时，看到牛顿环条纹移向中央，这表示金属柱C 的长度在增加还是减小？
(2)若观察到有10个亮条纹移向中央而消失，试问C 的长度变化了对少毫米？
解：（1）因为:在反射光中观察牛顿环的亮条纹，
22/2(1,2,3,...)2r h j j R λδλλ=-=-==
及干涉级j 随着厚度h 的增加而增大，即随着薄
膜厚度的增加，任意一个指定的j 级条纹将缩小
其半径，所以各条纹逐渐收缩而在中心处消失，
膜厚h 增加就相当于金属的长度在缩短。

所以，看到牛顿环条纹移向中央时，表明C 的长度在减少。

（2）由2/)(2/λλj N h ∆==∆
得3164h nm ∆=.
D
题1.21图。