2017-2018学年安徽省淮北市第一中学高二下学期第一次月考数学文试题(Word版)

淮北一中2017-2018学年度高二下第一次月考
数学（文科）试卷
一、选择题（共12个小题,每小题5分）
1.已知集合{|11}A x x =-<<，2{|20}B x x x =--<，则()R C A B ⋂=( ) A ．[1,2) B ．(1,2] C ．(1,0]- D ．[1,2)-
2.命题“,ln x R x x ∀∈>”的否定为( )
A ．,ln x R x x ∀∈≤
B ．,ln x R x x ∀∈<
C ．000,ln x R x x ∃∈≤
D ．000,ln x R x x ∃∈> 3.若复数z 满足()112i z i +=-，则复数z 的虚部为( )
A ．
32 B ．32- C ．32i D ．32
i - 4.函数ln ()x
f x x
=，则（ ）
A ．x e =为函数()f x 的极大值点
B ．x e =为函数()f x 的极小值点 C. 1x e =
为函数()f x 的极大值点 D ．1
x e
=为函数()f x 的极小值点 5.设实数,x y 满足约束条件10
1010x y y x y -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪++≤⎩
，则2z x y =-的最大值为( )
A ．-3
B ．-2 C.1 D ．2
6.已知平面向量,a b 满足||3a = ，||23b =
，且a b + 与a 垂直，则a 与b 的夹角为（ ）
A ．
6
π
B ．
3
π
C.
23π D ．56
π
7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A ．5
B ．4 C.3 D ．2
8.双曲线22
1124
x y -=的焦点到渐近线的距离为( )
A ．2
B ．3 C.2 D ．3
9.若直线()2200,0ax by a b -+=>>经过圆222410x y x y ++-+=的圆心，则14a b
+的最小值是( )
A ．16
B ．9 C.12 D ．8 10.函数2||2x y x e =-在[]2,2-的图像大致为( )
A ．
B ． C.
D ．
11.若函数()2
1f x ax x a =+++在()2,-+∞上是单调递增函数，则a 取值范围是( ) A ．1(,]4-∞ B ．1(0,]4 C.1[0,]4 D ．1[,)4
+∞
12.椭圆22
195
x y +=的焦点分别为12,F F ，
弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆面积为π，,A B 两点的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，则12||y y -的值为( )
A ．6
B ．
32 C.9
2
D ．3 二、填空题（共4题，每题5分）
13.一枚骰子先后投掷两次，两次向上点数之和为5的倍数的概率： ． 14.在数列{}n a 中，已知其前n 项和为31n
n S =+，则n a = ． 15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 3sin A B =，5c =，
且5
cos 6
C =，则a = ．
16.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足'()10xf x -<，且(1)1f =，则不等式
(21)ln(21)1f x x ->-+的解集是 ．
三、解答题 （第17题10分，其余5题每题12分）
17.在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2sin 3a B b =. （1）求A 的大小；
（2）若3a =，4b c +=，求ABC ∆的面积. 18.已知数列{}n a 满足11
2a =
，且122n n n
a a a +=+. （1）求证：数列1
{
}n
a 是等差数列； （2）若1n n n
b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S . 19.已知函数()3
21613
f x x ax x =
++-.当2x =时，函数()f x 取得极值. （1）求实数a 的值；
（2）方程()0f x m +=有3个不同的根，求实数m 的取值范围.
20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，M 为PD 的中点.
（1）求证：//PB 平面MAC ；
（2）若PA ⊥底面ABCD ，2AB =，PD PB ⊥，120DAB ∠=︒，求三棱锥B MDC -的
体积.
21.如图所示，已知点(),3M a 是抛物线24y x =上一定点，直线AM 、BM 的斜率互为相反数，且与抛物线另交于,A B 两个不同的点.
（1）求点M 到其准线的距离； （2）求证：直线AB 的斜率为定值. 22.已知函数2
1()(21)2ln ()2
f x ax a x x a R =
-++∈. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:ACBAC 6-10:DACBD 11、12：CD
二、填空题
13.
736 14. 4,123,2
n n
n a n =⎧=⎨⋅=⎩ 15.3 16. 1
(,1)2 三、解答题
17.解：（1）∵2sin 3a B b =，∴
sin 3
2
a B B =
， 由正弦定理得sin sin 3sin 2A B B =，即3
sin 2
A =.
∵(0,
)2
A π
∈，∴3
A π
=
.
（2）∵2
2
2
2cos a b c bc A =+-，3a =，3
A π
=，∴22
9b c bc +-=
又4b c +=，∴()2
39b c bc +-=，7
3
bc =
，
∴117373
sin 223212
ABC S bc A ∆=
=⨯⨯=
. 18.解：（1）∵122n n n a a a +=
+，∴1212n n n a a a ++=，∴1111
2
n n a a +-= ∴数列1
{
}n
a 是等差数列. （2）由（1）知
()11113
122
n n n a a +=+-⨯=
，所以23n a n =+， ∴()()
4
11
4(
)3434
n b n n n n =
=⨯-++++， 11114[()()4556n S =⨯-+-11
()]34n n ++-++
114()444
n
n n =⨯-=
++ 19.解：（1）由()32
1613
f x x ax x =++-，则()226f x x ax '=++
因在2x =时，()f x 取到极值 所以()204460f a '=⇒++= 解得，52
a =-
（2）由（1）得()32
156132
f x x x x =
-+-且13x ≤≤ 则()()()2
5623f x x x x x '=-+=-- 由()0f x '=，解得2x =或3x =；
()0f x '>，解得3x >或2x <； ()0f x '<，解得23x <<
∴()f x 的递增区间为：(),2-∞和()3,+∞；
()f x 递减区间为：()2,3
又()1123f =
，()7
32
f =
故答案为11732
m -
<<- 20.（1）证明：如图，连接BD 交AC 于点O ，连接OM ，由底面ABCD 为菱形，可知点
O 为BD 的中点，
又∵M 为PD 中点，∴OM 为PBD ∆的中位线， ∴//PB OM .
又∵OM ⊂平面MAC ，PB ⊄平面MAC ， ∴//PB 平面MAC .
（2）解：∵PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，120DAB ∠=︒，∴23BD =， 又易得PAD PAB ∆∆≌， ∴22
23622
PD PB BD ==
=⨯=， ∵22222PB PA AB PA =
+=+6=，得2PA =，
∴点M 到底面ABCD 的距离为
12
22
PA =
， ∴B MDC M BCD V V --==
1232BCD S ∆⨯⨯=126
3326
⨯⨯=
. 21.（1）解：∵(,3)M a 是抛物线24y x =上一定点 ∴2
34a =，94
a =
∵抛物线2
4y x =的准线方程为1x =- ∴点M 到其准线的距离为：
134
. （2）证明：由题知直线MA MB 、的斜率存在且不为0， 设直线MA 的方程为：93()4
y k x -=-
联立293()44y k x y x
⎧
-=-⎪⎨⎪=⎩
241290y y k k ⇒-+-=
43A y k +=
，∴43A y k
=- ∵直线AM BM 、的斜率互为相反数
∴直线MA 的方程为：9
3()4
y k x -=--，同理@可得：4
3B y k
=-- ∴22
44
A B A B AB B A B A y y y y k y y x x --=
=--42
3
A B y y ==-+ 22.解：2
'()(21)(0)f x ax a x x
=-++>. （Ⅰ）(1)(2)
'()(0)ax x f x x x
--=
>.
①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，'()0f x >；在区间(2,)+∞上'()0f x <，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ②当102a <<
时，12a >，在区间(0,2)和1(,)a +∞上，'()0f x >；在区间1
(2,)a
上'()0f x <，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1
(2,)a
.
③当12a =时，2
(2)'()2x f x x -=，故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.
④当12a >
时，1
02a <<， 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，'()0f x >；在区间1
(,2)a
上'()0f x <，
故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1
(,2)a
.
（Ⅱ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <. 由已知，max ()0g x =，有（Ⅱ）可知， ①当1
2
a ≤
时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)f x f ==22(21)2ln 2a a -++222ln 2a =--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，
故1ln 212
a -<≤. ②当12a >
时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1
[,2]a
上单调递减， 故max 11
()()22ln 2f x f a a a
==---.
由12a >可知11
ln ln ln 12a e
>>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，
所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， 综上所述，ln 21a >-.。