椭圆定义与性质(全)ppt课件

C
|CF1|+|CF2|=2a
F1
F2
D
练习
1 椭圆 x2 y2 1上一点P到一个焦点的距离为5， 25 9
则P到另一个焦点的距离为（ A）
A.5
B.6 C.4
D.10
2.已知椭圆的方程为
x2 y2
1，焦点在X轴上，
则其焦距为（A） 8 m2
A 2 8 m2
B 2 2 2m
C 2 m2 8
两边除以 a 2b 2得
x2 a2
by22
1(ab0).
椭圆的标准方程
y
M
焦点在x轴：
x2 a2
y2 b2
1ab0
F1 o F2 x
(xc)2y2(xc)2y22a
焦点在y轴：
y2 a2
bx22
1(ab0)
y
F2
M
ox
F1
(yc)2x2(yc)2x22a
总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距 式
1
(ab0)
∵ c=2，且 c2= a2 - b2 ∴ 4= a2 - b2 ……①
y
又∵椭圆经过点 3 ，5
∴
(52)2 a2
( 23)2 b2
1
2
2
……②
联立①②可求得：a2 10,b2 6
∴椭圆的标准方程为 y2 x2 1 10 6
P
F2
x
F1
(法二) 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的
设点 设M（x,y）是曲线上任意一点； 列式 由限制条件，列出几何 等 式，写出适
合条件P的点M的集合P={M|P(M)}
代换 用坐标法表示条件P(M)，列出方程 化简 f(x,y)=0，化简方程f(x,y)=0.
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
M
y
F2 M
F1 O O OF2 x x x
解： 以两焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为 方y 轴程，可建设立为如图所示的直角坐标系xOy，则这个椭y 圆的标准
x2
y2
1ab0
a2 b2
根据题意有 2a 3，2c 2.4
即 a 1.5， c 1.2
F1
O
F2
x
b 2 a 2 c 2 1 .5 2 1 .2 2 0 .8 1
系？
请你归纳出椭圆的定义,它应该包含几个要素?
(1)由于绳长固定，所以点M到两
M
个定点的距离和是个定值
（2）点M到两个定点的距离和要大 F1
F2
于两个定点之间的距离
（一）椭圆的定义
椭圆定义的文字表述：
• 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 （2a） （大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
标准方程为
y2 a2
bx22
1
(ab0)
由椭圆的定义知，
2a ( 3 )2 ( 5 2)2
2
2
3 10 1 10
2
2
( 3 )2 ( 5 2)2
2
2
2 10,
a 10 . 又c 2,
b2 a2 c2 10 4 6.
所以所求椭圆的标准方程为 y2 x2 1. 10 6
• 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 • 两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。
椭圆定义的符号表述：
M
M1FM2F2a F2
F1
(2a>2c)
小结：椭圆的定义需要注意以下几点 1.平面上----这是大前提 2.动点M到两定点F1，F2的距离之和是常数2a 3.常数2a要大于焦距2C
思考：
1.当2a>2c时,轨迹是（ 椭圆 ） 2.当2a=2c时,轨迹是一条线段, 是以F1、F2为端 点的线段．
(3) m2
m2 y211(6)2x4 2 k1y62k1
练习：
1.方 程 x 2 y 2 1表 示 焦 点 在 x轴 上 的 椭 圆 ， a3
则 a的 范 围 为 ( a>3 )。 2.方 程 x 2 y2 1表 示 焦 点 在y轴 上 的 椭 圆 ，
b9 则 b的 范 围 为 ( 0<b<9 )。
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”
2.椭圆的标准方程的推导
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直 平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). y
设M(x, y)是椭圆上任意一
M
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐 标分别是(c,0)、(c,0) .
不同点：焦点在x轴的椭圆 x 2 项分母较大.
焦点在y轴的椭圆 y 2 项分母较大.
练习1：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指 明a2、b2，写出焦点坐标
x2
y2
+ =1
25 16
x2
y2
+ =1
144 169
x2
y2
m2
+
m2
+
= 1
1
答：在 X 轴（-3，0）和（3，0） 答：在 y 轴（0，-5）和（0，5） 答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）
(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，
并且CF1=,则CF2=_8__.
变题： 若椭圆的方程为16x29y2 144,试口答完成（1）.
x2 y2 1 9 16
探究: 若方程 x2 y2 1表示焦点在y轴上的椭圆， k 2 3k
求k的取值范围; 若方程表示椭圆呢?
例题
例1、填空：
D 2 2 m 2 2
例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
（14） 已a知 6,c1的 椭 圆 的 标 准
x2 y2 1 36 35
x2 y2 1 35 36
小结:先定位(焦点)再定量(a,b,c) 椭圆的焦点位置不能确定时,椭圆的标准方程一般有 两种情形,必须分类求出
（ 25） 椭 x2圆 y21的 焦2 距 ,则 m 的 等值 于
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的 准则：
焦点在分母大的那个轴上。
x2 (1)已知椭圆的方程为：
y2
1
，则
25 16
a=___5__，b=___4____，c=____3___，焦点坐标
为：__(3_,_0)_、__(-_3_,0_)__焦距等于___6___;若CD为过
左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为___２__0___
圆. ，且焦点在轴上，所以可设椭圆的标准方程为 ：
x2 y2 + =1(a>b>0)
a2 b2
y
A
∵ 2a=10, 2c=8 ∴ a=5, c=4
Bo Cx
∴ b2=a2－c2=52－42=9
∴所求椭圆的标准方程为:
x 2 y2 1 （ y 0)
25 9
例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
3.当2a<2c时,无轨迹,图形不存在.
4.当c=0时,轨迹为圆．
♦ 回忆在必修2中是如何求圆的方程的？
以圆心O为原点，建立直角坐标系
设圆上任意一点P(x，y)
y
P(x, y)
•
r
OPr x2 y2 r
•
O
x 两边平方，得
x2 y2 r2
求曲线方程的方法步骤是什么？
建系 建立适当的直角坐标系；
(1) (2)
a a
x2
==44，，bb==11，，焦焦点点在在坐x 轴标上轴；上1；6
y2
1
x2
y2
1或
x2
y 2 1
(3) 两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，162），并且经 16
过点P（ -1.5 ，2.5）.
解：(法一)因为椭圆的焦点在y轴上，
设它的标准方程为
y2 a2
x2 b2
（x，y）,圆x2 y2 ＝４上的
对应点的坐标为（x’，y’），
由题意可得：
x/ x
y/
2
y
o
x
因为 x2 y2＝４
所以 即
x2 4y2 4 x 2 y2 1 4
1）将圆按照某个方向均匀地压缩 （拉长），可以得到椭圆。 2）利用中间变量求点的轨迹方程 的方法是解析几何中常用的方法；
练习
3.已知方程 x 2 + y表2 =示1 焦点在x轴 4m
上的椭圆，则m的取值范围是 (0,4.)
变式：已知方程 x2 + y2 = 1 m - 1 3- m
表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范
围是 (1,2.)
2、 已知椭圆的方程为： x2 y2 1，请填空： 25 16
(1) a=_5_，b=_4_，c=_3_，焦点坐标为_(-_3_,_0_)、__(_3_,_0_)，焦距等于_6_.
1已知一个圆的圆心为坐标原点半径为2从这个圆上任意一点p向x轴作垂线段pp延长p2已知一个圆的圆心为坐标原点半径为2从这个圆上任意一点p向x轴作垂线段pp
生 活 中 的 椭 圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢？
星系中的椭圆
——仙女座星系
——“传说中的”飞碟
数学实验
m4
5或3
x2 a2
by22
1
ab0
b x22ay22 1 ab0
例1：平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点
距离之和是10的点的轨迹方程。 解：这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点，用F1、
F2表示，取过点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平
分线为y 轴建立直角坐标系。
∵2a=10 2c=8 b2=a2c2=9, b=3
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：
焦点在分母大的那个轴上。
练习：
1.口答：下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a 2 , b2 ，写出焦点坐标.
(1) x2 y2 1 (4)9x22y 5 2225 0
16 16
x2 (2)
y2
1
(5)3x22y21
25 16
? x2
练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a= 6 ,b=1,焦点在x轴上; (2)焦点为F1(0,－3),F2(0,3),且a=5.
(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过 P(2,3)点；
(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).
答案：(1) x 2 y 2 1
6
x2
两类标准方程的对照表
定义 图形
MF1+MF2=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
ox
F1
方程
x2 a2
by22
1ab0
y2 a2
bx22
1ab0
焦点
F(±c，0)
F(0，±c)
a,b,c之间的关系
c2=a2-b2
注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，
中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。 (2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。 (3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。
解 (1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。
(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭 圆(是线段F1F2)。
F1 0
F2 x
由椭圆的定义得，限制条件：MF1 MF2 2a
代入坐标 M F 1(x c )2 y 2 ,M F 2(x c )2 y 2
得( 方 x c )2 程 y 2(x c )2 y 2 2 a （问题：下面怎样化简？）
移项，再平方 ( x c ) 2 y 2 4 a 2 4 a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 a2cx a(xc)2y2 两边再平方，得
y2
(3)
1
16 12
y2 x2 (2) 1
25 16
(4) x2 + y2 =1 49
小结：求椭圆标准方程的步骤：
①定位：确定焦点所在的坐标轴；
②定量：求a, b的值.
3. 例题 例1 ： 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一 个椭圆，
它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为 3m，求这个椭圆的标准方程．
• (1)取一条细绳， • (2)把它的两端固定在板
上的两个定点F1、F2 • (3)用铅笔尖（M）把细
绳拉紧，在板上慢慢移 动看看画出的 图形
思 1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动 考 的？
2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ 3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关
∴a=5
因此这个椭圆的标准方程是：
c=4
y
Bo
A
Cx
x2 y2
52 32
1即x2y21 259
定义法求轨迹方程。
变题1:已知△ABC的一边BC固定，长为8，周长为 18，求顶点A的轨迹方程。
解注：意以：B求C出的曲中线点的为方原程点后，，BC要所注在意的检直查线一为下x轴建立 直角坐方标程系的。曲根线据上椭的圆点的是定否义都知是所符求合轨题迹意方。程是椭
a 4 2 a 2 c c 2 x x 2 a 2 x 2 2 a 2 c a x 2 c 2 a 2 y 2 整理得 (a 2 c 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 )
由椭圆定义可知 2a2c,即ac,所以
a2 c2 0,设a2c2b2(b0),
b2x2a2y2a2b2
x2
y2
因此，这个椭圆的标准方程为
1 2.25 0.81
回顾小结
一种方法： 求椭圆标准方程的方法
二类方程:
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
bx22
1ab0
例1 ：将圆x2+y2 = 4上的点的横坐标保持不变，
纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程，
并说明它是什么曲线？
y
解：设所的曲线上任一点的坐标为