基于能量原理的岩样单轴压缩剪切破坏失稳判据

第24卷第1期 V ol.24 No.1 工程力学
2007年 1 月Jan. 2007 ENGINEERING MECHANICS 153 文章编号：1000-4750(2007)01-0153-04
基于能量原理的岩样单轴压缩剪切破坏失稳判据
王学滨
(辽宁工程技术大学力学与工程科学系, 辽宁阜新123000)
摘要：利用能量原理对倾斜的剪切带-带外弹性岩石构成的系统的稳定性进行了研究。

单轴压缩岩样沿轴向的变形被分解为两部分，带外弹性岩石压缩引起的变形和剪切带错动引起的变形。

后者与剪切带的相对剪切变形具有简单的几何关系。

系统的总势能由剪切带的弹性及耗散势能和带外弹性岩石对剪切带所作的外力功构成。

剪切带的弹性及耗散势能与剪切带的体积有关系。

剪切带的尺寸由梯度塑性理论确定。

将系统的总势能对相对剪切变形求一阶导数(等于零)，得到了弹性岩石的平衡条件。

将总势能对相对剪切变形求二阶导数(小于零)，得到了系统的失稳判据。

它综合反映了岩石材料弹性及应变软化阶段本构参数(弹性模量及软化模量)、剪切带之外弹性岩石的尺寸、剪切带的尺寸及系统的结构形式(剪切带倾角)对系统稳定性的影响。

失稳判据比以往所得到的失稳判据更严格，更精确，更具有广泛意义。

关键词：岩石力学；剪切带-弹性岩石系统；能量原理；失稳判据；弹性势能；耗散势能；外力功
中图分类号：TU452 文献标识码：A
UNSTABLE CRITERION OF ROCK SPECIMEN SUBJECTED TO SHEAR FAILURE IN UNIAXIAL COMPRESSION BASED ON ENERGY PRINCIPLE
WANG Xue-bin
(Department of Mechanics and Engineering Sciences, Liaoning Technical University, Fuxin, Liaoning 123000, China)
Abstract:Stability of the system (rock specimen in uniaxial compression) composed of inclined shear band and elastic rock outside the band was analyzed in terms of energy principle. Axial deformation of the specimen is decomposed into two parts. One is due to the compression of elastic rock; the other is induced by the shear slip along shear band. The latter is related to the relative shear deformation between the top and base of shear band through a simple geometrical relation. Total potential energy is composed of elastic and dissipated potential energies in shear band as well as work done by external force. Potential energies in the band depend on the volume of shear band. The thickness of the band is determined by gradient-dependent plasticity. The first-order derivative equal to zero of total potential energy with respect to the relative shear deformation of shear band leads to the equilibrium condition of elastic rock. The second-order derivative less than zero of total potential energy with respect to the relative shear deformation of shear band results in the unstable criterion of the system. The present unstable criterion can reflect the influences of the constitutive parameters of rock in elastic and strain-softening stages, the volumes of elastic rock and shear band as well as the structural form on the stability of the system. The present analytical unstable criterion is strict and accurate, which is a generalization from existing analytical unstable criterion by Wang et al.
Key words: rock mechanics; shear band and elastic rock system; energy principle; instability criterion; elastic potential energy; dissipated potential energy; work done by external force
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收稿日期：2005-06-05；修改日期：2006-04-01
基金项目：国家自然科学青年基金项目(50309004)
作者简介：王学滨(1975)，男，黑龙江双鸭山人，讲师，博士，主要从事非均质材料(金属、岩石等)变形、破坏及稳定性研究(E-mail: wxbbb@)
154 工程力学
断层-围岩系统的失稳(岩爆、冲击地压、矿震、井眼崩裂坍塌、滑坡及地震等)会严重影响经济建设和能源工业的健康发展，会造成巨大的财产损失和重大的人员伤亡。

因此，断层-围岩系统的变形、破坏及稳定性等问题是岩土工程实践中迫切需要解决的重要课题之一。

利用最小势能原理及狄里希锐原理，可得到岩石结构的失稳理论(能量原理)：当系统势能的一阶变分等于零，可以得到平衡条件；而二阶变分小于零时，岩石结构将发生失稳破坏。

该原理被广泛应用于岩石结构的稳定性分析[1~6]。

然而，上述研究几乎都没有考虑到岩土工程中常见的应变局部化现象，即，岩石的破坏都是局部的，并不是均匀地完全地发生破坏。

文[7,8]采用梯度塑性理论及能量原理得到了直接剪切岩样-试验机系统及断层-围岩系统的失稳判据。

文[9]在上述研究的基础上，采用梯度塑性理论及能量原理得到了计及应变率效应的断层-围岩系统的失稳判据。

文[10]计算了断层-围岩系统失稳(岩爆)所消耗的能量及释放的弹性应变能。

文[11,12]分别研究了韧性金属材料在静态及动态剪切载荷条件的剪切局部化问题。

文[13]建立了单轴拉伸条件下，塑性应变局部化、损伤局部化及能量耗散局部化之间的关系。

文[14]通过比较剪切带的刚度与带外弹性岩石的剪切刚度，得到了单轴压缩岩样受到剪切破坏时的失稳判据。

文[15]通过类比，得到了单轴拉伸、直接剪切及单轴压缩失稳判据的统一形式。

文[16]采用能量守恒原理得到了单轴压缩岩样全程轴向应力-轴向应变曲线峰后斜率的解析解。

文[17]研究了单轴压缩岩样受到剪切破坏时的断裂能及其尺寸效应。

文[18]采用“位移法”(矿柱的轴向压缩变形等于矿柱整体的弹性变形及剪切带错动引起的位移之和)研究了矿柱在变形局部化及渐进破坏条件下的稳定性。

文[19]研究了矿柱发生局部破坏时，弹性梁-矿柱系统的稳定性。

区别于以往的研究工作，目前的工作是采用梯度塑性理论及能量原理研究单轴压缩岩样受到剪切破坏时的稳定性。

得到了的失稳判据比文[14]所得到的失稳判据更严格，更精确，更具有广泛意义。

1 理论分析
1.1 力学模型
单轴压缩岩样受到剪切破坏时的力学模型见图1(a)。

将试样看作一个由剪切带及带外弹性岩石构成的一个系统。

剪切带相当于通常意义上的“试样”；带外弹性岩石相当于通常意义上的“试验机”。

σ是试样端面上受到的压缩应力，L是试样高度，α是剪切带倾角。

w是剪切带的厚度，由梯度塑性理论确定[7]。

u是沿试样轴向的总压缩位移，u是剪切带沿其切线的错动位移，u′是由于剪切带沿其切线的错动而引起的沿试样轴向的压缩位移。

很明显，见图1(b)，u′与u的关系为
α
cos
'u
u=(1)
(a) (b)
图1 岩石试件及有关参数
Fig.1 Rock specimen and related parameters
1.2 外力功
外力功是指剪切带外弹性岩石对剪切带所作的功。

设试样端面上受到的压力为P，试样的横截面面积为A。

剪切带之外的岩石总是弹性的，设弹性模量为E。

因此，可以得到剪切带之外的岩石的压缩刚度K为
EA
K
L
=
′
(2) 式中'L为剪切带之外弹性岩石的高度。

L′与试样高度L之间的关系为
sin
w
L L
α
′=−(3)
根据虎克定律，压力P、刚度K、总位移
u及由于剪切带而引起的位移u′的关系可以表示为
()
P A K u u
σ′
==−(4) 设外力功为W，则有
00
222
00
d()d
cos
cos
22
u u
W P u K u u u
Ku Ku
Ku u Ku u
α
α
′′
′′′
==−=
′
′−=−
∫∫
(5)
外力功W对错动位移u求一阶导数，可得
2
d
cos cos
d
()cos cos
W
Ku Ku
u
K u u P
αα
αα
=−=
′
−=
(6)
'
工 程 力 学 155
将式(6)对错动位移u 求一阶导数，可得
222
2
d cos cos d W EA K L u αα=−=−′ (7)
1.3 弹性势能
弹性势能是指剪切带的弹性应变能乘以剪切带的体积。

弹性势能E U 可以表示为
22sin E Aw
U G τα
=
(8) 式中 αsin /A 为剪切带的面积。

将弹性势能E U 对
u 求一阶导数，可得
u
U u U E E d d d d d d τ
τ⋅= (9) 根据式(8)，τd /d E U 可以表示为 α
ττsin d d G Aw
U E = (10) 根据文[7]，u d /d τ可以表示为 w
u λ
τ−=d d (11) 式中 γτλd /d =，是一个反映材料脆性的本构参
数，可以称之为弹塑性模量。

因此，式(9)可以表示为 αλ
τsin d d G A u U E −= (12) 将式(12)对u 求一阶导数，可得
αλλαλττsin sin d d d d d d d d d d d d 222wG A w G A u u U u u U u U E E E =
⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅−=⋅⎟
⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛= (13) 1.4 耗散势能
耗散势能是指剪切带的塑性应变能乘以剪切
带的体积。

耗散势能S U 可以表示为
22
()
2sin c
S Aw U c ττα
−=
(14)
式中c τ是抗剪强度，p c γτd /d =为软化模量。

c 与
λ的关系为
λ
λ
+=
G G c (15) 式中 G 是剪切弹性模量。

将耗散势能S U 对u 求一
阶导数，可得
u
U u U S S d d d d d d τ
τ⋅= (16) 根据式(14)，τd /d S U 可以表示为
α
τ
τsin d d c Aw U S −= (17) 利用式(11)及式(17)，式(16)可以表示为 αλτ
sin d d c A u U S = (18) 将式(18)对u 求一阶导数，可得
22
2d d d d d d d d d d d d sin sin S S S U U U u u u u u
A A c w cw ττλλλα
α⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠==⋅=⎛⎞
⋅−=−
⎜⎟⎝⎠
(19) 1.5 能量原理
剪切带及剪切带之外弹性岩石构成的系统的势能Π可以表示为
W U U S E −+=Π (20) 1.6 系统的平衡条件自然满足
系统的平衡条件为
0d d d d d d d d =−+=u W
u U u U u S E Π (21) 式(21)是自然满足的，因为将式(6)、式(12)及式(18)代入式(21)可以得到 11cos sin 1cos cos 0sin sin A P c G A P A λτααλττασααλα⎛⎞
−−=⎜⎟⎝⎠
⎛⎞
⋅−=−=⎜⎟⎝⎠
(22)
1.7 系统的失稳判据
系统的失稳判据为
0d d d d d d d d 2222
2222<−+=u W
u U u U u S E Π (23) 将式(7)、式(13)及式(19)代入式(23)可以得到
222cos 0sin sin A
A EA
wG cw L λλααα−+<′
(24)
将式(24)进行化简，可以得到
2
2211cos sin cos 0sin E
w G c L E w L λααλαα⎛⎞⋅−+=⎜⎟′
⎝⎠−+<′
(25)
因此，系统的失稳判据最终可以表示为
α
ααλsin cos sin 2w
L E w
−
> (26)
若和试样的尺寸L 相比，αsin /w 项可以忽略，则式(26)可以简化为
156 工 程 力 学
L
E w ααλ
2cos sin > (27) 2 目前失稳判据的优越性
应当指出，式(27)与文[14]通过比较剪切带的刚度与带外弹性岩石的剪切刚度k 得到的失稳判据是相同的。

这说明，目前得到的失稳判据式(26)是更广义上的失稳判据。

这是本文提出的失稳判据的优点之一。

第一，利用能量原理分析剪切带及剪切带之外弹性岩石构成的系统的稳定性，不必引入文[14]中的一些假设，处理方式在力学上比较严密。

第二，目前得到的失稳判据是更准确的失稳判据。

式(26)反映了剪切带的出现降低了带外弹性岩石的高度。

由式(26)可以看出，考虑这一因素后，式(26)右端值变大，和式(27)相比，不等式不容易满足。

也就是说，考虑上述因素后，相当于降低了试样的高度，使剪切带-带外弹性岩石系统不容易发生失稳破坏。

文[14]中的失稳判据式(27)高估了系统的不稳定性。

应当指出，本文中的带外弹性岩石的压缩刚度
K 与文[14]中的带外弹性岩石的剪切刚度k 是不同的概念。

3 讨论及结论
剪切带之外弹性岩石对剪切带所作的功(外力功)，见式(5)，不仅与弹性岩石的刚度及位移有关，还与剪切带倾角有关。

剪切带倾角是剪切带-带外弹性岩石系统结构形式的反应。

因此，外力功受弹性岩石的尺寸(高度及横截面面积)、岩石弹性阶段的本构参数(弹性模量)及结构形式(剪切带倾角)的影响。

外力功与剪切带的尺寸没关系。

见式(8)，剪切带的弹性势能受剪切带的弹性应变能及剪切带的体积影响。

见式(14)，耗散势能与剪切带的塑性应变能及剪切带的体积有关。

因此，剪切带的弹性势能及耗散势能不受剪切带之外弹性岩石尺寸的影响，但与剪切带的尺寸有关系。

此外，二者还与岩石弹性阶段的本构参数(弹性模量)、岩石应变软化阶段的本构参数(软化模量)及结构形式(剪切带倾角)有关。

式(22)自然满足保证了剪切带之外弹性岩石的平衡(倾角为α的倾斜截面上的正应力σ与剪应力
τ满足αστ2sin 5.0=)。

目前得到的失稳判据(式(26))综合反映了岩石材料弹性及应变软化阶段的本构参数(E 及λ)、剪切带之外弹性岩石的尺寸('L )、剪切带的尺寸(w )及系统的结构形式(α)对系统稳定性的影响。

目前得到的失稳判据比以往所得到的失稳判据更严格，更精确，更具有广泛意义。

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(参考文献[9]~[19]转第161页)
工程力学 161
的比较图象。

结果表明，热载荷对波传播的影响很小：对于第三模态，在波数小于0.3时，考虑热载荷对波比不考虑热载荷的波传播速度要小。

3 结论
本文研究了非线性大变形，层合壳的铺设形式、转动惯量及热载荷效应对波在压电层合壳中传播的影响，从计算结果我们可以得到以下结论：
(1)大变形效应在波数很小时对波传播速度影响作用微小，但当随着波数的增加，其影响作用逐渐增大；
(2) 在大变形作用下，压电壳的铺设方式和层数对波的传播影响是很明显的，可以通过最优化方法铺设以满足不同的工程需要；
(3) 转动惯量对于波传播的第二和第三模态的影响很小，但对于第一模态考虑转动惯量的波速明显比未考虑转动惯量的波速要小。

(4) 热载荷对波传播的影响很小。

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