数学公园游记第三十回 平易近人的微积分

数学公园游记 第三十回
平易近人的微积分
话说这牛顿和莱布尼兹真是大大的天才，他们能够从人们司空见惯的现象中洞悉自然规律，并能从人人知晓的常识中发现未知.为了认识变速运动的速度和曲线的切线，牛顿和莱布尼兹从两个众所周知的事实出发，引进了导数的概念，进而，通过无限细分再累加，给出了定积分的概念.
§1 有限到无限 直线到曲线
匀速直线运动的基本关系为速度=时间路程.牛氏和莱氏以此常识来认识变速运动.变速运动的任何一小段路程可视为直线段，在时间段[t 0，t]的平均速度0
0)()(t t t s t s --=(1)，s(t)表示路程，当时间段[t 0，t]的长度越来越小，以至于接近0时，上述(1)式可视为t 0时刻的瞬时速度.这样，由普通的平均速度观念引出了瞬时速度的概念，这是产生导数的物理背景.
产生导数的几何背景同样简单.众所周知，直角三角形斜边的斜率等于两直角边之比.因此，在曲线y=f(x)的任何一小段，割线AB 的斜率为
).2()()(00x x x f x f AC BC k AB --== 如图30—1当x 非常接近x 0时，曲线段的倾斜程度可以用割线AB 的斜率来衡量，当x 无限接近x 0时，上述(2)式如果接近一个常数，这个常数便可作为在x 0处切线的斜率，反之，过x 0处的切线不存在.由此引出函数导数的概念.
莱氏和牛氏，这两位先行者的基本思路是：用微观驾驭宏观，以直线替代曲线，正如一条弯弯曲曲的山路，对任何一小段，在视觉上人们总是把它看作是平直的.因而，可以从直线知识出发认识曲线，这种思路是多么平易近人，又是多么符合人们的认知习惯——从已知通向未知.
到了十九世纪，数学家们对这种直观的认识很不放心，并找出了许多难以解释的矛盾，逐步为微积分建立了一套艰深的严格理论，尤其是以柯西创导的极限理论为甚，这无疑是一种进步，柯西的初衷本来是为后人能更方便地掌握微积分，谁曾想，如此严格的理论却难倒了众多的后学者.
微积分严格理论的困难何在呢？其根源在于对实数的认识.虽然古希腊人在两千多年前就发现了无理数，但什么是无理数？广而言之，什么是实数？经过两千多年仍然没有一个令人信服的说法，直到十九世纪末，数学家们才从自然数那里找到了可以接受的说辞.简单地说，两个整数之比构成了有理数，如果有理数列{a n }无限逼近一个常数A ，即|a n -A|要多小有多小，A 可能仍然是有理数，也可能不是有理数，但无论如何，A 是一个数，我们称之为实数，归根结底，实数是由自然数生成的.在高中数学必修①中，我们给出了对实数认识的一种方式y
x
o x 0 x A C B 图30—1
——逐步逼近.这应该是中学生们可以接受的.在给出极限的定义时，虽然我们也没有用“—”语言，但用有理数列{a n }无限逼近一个常数A ，也可以使学生对极限有一个正确的观念，对实数有一个正确的认识，并且这也不妨碍他们进一步学习严格理论.
矩形面积公式虽然是数学常识，但它却是积分的发源地.
同学们知道，任何直线封闭图形的面积可以由矩形面积公式得到，但曲线封闭图形的面积又如何得到呢？先行者们的做法仍然是用微观驾驭宏观，直线替
代曲线.
首先我们研究曲边梯形的面积.设曲边梯形由曲线y=f(x)
与直线x=a ，x=b 及y=0所围成.将区间[a ，b]n 等份，
分点为).,2,1,0(n i x i =过各分点将图形划分成n 个小窄条， 宽度为,x n a b ∆=-当x ∆很小时，小窄条的面积近似于相应 的小矩形的面积.很显然，小矩形面积=x x f i ∆)(，把这些小窄条统统加起来，就得到曲边梯形的面积∑=∆≈n
i i x x f 1)(.
当0→∆x 时，就得到曲边梯形面积的精确值
,)(lim 10∑=→∆∆=n i i x x x f S 记为.)(⎰=b
a dx x f S 这就是定积分的来源.其实，f(x)就是小窄条的高，dx 是小窄条的宽，
就
是统统加起来，不过是将和号拉长了一点，变成积分符号而已. 我们还可以由线来认识面.在曲边梯形底边的x 处，作垂直于x 轴的直线，直线在曲边梯形中的截线段的长度是f(x)，让x 从a 移动到b ，直线段随之扫遍整个曲边梯形，将这些直线段统统叠加起来，就得到图形的面积，即.)(⎰=b a dx x f S ⎰b
a dx x f )(表示函数值f(x)从a 到
b 的无限叠加. 又比如，为了得到圆的面积，在半径r 上取点x ，过x 的同心
圆周长为2x ，让x 从0移动到r ，同心圆轴随之扫遍整个圆，这 样圆面积就是圆周长2x 从0到r 的无限叠加，即圆面积
.20⎰=r
xdx S π 就像一大盘鞭炮，假若每个小鞭的直径非常小，那么圆盘的面积可以由各圈长度乘以小鞭直径再相加而得到近似值，当小鞭直径趋于0时，就得到圆盘的精确值.
沿着上述想法，可以得到球体体积公式.过x 处，
y x
o i x 1+i x a b 图30—2
· · x o
图30—3
画垂直于x 轴的直截圆面，截面圆的半径为22x r -，
面积为)(22x r -π，让x 从0移动到r ，截面圆随之 扫遍右半球，半球体积是截面圆面积)(22x r -π从0到r 的叠加.
如此，球体积302234)(2r dx x r V r
ππ=-=⎰.
§2 微积分基本定理浅释 计算定积分是非常困难的，哪怕是求dx x r r
⎰-022)(这样简单的定积分，也相当麻烦.天才的牛顿和莱布尼兹，洞悉到积分与导数的关系，如同除法和乘法的关系——它们互为逆运算.正如把做除法转换成做乘法一样，他们把计算定积分转换成求导数，得到了著名的、重要的微积分学基本定理，使他们创建的微积分学达到了光辉的顶峰.这个定理虽然很艰深，但它也是来自于普通常识.
我们以测量山高为例，试着发现微积分学基本定理，并领会该定理的含义. 首先有常识，直角三角形的高AC=BC k AB ⋅.
设山坡曲线为y=f(x)，山高为h.在测量山高时，
可将底边[a ，b]分成若干段，分点为x i (i=1，2，)，
在山坡上相应的分点处进行测量，得到相应的子高度i h ，
于是，∑==n i i h h 1，i h =AC.AC=i i i AB x x x x x f BC k -=∆∆'≈⋅+1,)(.
由此有 ∑∑==∆'≈=n i i n i i x x f h h 11)(.
x ∆越小，这个近似值越精确，令0→∆x ，便有
∑=→∆∆'=n i i
x x x f h 10)(lim . 再由定积分的定义知，⎰'=b a dx x f h )(. 另一方面，山高应为山顶高度减去山脚高度，即 h=f(b)- f(a).
因此， ).()()(a f b f dx x f h b
a -='=⎰ 这个公式告诉我们，如果知道F(x)的导数是f(x)，那么
).()()(a F b F dx x f b
a -=⎰
y
x
r
-r o x 图30—4
A C 图30—5
i x y x
o 1+i x y=f(x) A C B h
a
b 图30—6
这就是微积分学基本定理，F(x)称作f(x)的一个原函数.这样，求积分⎰b a dx x f )(，就转换成求f(x)的原函数.
例如，球体积dx x r V r ⎰-=022)(2π，我们知道)3(32
x x r -π的导数是)(22x r -π，因此
333032
34)3(2)]3([2r r r x x r V r πππ=-=-=. 又如，我们知道sinx 的导数是cosx ，那么
2)2sin(2sin cos 2
2=--=⎰-π
ππ
πxdx . 通过上面的解释，可以看出，微积分学基本定理来自于两个常识①山高等于山顶与山脚高度之差；②直角三角形的高等于斜边的斜率乘以底边.当然，其中还有一个重要的理念：细微处可以以直代曲.虽然数学家们对此理念有非常严格的论述，中学生可暂时不予理睬，但依然可以理解微积分基本定理的含义及其价值.
§3 微积分的威力
微积分学是微分学和积分学的总称.它是一种数学思想，简单、粗略地说，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分.无限就是极限.极限的思想是微积分学的基础，它是用一种运动的观点去看待问题的.比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念.如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分.
微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点.微积分是人类智慧的伟大结晶.恩格斯说：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了.”当代数学分析权威柯朗(R ．Courant)指出：“微积分乃是一种震撼心灵的智力奋斗的结晶.”
微积分的重大意义可从以下几个方面去体会.
(1)对数学自身的作用
由古希腊继承下来的数学是常量的数学，是静态的数学.自从有了解析几何和微积分，就开辟了变量数学的时代，是动态的数学.数学开始描述变化、描述运动，改变了整个数学世界的面貌.数学也由几何的时代而进入分析的时代.
微积分给数学注入了旺盛的生命力，使数学获得了极大的发展，取得了空前的繁荣.如微分方程、无穷级数、变分法等数学分支的建立，以及复变函数，微分几何的产生.严密的微积分的逻辑基础理论进一步显示了它在数学领域的普遍意义.
(2)对其他学科和工程技术的作用
有了微积分，人类把握了运动的过程，微积分成了物理学的基本语言，寻求问题解答的有力工具.有了微积分就有了工业大革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会.航天飞机、宇宙飞船等现代化的交通工具都是微积分的直接后果.在微积分的帮助下，牛顿发现了万有引力定律，发现了宇宙中没有哪一个角落不在这些定律所包含的范围内，强有力地证明了宇宙的数学设计.
现在化学、生物学、地理学等学科都必须同微积分时刻打交道.
(3)对人类物质文明的影响
现代的工程技术直接影响到人们的物质生产，而工程技术的基础是数学，是离不开微积分的.如今微积分不但成了自然科学和工程技术的基础，而且还渗透到人们广泛的经济、金融活动中，也就是说微积分在人文社会科学领域中也有着其十分广泛的应用.
(4)对人类文化的影响
如今无论是研究自然规律，还是社会规律都是离不开微积分的，因为微积分是研究运动规律的科学.
现代微积分理论基础的建立是认识上的一个飞跃.极限概念揭示了变量与常量、无限与有限的辩证的对立统一关系.从极限的观点看，无穷小量不过是极限为零的变量.即在变化过程中，它的值可以是“非零”，但它的趋向是“零”，可以无限地接近于“零”.因此，现代微积分理论的建立，一方面，消除了微积分长期以来带有的“神秘性”，使得贝克莱主教等神学信仰者对微积分的攻击彻底破产，而且在思想上和方法上深刻影响了近代数学的发展.这就是微积分对哲学的启示，对人类文化的启示和影响.。