高考数学大二轮复习 层级二 专题三 数列 第2讲 数列求和及综合应用课时作业-人教版高三全册数学试题

第2讲 数列求和及综合应用
限时50分钟 满分76分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2020·某某七校联考)若数列{a n }满足
1
a n ＋1－2
a n
＝0，则称{a n }为“梦想数列”．已知正
项数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1b n 为“梦想数列”，且b 1＋b 2＋b 3＝1，则b 6＋b 7＋b 8＝( )
A ．4
B ．16
C ．32
D ．64
解析：C [由1a n ＋1－2
a n ＝0可得a n ＋1＝12a n ，故{a n }是公比为12的等比数列，故⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1b n 是公比为1
2的
等比数列，则{b n }是公比为2的等比数列，b 6＋b 7＋b 8＝(b 1＋b 2＋b 3)×25
＝32，故选C.]
2．(2020·某某省五校协作体考试)设S n 是数列{a n }的前n 项和，若a n ＋S n ＝2n,
2b n ＝2a n ＋2
－a n ＋1，则1b 1＋12b 2＋…＋1
100b 100
＝( )
A.
9798B.9899C.99100D.100101
解析：D [因为a n ＋S n ＝2n
①，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2
n ＋1
②，②－①得2a n ＋1－a n ＝2n
，所以2a n
＋2
－a n ＋1＝2
n ＋1
.又2b n ＝2a n ＋2－a n ＋1＝2
n ＋1
，所以b n ＝n ＋1，1
nb n ＝
1n
n ＋1＝1n －1n ＋1，则1b 1＋1
2b 2
＋…＋
1100b 100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100
101
，故选D.] 3．(2020·某某省六校联考)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(2n －1)·3n
.设b n ＝4n
a n
，S n 为数列{b n }的前n 项和，若S n ＜λ(λ为常数，n ∈N *)，则λ的最小值是( )
A.32
B.94
C.3112
D.3118
解析：C [a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(2n －1)·3n
，① 当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(2n －3)·3n －1
，②
①－②得，na n ＝4n ·3
n －1
(n ≥2)，即a n ＝4·3
n －1
(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝3≠4，所以a n
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3，n ＝1，4×3n －1
，n ≥2，
b n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
43，n ＝1，n
3n －1
，n ≥2.
所以S n ＝43＋23＋332＋…＋n 3n －1＝13＋130＋231＋332＋…＋n 3n －1，③13S n ＝19＋13＋232＋333＋…＋n －13n －1
＋n
3
n ，④
③－④得，23S n ＝29＋130＋13＋132＋…＋13n －1－n 3n ＝2
9＋1－13n
1－13－n 3
n ，
所以S n ＝3112－6n ＋94×3n ＜
3112，所以易知λ的最小值是31
12
，故选C.] 4．(2019·某某三模)已知f (n )表示正整数n 的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1,2,3,4,6,12，则f (12)＝3；21的因数有1,3,7,21，则f (21)＝21，那么∑100,i ＝51f (i )的值为( )
A ．2 488
B ．2 495
C ．2 498
D ．2 500
解析：D [由f (n )的定义知f (n )＝f (2n )，且若n 为奇数则f (n )＝n ， 则∑100,i ＝1f (i )＝f (1)＋f (2)＋…＋f (100) ＝1＋3＋5＋…＋99＋f (2)＋f (4)＋…＋f (100) ＝
50×1＋99
2
＋f (1)＋f (2)＋…＋f (50)
＝2 500＋∑50,i ＝1f (i )，
∴∑100,i ＝51f (i )＝∑100,i ＝1f (i )－∑50,i ＝1f (i )＝2 500.]
5．(2019·某某二模)已知数列{a n }满足2a 1＋22
a 2＋…＋2n a n ＝n (n ∈N *
)，数列
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1log 2a n log 2a n ＋1的前n 项和为S n ，则S 1·S 2·S 3·…·S 10＝( ) A.
110 B.15C.111
D.
211
解析：C [∵2a 1＋22
a 2＋ (2)
a n ＝n (n ∈N *
)，∴2a 1＋22
a 2＋…＋2
n －1
a n －1＝n －1(n ≥2)，∴
2n
a n ＝1(n ≥2)，当n ＝1时也满足，故a n ＝12n ，故1log 2a n log 2a n ＋1＝1log 22－n log 22
－
n ＋1
＝
1
n
n ＋1
＝1n －1n ＋1，S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，∴S 1·S 2·S 3·…·S 10＝12×23×34
×…×910×1011＝1
11
，选C.]
6．(2019·潍坊三模)已知等差数列{a n }中公差d ≠0，a 1＝1，a 1，a 2，a 5成等比数列，且
a 1，a 2，ak 1，ak 2，…，ak n 成等比数列，若对任意的n ∈N *，恒有
a n 2k n －1≤a m 2k m －1
(m ∈N *
)，则m ＝( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．1或2
解析：D [由已知可得，a 2
2＝a 1·a 5，即(1＋d )2
＝1·(1＋4d )，又d ≠0，解得d ＝2，所以a n ＝2n －1.因为a 1，a 2，ak 1，ak 2，…，ak n 成等比数列，所以2k n －1＝3
n ＋1
.令b n ＝
a n
2k n －1
＝2n －1
3n ＋1，设数列{b n }中的最大项为b l ，故满足⎩
⎪⎨⎪⎧
b l ≥b l ＋1，b l ≥b l －1，解得1≤l ≤2，即数列{b n }中的最大
项为b 1，b 2，所以m ＝1或2.]
二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)
7．(2019·某某三模)已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
a n ＋2，n 是奇数，
2a n ，n 是偶数，则数列{a n }
的前20项和为________．
解析：由题意可知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为
1×
1－210
1－2
＋10×1＋10×9
2
×2＝1 123.
答案：1 123
8．(2019·山师附中质检)将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：
a 1 a 2，a 3 a 4，a 5，a 6 a 7，a 8，a 9，a 10
……
记数阵中的第1列数a 1，a 2，a 4，…，构成的数列为{b n }，S n 为数列{b n }的前n 项和，若
S n ＝2b n －1，则a 56＝________.
解析：当n ≥2时，∵S n ＝2b n －1，∴S n －1＝2b n －1－1，∴b n ＝2b n －2b n －1，∴b n ＝2b n －1(n ≥2且n ∈N *
)，∵b 1＝2b 1－1，∴b 1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴b n ＝2
n －
1
.
设a 1，a 2，a 4，a 7，a 11，…的下标1,2,4,7,11，…构成数列{}，则c 2－c 1＝1，c 3－c 2＝2，
c 4－c 3＝3，c 5－c 4＝4，…，－－1＝n －1，累加得，－c 1＝1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)，∴＝
n n －1
2
＋1，由＝
n n －1
2
＋1＝56，得n ＝11，∴a 56＝b 11＝210
＝1 024.
答案：1 024
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
9．(2020·某某三测)已知数列{a n }满足a 1＝1,2a n ·a n ＋1＋a n ＋1－a n ＝0，数列{b n }满足b n
＝1
2n
·a n
. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记数列{b n }的前n 项和为S n ，问：是否存在n ，使得S n 的值是3
8？
解析：(1)因为2a n ·a n ＋1＋a n ＋1－a n ＝0， 所以a n ＋1＝a n
2a n ＋1， 1
a n ＋1－1a n
＝2a n ＋1a n
－1a n
＝2，
由等差数列的定义可得⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是首项为1
a 1
＝1，公差为d ＝2的等差数列．
故1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝12n －1. (2)由(1)得b n ＝2n －12n ，
所以S n ＝12＋322＋…＋2n －1
2
n ，
两边同乘以12得，12S n ＝122＋323＋…＋2n －1
2n ＋1，
两式相减得12S n ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1
23＋…＋12n －2n －12n ＋1，
即12S n ＝12＋2×14⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－12n －11－12
－2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －1
2
n ＋1，
所以S n ＝3－2n ＋3
2
n .
因为S n ＋1－S n ＝2n ＋32n －2n ＋52n ＋1＝2n ＋1
2
n ＋1＞0，所以数列{S n }是关于项数n 的递增数列，所以
S n ≥S 1＝12，因为38＜12，所以不存在n ，使得S n ＝38
.
10．(2019·某某二模)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *
)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.
(1)求a n 与b n ；
(2)设＝1a n －1b n
(n ∈N *
)．记数列{}的前n 项和为S n .
①求S n ；
②求正整数k ，使得对任意n ∈N *
均有S k ≥S n .
解析：(1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6，知a 3＝(2)b 3－b 2＝8. 又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)， 所以数列{a n }的通项为a n ＝2n
(n ∈N *)． 所以，a 1a 2a 3…a n ＝2
n n ＋1
2
＝(2)
n (n ＋1)．
故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *
)． (2)①由(1)知＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *
)， 所以S n ＝
1n ＋1－12
n (n ∈N *
)． ②因为c 1＝0，c 2＞0，c 3＞0，c 4＞0； 当n ≥5时， ＝
1n
n ＋1⎣⎢⎡⎦
⎥⎤n
n ＋1
2
n
－1，
而
n n ＋1
2
n
－
n ＋1
n ＋2
2
n ＋1
＝
n ＋1
n －2
2
n ＋1
＞0，
即数列⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
n n ＋12
n
当n ≥5时是递减的．
所以
n n ＋1
2
n
≤
5·5＋1
2
5
＜1， 所以，当n ≥5时，＜0.
综上，对任意n ∈N *
，恒有S 4≥S n ，故k ＝4.
11．(文)(2020·某某三地市联考)已知数列{b n }满足3(n ＋1)b n ＝nb n ＋1，且b 1＝3. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)已知a n b n ＝
n ＋12n ＋3，求证：56≤1a 1＋1a 2＋…＋1
a n
＜1.
解析：(1)因为3(n ＋1)b n ＝nb n ＋1，所以
b n ＋1b n ＝3n ＋1
n
. 则b 2b 1＝3×21，b 3b 2＝3×32，b 4b 3＝3×4
3，…， b n b n －1＝3×n n －1
， 累乘，可得b n
b 1
＝3
n －1
×n ，因为b 1＝3，所以b n ＝n ·3n
，
即数列{b n }的通项公式b n ＝n ·3n
.
(2)证明：因为a n b n ＝n ＋12n ＋3，所以a n ＝n n ＋12n ＋3
·3n
.
因为1a n ＝2n ＋3n n ＋1·1
3n
＝3
n ＋1－n n n ＋1·13n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3
n －1n ＋1·13
n
＝1n ·13n －1－1n ＋1·13
n ， 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1×130－12×131＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×131－13×132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ·13n －1－1n ＋1·13n
＝1－
1n ＋1·1
3
n . 因为n ∈N *
，所以0＜
1n ＋1·13n ≤16
， 所以56≤1－1n ＋1·13n ＜1，
所以56≤1a 1＋1a 2＋…＋1
a n
＜1.
11．(理)(2019·某某卷)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M­数列”． (1)已知等比数列{a n }(n ∈N *
)满足：a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，求证：数列{a n }为“M 数列”；
(2)已知数列{b n }(n ∈N *
)满足：b 1＝1，1S n ＝2b n －2b n ＋1
，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．
①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M
数列”{}(n ∈N *
)，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有
c k ≤b k ≤c k ＋1成立，求m 的最大值．
解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，
q ≠0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，
得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 21q 4＝a 1q 4
，a 1q 2
－4a 1q ＋4a 1＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，q ＝2.
因此数列{a n }为“M 数列”． (2)①因为1S n ＝2b n －2
b n ＋1
，所以b n ≠0.
由b 1＝1，S 1＝b 1，得11＝21－2
b 2，则b 2＝2.
由1S n ＝2b n －2b n ＋1，得S n ＝b n b n ＋1
2
b n ＋1－b n
，
当n ≥2时，由b n ＝S n －S n －1， 得b n ＝
b n b n ＋12
b n ＋1－b n －b n －1b n
2b n －b n －1
，
整理得b n ＋1＋b n －1＝2b n .
所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． 因此，数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ∈N *
)． ②由①知，b k ＝k ，k ∈N *
.
因为数列{}为“M 数列”，设公比为q ，所以c 1＝1，
q ＞0.
因为c k ≤b k ≤c k ＋1，所以q k －1
≤k ≤q k
，其中k ＝1,2,3，…，m .
当k ＝1时，有q ≥1；
当k ＝2,3，…，m 时，有ln k k ≤ln q ≤ln k
k －1.
设f (x )＝ln x x (x ＞1)，则f ′(x )＝1－ln x
x
2
. 令f ′(x )＝0，得x ＝e.列表如下：
x (1，e) e (e ，＋∞)
因为ln 22＝6＜6＝3，所以f (k )max ＝f (3)＝3
.
取q ＝3
3，当k ＝1,2,3,4,5时，ln k k
≤ln q ，即k ≤q k ，经检验知q k －1≤k 也成立．因此
所求m 的最大值不小于5.
若m ≥6，分别取k ＝3,6，得3≤q 3
，且q 5
≤6，从而q 15
≥243，且q 15
≤216， 所以q 不存在．因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5.。