北京市师范大学附属中学2018_2019学年高一数学下学期期中试题(含解析) (1)

北京师大附中2018－2019学年下学期高一年级期中考试数学试卷
本试卷第一部分有三道大题，考试总时长100分钟，满分100分
第一部分:中文卷(80分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.sin15cos15︒︒的值是( )
A.
14
B.
12
【答案】A 【解析】 【分析】
直接利用二倍角的正弦公式与特殊角的三角函数求解即可. 【详解】sin15cos15sin15c 11111
2sin 3022os15224
︒
︒
︒︒=
⨯==⨯=,故选A. 【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
2.cos15cos 45sin15sin 45︒︒︒︒+等于( )
A.
1
2
D. 1
【答案】C 【解析】 【分析】
直接逆用两角差的余弦公式，结合特殊角的三角函数求解即可. 【详解】cos15cos 45sin15sin 45︒︒︒︒+
()
3
cos 4515cos30︒︒=-==
故选C. 【点睛】本题主要考查两角差余弦公式与特殊角的三角函数，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题,
3.已知平面向量(1,2),(1,0)a b =-=，则向量3a b +等于（ ） A. ()2,6-
B. ()2,6--
C. ()2,6
D.
()2,6-
【答案】A 【解析】 【分析】
直接根据平面向量的坐标运算法则求解即可. 【详解】因为(1,2),a =-所以()33,6a =-， 又因为(1,0)b =，
所以()()331,602,6a b +=-++=-，故选A.
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算法则，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.
4.设m R ∈，向量(1,2),(,2)b a m m =-=-，若a b ⊥，则m 等于( )
A. 23
-
B.
23
C. －4
D. 4
【答案】D 【解析】 【分析】
直接利用向量垂直的充要条件列方程求解即可. 【详解】因为(1,2),
(,2)b a m m =-=-，且a b ⊥，
所以()(1,2)(,2)220a m m m m b ⋅=-⋅-=--=， 化为40m -=，解得4m =，故选D.
【点睛】利用向量的位置关系求参数是命题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.
5.若4cos 5a =-
，α是第三象限的角，则sin()4
π
α+等于（ ）
A. 10-
B.
10
C. 10
-
D.
22
221:4A
A A A
C C C
C
v a r v v a v r === 【答案】A 【解析】 【分析】
先由同角三角函数的关系求出α的正弦值，再利用两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数求解即可.
【详解】因为4
cos 5
a =-
，α是第三象限的角，
所以3sin 5
α==-，
sin()4πααα+=
342525⎛⎫⎛⎫=
⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭10
-
，故选A. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系、两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
6.下列向量的线性运算正确的是（ ） A. AB AC BC += B. AB CB AC += C. AB CB AC -= D. AB AC BC -=
【答案】C 【解析】
分析：由三角形法逐一验证选项中的运算是否正确即可. 详解：对于,A 因为 AC AB BC -=,故A 选项错误；
对于B ，AB CB AC -=，故B 选项错误；
对于C ，AB CB AB CA AB CA AC -=-+=-=, 故C 选项正确； 对于D ，AB AC BC -=-，故D 选项错误，故选C.
点睛：本题主要考查平面向量的线性运算，注意掌握三角形法则的应用是解题的关键.
7.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么a b -等于（ ）
A. 1
D. 2
【答案】A 【解析】 【分析】 先求得1
2
a b ⋅=
，再求出2a b -的值，然后开平方即可得结果. 【详解】因为,a b 均为单位向量，且它们的夹角为60， 所以111,1,cos601122
a b a b a b ==⋅==⨯⨯
=， 222
1
211212
a b a b a b -=+-⋅=+-⨯=， 1a b -=r r
，故选A.
【点睛】本题主要考查向量的模以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方2
2
a a =.
8.已知向量(1,2),(3,4)a b =-=，则2a a b -⋅=（ ）
A. 0
B. －1
C. 2或－2
D.
1
2
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出2
2
145,385a a a b ==+=⋅=-+=，从而可得结果. 【详解】因为(1,2),
(3,4)a b =-=，
所以2
2
145,13245a a a b ==+=⋅=-⨯+⨯=，
所以2
a a
b -⋅=550-=，故选A.
【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+.
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分。

9.(
)
cos 36α︒
+()()()cos 54sin 36sin 54ααα︒
︒
︒
-++-= ___________.
【答案】0； 【解析】 【分析】
直接逆用两角差的余弦公式以及特殊角的三角函数求解即可. 【详解】(
)
cos 36α︒
+()()()cos
54sin 36sin 54ααα︒
︒
︒
-++-
()()
3cos 654αα︒︒
+--⎡⎤=⎣⎦
cos900==,故答案为0.
【点睛】本题主要考查两角差的余弦公式以及特殊角的三角函数，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题,
10.若3
sin()25π
α+=，则cos2α=__________. 【答案】7
25
-
【解析】
325sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得3cos 5α=，2
237cos 22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯--=- ⎪⎝⎭
，故答案
为725
-.
11.若M(3，－2)，N(－5，－1)且1
2
MP MN =，则P 点的坐标为__________. 【答案】3(1,)2
-- 【解析】
分析：设点(),P x y ，表示出,MP MN ，代入1
2
MP MN =，即可求出点P 的
坐标.
详解：设点(),P x y ，
则()()3,2,8,1MP x y MN =-+=-， 又1
2
MP MN =
， 34
3,1,1
222x x y y -=-⎧⎪
∴∴=-=-⎨+=⎪⎩
， 31,2P ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，故答案为31,2P ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭.
点睛：本题主要考查了平面向量的坐标运算问题，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.
12.已知11
tan ,tan 34
αβ==，则()tan αβ+= __________. 【答案】
711
【解析】 分析】
直接利用两角和的正切公式求解即可. 【详解】因为11tan ,tan 34
αβ==， 所以()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
++=
-
117341111134
+
==-⨯，故答案为7
11.
【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，意在考查对基本公式的掌握与运用，属于基础题.
13.在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，,角C 等于60，若4
,2a b ==，则c 的长为__________.
【答案】【解析】 【分析】
直接利用余弦定理求解即可.
【详解】因为角C 等于60， 4,2a b ==， 所以由余弦定理可得
2222cos60c a b ab =+-
1
164242122
=+-⨯⨯⨯
=，
所以c =
【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记
两种形式：（1）2
2
2
2cos a b c bc A =+-；（2）222
cos 2b c a A bc
+-=，同时还要熟练掌握
运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住
30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
三、解答题:共3题，共28分，请写岀必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

14.向量(,12),(4,5),(10,)OA k OB OC k ===，若,,A B C 三点共线，则求实数k . 【答案】11k =或2k =- 【解析】
【分析】
先根据向量减法的运算法则求出(4,7)AB k =--，(6,5)BC k =-，再利用向量共线的性质列方程求解即可.
【详解】因为(,12),(4,5),(10,)OA k OB OC k ===， 所以(4,7)AB OB OA k =-=--
(6,5)BC OC OB k =-=-
因为,,A B C 三点共线， 所以AB 与BC 共线， ∴(4)(5)42k k --=- ∴11k =或2k =-
【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，以及向量共线的性质，属于中档题. 向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算．
15.
已知函数()cos cos ,442
x x x
f x x R =+∈， (1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()
f x 的
最大值和最小值.
【答案】（1）4T π=（2）max 2y =，min 2y =- 【解析】 【分析】
利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数()f x 化为2sin()26
x π
+
，（1）利用正弦函数的周期公式可得函数的周期；(2)利用三角函数的有界性，可得到函数()f x 的最大值和最小值.
【详解】()cos cos ,442
x x x
f x x R =+∈
cos 22x x
=+
12cos 222x x ⎫
=+⎪⎪⎝⎭ 2sin()26
x π=+
（1）函数()f x 的最小正周期2412
T π
π=
=； （2）因为1sin()122sin()22626
x x ππ
-≤+≤⇒-≤+≤，
所以max 2y =，min 2y =-.
【点睛】本题主要考查三角函数的的周期性及最值，属于中档题．三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．
16.在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，
，3
cos 5
4
A B b π
===，，
（1）求a 的值； （2）求sin C . 【答案】（1）85a =（2
）10
【解析】 分析】
（1）先利用同角三角函数的关系求得4
sin 5
A =
，再利用正弦定理可得结果；（2）根据三角形内角和定理，利用诱导公式，结合（1），由两角和的正弦公式可得结果， 【详解】（1
）因为3
cos 5
4
A B b π
==
=，，
所以4sin 5A =
，sin B = 由正弦定理可得，
4sin sin 52
a b a A B =⇒=
8
5
a ∴=
； （2）[]sin sin ()sin()C A B A B π=-+=+
sin cos cos sin =+A B A B
43··525210
=+=
. 【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.。