2021高三数学北师大版(理)一轮课后限时集训：56 双曲线

双曲线
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一、选择题
1．(2019·浙江高考)渐进线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( ) A.22 B ．1 C.2
D ．2
C [根据渐进线方程为x ±y ＝0的双曲线，可得a ＝b ，所以c ＝2a 则该双曲线的离心率为e ＝c
a ＝2，故选C.]
2．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 2
9＝1的( )
A ．离心率相等
B ．虚半轴长相等
C ．实半轴长相等
D ．焦距相等
D [由0＜k ＜9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．]
3．(2019·天津高考)已知抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2
a 2
－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )
A ． 2
B ． 3
C ．2
D ． 5
D [l 的方程为x ＝－1，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，故得A
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1，b a ，
B ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1，－b a ， 所以||AB ＝2b a ，2b a ＝4，b ＝2a ，所以e ＝c
a ＝a 2＋
b 2a ＝5，故选D.] 4．已知点A (－1,0)，B (1,0)为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，点M 在双曲线上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为( )
A ．x 2
－y 2
4＝1
B ．x 2
－y 2
3＝1
C ．x 2
－y 2
2＝1
D ．x 2－y 2＝1
D [由题意知a ＝1.不妨设点M 在第一象限，则由题意有|AB |＝|BM |＝2，∠ABM ＝120°.过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，则|BN |＝1，|MN |＝3，所以M (2，3)，代入双曲线方程得4－3
b 2＝1，解得b ＝1，所以双曲线的方程为x 2－y 2＝1，故选D.]
5．已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 内切圆的圆心在直线x ＝2上，则顶点C 的轨迹方程是( )
A.x 24－y 2
21＝1(x ＞2) B ．y 24－x 2
21＝1(y ＞2) C.x 221－y 2
4＝1
D ．y 24－x 2
2＝1
A [如图，△ABC 与内切圆的切点分别为G ，E ，F . |AG |＝|AE |＝7，|BF |＝|BG |＝3，|CE |＝|CF |，所以|CA |－|C
B |＝7－3＝4.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为x 24－y 2
21＝1(x ＞2)．]
6．(2019·福州模拟)过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b ，则该双曲线的渐近线方程为( )
A ．y ＝±x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±3x
D ．y ＝±2x
A [由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b ，所以菱形的边长为2b ，由勾股定理得4条直线与y 轴的交点到x 轴的距离为4b 2
－c 2
＝3b 2
－a 2
，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以b
a ＝3
b 2－a 2a 2＋b 2
，
解得a ＝b ，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，故选A.]
7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( )
A ．215a 2
B ．15a 2
C ．30a 2
D ．15a 2
B [由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右支上，由e ＝c
a ＝2，得c ＝2a ，∴△AF 1F 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ，又△AF 1F 2的周长为10a ，∴|AF 1|＋|AF 2|＝6a ，又∵|AF 1|－|AF 2|＝2a ，
∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，在△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝4a ， ∴cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1
|·|AF 2
|
＝(4a )2＋(2a )2－(4a )22×4a ×2a
＝1
4.
又0<∠F 1AF <π，∴sin ∠F 1AF 2＝15
4， ∴S △AF 1F 2＝1
2|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2 ＝12×4a ×2a ×154＝15a 2.] 二、填空题
8．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.
1 2 [由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以b
a ＝2.
又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.]
9．若双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，则该双曲线的标准方程为________．
x 26－y 26＝1 [依题意，e ＝2⇒a ＝b .设方程为x 2m －y 2m ＝1，则16m －10m ＝1，解得m ＝6.∴x 26－y 2
6＝1.]
10．设双曲线x 2－y
23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，
且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．
(27，8) [如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上，
设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2， 由于△PF 1F 2为锐角三角形， 结合实际意义需满足 ⎩
⎨⎧
(m ＋2)2<m 2＋42，42<(m ＋2)2＋m 2， 解得－1＋7<m <3， 又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27<2m ＋2<8.]
1．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )
A ．2sin 40°
B ．2cos 40°
C ．1sin 50°
D ．1cos 50°
D [由题意可得－b
a ＝tan 130°， 所以e ＝
1＋b 2
a 2＝1＋tan 2130°＝
1＋sin 2130°
cos 2130° ＝1|cos 130°|＝1
cos 50°
.
故选D.]
2．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )
A. 2 B ． 3 C ．2
D ． 5
A [如图，由题意，知以OF 为直径的圆的方程为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －c 22＋y 2＝c
24①，将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得
x ＝a 2
c ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝a 2
c ，所以|PQ |＝2
a 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a 2
c 2.由|PQ |＝|OF |，得2
a 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2
c 2
＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝2，故选A.]
3．已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 2
4－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离
的取值范围是________．
(0,2) [对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|b
c |b 2＋a 2＝b .双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，即x 28－m －y 2m －4＝
1，其焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧
8－m >0，
m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝
m －4∈(0,2)．]
4．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为
F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若 S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是________．
16 [由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y ＝b
a x 上，由题意可知|F 2M |＝bc a 2＋
b 2
＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2
＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，
又a 2
＋b 2
＝c 2
，c a ＝5
2，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为
16.]
1．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2
n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．
3－1 2 [设椭圆的右焦点为F (c,0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫
c 2，
3c 2，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，
∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4椭－8e 2
椭＋4＝0，∴e 2椭＝4±23，∴e 椭＝3＋1(舍去)
或e 椭＝3－1，
∴椭圆M 的离心率为3－1.
∵双曲线的渐近线过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫
c 2，
3c 2，∴渐近线方程为y ＝3x ，∴n m ＝3，故双曲线的离心率e 双＝
m 2＋n 2
m 2＝2.]
2．已知椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2
－y 2n
＝1的离心率分别为e 1，e 2，且有公
共的焦点F 1，F 2，则4e 2
1－e 22＝________，
若P 为两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝________.
0 3 [由题意得椭圆的半焦距满足c 21＝4－m ，双曲线的半焦距满足c 2
2＝1
＋n ，
又因为两曲线有相同的焦点， 所以4－m ＝1＋n ，
即m ＋n ＝3，
则4e 2
1－e 22＝4×4－m 4－(1＋n )＝3－(m ＋n )＝0.
不妨设F 1，F 2分别为两曲线的左、右焦点，点P 为两曲线在第一象限的交点，
则⎩⎨⎧
|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|－|PF 2|＝2. 解得⎩⎨⎧
|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，
则|PF 1|·|PF 2|＝3.]。