专题05 用好导数破解函数零点问题（第一篇）2021年高考数学压轴题命题区间探讨与冲破（原卷版）

一．方式综述
近几年的高考数学试题中几次出现零点问题，其形式逐渐多样化、综合化.处置函数零点问题时，咱们不但要掌握零点存在性定理，还要充分运用等价转化、函数与方程、数形结合等思想方式，才能有效地找到解题的冲破口．利用导数解决函数的零点问题，是近几年高考命题的热点题型，此类题一般属于压轴题，难度较大．本专题举例说明如何用好导数，破解函数零点问题.
二．解题策略
类型一 讨论函数零点的个数
【例1】【吉林省通榆县第一中学2021届高三上期中】已知函数f (f )=1
2
f 2
−3ln f . （1）求f (f )在(1,f (1))处的切线方程；
（2）试判断f (f )在区间(1,f )上有无零点？如有则判断零点的个数. 【指点迷津】
讨论函数零点的个数，可先利用函数的导数，判断函数的单调性，进一步讨论函数的取值情况，按照零点存在定理判断（证明）零点的存在性，肯定函数零点的个数.
【触类旁通】【2021高考新课标1，理21】已知函数f （x ）=31
,()ln 4
x ax g x x ++=-. (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；
（Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{
()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h （x ）
零点的个数.
类型二 已知函数在区间上有零点，求参数的取值范围
【例2】【河北省衡水中学2021届高三上学期二调】已知函数f (f )=e f −2f . (1)求曲线f =f (f )在点(0,f (0))处的切线方程；
(2)若函数f (f )=f (f )−f ,f ∈[−1,1]恰有2个零点，求实数f 的取值范围. 【例3】【2021年理数全国卷II 】已知函数
．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求．
【指点迷津】
已知区间上有零点，求参数的范围问题．往往因为含有超越函数式的函数图象较为复杂，也没有固定的形状特点，所以在研究此类问题时，可以从两个方面去思考：
(1)按照区间上零点的个数情况，估量出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要知足的条件，进而求出参数知足的条件；
(2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要知足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，借助导数研究函数的单调性、极值等，层层推理得解．
【触类旁通】【贵州省遵义航天高级中学2021届高三上第四次模】已知函数f(f)=f
f +1
2
ln f−
1(f∈f)的两个零点为f1,f2(f1<f2)．（1）求实数m的取值范围；
（2）求证：1
f1+1
f2
>2
f
．
类型三已知存在零点，证明零点的性质
【例4】【安徽省皖中名校联盟2021届10月联考】已知函数f(f)=(f−1)f f−ff2．
（1）讨论f(f)的单调性；
（2若函数f(f)有两个零点别离记为f1,f2．
①求f的取值范围；
②求证：f′(f1+f2
2
)<0．
【指点迷津】
已知函数存在零点，需要证明零点知足某项性质时，实际上是需要对函数零点在数值上进行精准求解
或估量，需要对零点进行更高要求的研究，为此，不妨结合已知条件和未知要求，构造新的函数，再次通过导数的相关知识对函数进行更进一步的分析研究，其中，需要灵活运用函数思想、化归思想等，同时也需要咱们有较强的抽象归纳能力、综合分析问题和解决问题的能力．含参数的函数的单调性的讨论，合理分类讨论是关键，分类点的选择一般依据导数是不是存在零点，若存在零点，则查验零点是不是在给定的范围当中．
【触类旁通】【江西师范大学附属中学2021年10月高三月考】设f ∈f ，函数f (f )=ln f −ff （1）若f (f )无零点，求实数f 的取值范围；
（2）如有两个相异零点f (f )f 1，f 2，求证： ln f 1+ln f 2+2ln f <0．
三．强化训练
1．【2021年理新课标I 卷】已知函数 ．若g （x ）存在2个零
点，则a 的取值范围是（ ）
A. [–1，0）
B. [0，+∞）
C. [–1，+∞）
D. [1，+∞）
2．【山西省太原市第五中学2021届10月月考】已知f (f )=|ff f |，又f (f )=f 2(f )−ff (f )(f ∈f )，
若知足f (f )=−1的f 有四个，则f 的取值范围是（ ）
A ． (−∞,−f 2+1f )
B ． (f 2+1f ,+∞)
C ． (−f 2+1f ,−2)
D ． (2,f 2+1f )
3．【山东省安丘市2021届10月检测】若存在正实数m ，使得关于x 的方程f +f (2f +2f −
4ff )[ln (f +f )−ln f ]=0有两个不同的根，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ． (−∞,0)
B ． (1
2f
,+∞) C ． (−∞,0)∪(
12f ,+∞) D ． (0,12f
) 4.【江西省南昌市2021届二轮测试卷（一）】设f (f )=ln f +1
f
，若函数f =|f (f )|−ff 2
恰有3个零点，
则实数f 的取值范围为（ ）
A ． (0,f 23)
B ． (f 23,f )
C ． (1f ,1)
D ． (0,1f )∪{f 2
3}
5.【四川省攀枝花市第十二中学2021届10月月考】已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，－2) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
6.【江苏省淮安市淮海中学2021届高三上学期第二阶段测试】若方程（f−2）2
f f−ff−f+2f|f−
2|=0,有且仅有6个不相等的实数根，则实数f的取值范围是______．
7.【河北省衡水中学2021届高三上二调】已知函数f(f)=f+ln f−2
e ,f(f)=f
f
,其中e为自然对数的
底数，若函数f(f)与f(f)的图象恰有一个公共点，则实数f的取值范围是____________.8.【陕西省西安市长安区第五中学2021届高三上期中】已知函数f(f)=f ln f.
(1)若直线f过点（1，0），而且与曲线f=f(f)相切，求直线f的方程；
(2)设函数f(f)=f(f)−(ff−1)在[1,e]上有且只有一个零点，求f的取值范围.(其中f∈R，e为自然对数的底数)
9.【山东省实验中学2021届高三第一次诊断】函数f(f)=1
3
f3+ff2+ff+f（f,f,f∈f）的导函数的图象如图所示：
（1）求f,f的值并写出f(f)的单调区间；
（2）若函数f=f(f)有三个零点，求f的取值范围．
10．【河北省衡水中学2019届高三上二调】已知函数f(f)=ln f+f+f
f
(f∈f).
(1)若函数f(f)在[1,+∞)上为增函数，求f的取值范围；
(2)若函数f(f)=ff(f)−(f+1)f2−f有两个不同的极值点，记作f1,f2，且f1<f2，证明：f1·f22>e3(e为自然对数的底数).。