最新湖北省恩施州清江外国语学校高二上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年湖北省恩施州清江外国语学校高二上学期期
末数学试题
一、单选题
1．已知集合{|0},{|12}A x x B x x =>=-≤≤则A B U = A ．{|1}x x ≥- B ．{|2}x x ≤ C ．{|02}x x <≤ D ．{|12}x x -≤≤
【答案】A
【解析】直接利用并集的定义可得解. 【详解】
集合{|0},{|12}A x x B x x =>=-≤≤，所以A B =U {|1}x x ≥-. 故选A. 【点睛】
本题主要考查了集合的并集的运算，属于基础题.
2．已知()()1,2,,2a b m ==-v v
，若a b ⊥v v ，则m 的值为（ ）
A ．4-
B ．1-
C ．2
D ．4
【答案】D
【解析】由向量垂直的坐标运算即可得解. 【详解】
解:因为()()1,2,,2a b m ==-r r
,
又a b ⊥r r ,
所以12(2)0m ⨯+⨯-=, 即4m =, 故选:D. 【点睛】
本题考查了向量数量积的运算，重点考查了向量垂直的坐标运算，属基础题.
3．某单位职工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，为了了解职工的建康状况，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为（ ） A ．3 B ．5
C ．2
D ．1
【答案】A
【解析】先由题意确定抽样比，进而可求出结果. 【详解】
由题意该单位共有职工305020100++=人， 用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，抽样比为101
10010
=， 所以应抽查的老年人的人数为1
30310
⨯=. 故选A 【点睛】
本题主要考查分层抽样，会由题意求抽样比即可，属于基础题型. 4．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥
【答案】B
【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内. 【考点定位】点线面的位置关系
5．函数())cos()2
f x x x π
π=-+-的单调增区间为（ ）
A ．5[2,2],66k k k Z ππ
ππ-
++∈ B ．2[2,2],33k k k Z ππ
ππ-
++∈ C ．5[2,
2],66
k k k Z ππ
ππ-++∈ D ．2[2,
2],33
k k k Z ππ
ππ-++∈ 【答案】D
【解析】利用诱导公式和辅助角公式化简
())cos()2f x x x ππ=-+-2sin()6
x π
=-，令
222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+，即得解.
【详解】
())cos()2f x x x π
π=-+-
cos x x =-
2sin()6x π
=-
令22262
k x k πππ
ππ-+≤-≤+
解得：22233
k x k ππ
ππ-+≤≤
+ 所以函数()f x 的单调递增区间为：2[2,
2],3
3
k k k Z π
π
ππ-++∈ 故选：D 【点睛】
本题考查了三角函数综合，考查了诱导公式，辅助角公式，和正弦型函数的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 6．若0,0ab bc ><，则直线0ax by c ++=一定不过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】C
【解析】将直线化简为斜截式，可得斜率和截距的正负，判断出直线经过的象限，可得结果. 【详解】
由题，直线化简为：a c y x b b =-- 因为0,0ab bc ><，所以0,0a c
b b
-<->
所以直线过第一、二、四象限 故选C 【点睛】
本题考查了直线的方程，求得斜率和截距的正负是解题的关键，属于较为基础题. 7．圆2
2
(4)9x y -+=和圆22
(3)4x y +-=的公切线有（ ） A ．1条 B ．2条
C ．3条
D ．4条
【答案】C
【解析】求出两圆的圆心和半径，根据两圆的圆心距小于半径之和，可得两圆相交，由此可得两圆的公切线的条数． 【详解】 解答：
圆22(4)9x y -+=,表示以()4,0为圆心，半径等于3的圆。

圆2
2
(3)4x y +-=,表示以()0,3为圆心，半径等于2的圆。

两圆的圆心距等于2243523+==+，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3. 故选：C. 【点睛】
本题主要考察公切线条数的确定，解题的关键是要确定两圆的位置关系，属于基础题. 8．函数3()2x
y x x =-的图像大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】试题分析：由
，得
，则
为奇函数，故其图象关于原点
对称，排除C ；当时，
，
，故
，故排除A 、D ，
故选B.
【考点】函数的图象.
9．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若
12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）
A ．a c b >>
B ．b c a >>
C ．b a c >>
D ．a b c >>
【答案】B
【解析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出
12log 30<，
由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、
12
的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】
()()f x f x -=Q ，则函数()y f x =为偶函数，
Q 函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，
112
2
log 3log 10<=Q ，由换底公式得122
log 3log 3=-，由函数的性质可得
()2log 3a f =，
对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2x
y =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.2
1
02
12
-<<
<， 1.221
02log 32
-∴<<
<，因此，b c a >>. 【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
10．如图，矩形ABCD 中，4,2AB BC ==，E 为边AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，点A 折至1A 处（1A ∉平面ABCD ），若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆折起过程中，下列说法错误的是（ ）
A ．始终有M
B //平面1A DE
B ．不存在某个位置，使得1A
C ⊥平面1A DE C ．三棱锥1A ADE -体积的最大值是
22
3
D ．一定存在某个位置，使得异面直线BM 与1A
E 所成角为30o 【答案】D
【解析】利用翻折前后的不变量、结合反证法，可证A ，B ，C 正确，从而利用排除法得到正确选项。

【详解】
连结AC 交DE 于N ，取CD 的中点O ，连结OM ，OB ，1A N 。

对A ，易证，平面//OMB 平面1A DE ，BM ⊂平面OMB ，所以始终有//MB /平面
1A DE ，故A 正确；
对B ，因为4,2AB BC ==，假设1A C ⊥平面1A DE ，则1A C ⊥1A D ，11A C A E ⊥，
则2222
11CD A D CE A E CD CE -=-⇒=，因为4,22CD CE ==，所以CD DE
=不成立，所以假设错误，故不存在某个位置，使得1A C ⊥平面1A DE ，故B 正确； 对C ，当平面1A DE ⊥平面ABCD 时，三棱锥1A ADE -的体积最大，
11122
(22)23323
ADE V S h ∆=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=
，故C 正确； 故选：D
【点睛】
本题考查空间平面图形的翻折问题，考查线面、面面位置关系、体积求解，考查空间想象能力和运算求解能力，属于较难问题。

11．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁分别分得100,60,36,21.6，递减的比例为0400，那 么“衰分比”就等于0400
，今共有粮()0a a >石，按甲、
乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙分得36石，乙、丁所得之和为75石，则“衰分比”与a 的值分别是（ ） A ．525075,
04
B ．525025,
04
C ．075,1750
D ．025,1750
【答案】D
【解析】设“衰分比”为x ，乙分得m 石，丁分得n 石， 则75363636
m n n
x m x m
⎧
⎪+=⎪
-⎪=⎨⎪
-⎪=⎪⎩ ，解得48
270.25m n x =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
， ∴甲分得
48
640.75
=石．“衰分比”为0250，则643675175a =++=石，故选D ．
【方法点睛】本题考查等比数列的定义与性质、阅读能力转化与划归思想以及新定义问题属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，一定要有信心，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“衰分比”达到考查等比数列的定义与性质.
12．已知函数2,1
()(1),1
x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩若关于x 的方程f (x )-kx =k 有4个不等实数根，
则实数k 范围为（ ） A ．[4,5) B ．(4,5]
C ．11,
54⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．11,54
⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】D
【解析】先求出1x >函数解析式，方程化为()(1)f x k x =+，方程解转化为函数
(),y f x =(1)y k x =+有4个不同的交点，作出图像，即可求得结果.
【详解】
当*
1,,01n x n n N x n <≤+∈<-≤，而2
1,(1),x y x ≤=-
21,()(1)()()()x f x f x f x f x n x n >=-∴=-=-，
作出函数2,1
()(1),1
x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩与函数(1)y k x =+的图像，
如下图所示，(3,1)B 代入(1)y k x =+，解得14
k =
，
(4,1)C 代入(1)y k x =+，解得15
k =
， 实数k 取值范围为11,54⎛⎤ ⎥⎝⎦
.
故选:D
【点睛】
本题考查函数的解析式以及图像，并利用数形结合思想求方程的解，属于较难题.
二、填空题
13．书架上有6本不同的数学书，4本不同的英语书，从中任意取出1本，取出的书恰好是数学书的概率是_____． 【答案】
35
【解析】先算出“任意取出1本书”的基本事件总数,再算出事件“取出的书恰好是数学书”包含的基本事件个数,然后利用概率公式求出概率. 【详解】
解:从6本不同的数学书,4本不同的英语书中任意取出1本的基本事件总数为10, 取出的书恰好是数学书包含的基本事件个数为6, 则取出的书恰好是数学书的概率P =63105
=, 故答案为:35
. 【点睛】
本题考查了古典概型的概率计算,关键属熟悉古典概型的概率计算步骤,属基础题.
14．已知回归方程ˆ 4.4838.19y x =+，则可估计x 与y 的增长速度之比约为________．
【答案】
【解析】【详解】试题分析：解题之前要理解x 与y 的增长速度之比的含义，即为回归方程的斜率的倒数，回归方程的斜率已知，即可求得答案． 解：x 与y 的增长速度之比即为回归方程的斜率的倒数，
又知回归方程ˆy
=4.4x+838.19， 即x 与y 的增长速度之比约为=
=
，
故答案为
．
点评：本题主要考查线性回归方程的知识点，解答本题的关键是理解x 与y 的增长速度之比的含义，此题是基础题，比较简单．
15．已知直线:30l mx y +-=与圆()()22
124x y -+-=交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若4AB =，则CD =______． 【答案】2
【解析】因为4AB =所以直线l 过圆心，求出直线l 的方程，利用直线l 的倾斜角和AB 的长即可求出CD ． 【详解】
圆2
2
(1)(2)4x y -+-=，圆心(1,2)，半径2r =，
4AB =Q ，∴直线:30l mx y +-=过圆心(1,2)，
230m ∴+-=，1m ∴=，
∴直线:30l x y +-=，倾斜角为0135，
Q 过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，
42sin 452
AB CD ∴=
== 故答案为：42 【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，是基础题．
16．如图，已知AB 为圆O 的直径，C 为圆上一动点，PA ⊥圆O 所在平面，且PA=AB=2，过点A 作平面PB α⊥，交PB,PC 分别于E,F ，当三棱锥P-AEF 体积最大时，
tan BAC ∠=_________．
2
【解析】PB ⊥平面AEF ，则⊥AF PB ，又,,AC BC AP BC BC ⊥⊥∴⊥平面PAC ，
,AF BC AF ∴⊥∴⊥平面0,90PBC AFE ∴∠=，设BAC θ∠=，在Rt PAC ∆中，
2221cos 1cos AP AC AF PC θθ
⋅=
==++，在Rt PAB ∆中，222,AE PE EF AE AF ==-2221112
2223266P AEF V AF EF PE AF AF AF AF -∴=⋅⋅⋅=-=-
222
(1)16AF =
--+，1AF ∴=时，三棱锥P-AEF 体积最大为26
，此时，236
1,cos 33
1cos θθθ
==
=+ ，tan 2θ=【点睛】涉及与圆有关的垂直问题不要忘记垂径定理和直径所对的圆周角是直角，可以提供垂直方面的依据，借助线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直反得线线垂直，这是垂直问题常用的推理模式，借助二次函数求体积的最值，进而求出所求的角的正切.
三、解答题
17．在ABC ∆中，222a c b ac +=+． （1）求B Ð的大小；
（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为23b . 【答案】（1）60B =︒；（2）3b =【解析】（1）结合已知和余弦定理即可求出1
cos 2
B =
，从而得到60B =︒；
（2）由1sin 2
ac B =()22223b a c ac a c ac =+-=+-即可计算求得b . 【详解】
（1）因为222
a c
b a
c +-=，由余弦定理，222
cos 2a c b B ac +-=，所以1cos 2B =， 因为0180B <<︒，所以60B =︒；
（2）1sin 2ac B =所以8ac =，因为222a c ac b +-=，即()2
23a c ac b +-=，
因为6a c +=，所以b =【点睛】
本题考查余弦定理和面积公式的应用，要求熟记公式并能熟练运用，属基础题. 18．已知首项为2的数列{}n a 满足1
1221
n n n na a n +++=+. （1）证明：数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是等差数列． （2）令n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .
【答案】（1）见解析；（2）12112222
n n S n n +=++- 【解析】（1）由原式可得11(1)22n n n n a na +++=+,等式两端同时除以12n +,可得到
11(1)122
n n n n n a na +++=+,即可证明结论; （2）由（1）可求得2
n n na 的表达式,进而可求得,n n a b 的表达式,然后求出{}n b 的前n 项和n S 即可.
【详解】
（1）证明:因为11221
n n n na a n +++=+,所以11(1)22n n n n a na +++=+, 所以11(1)122n n n n n a na +++=+,从而11(1)122n n n n n a na +++-=,因为12a =,所以112
a =, 故数列2n n na ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭是首项为1,公差为1的等差数列. （2）由（1）可知()112
n n na n n =+-=,则2n n a =,因为n n b a n =+,所以2n n b n =+, 则123n n S b b b b =+++⋯+()()()
23(21)22232n n =++++++++L
()232222(123)n n =+++++++++L L ()
212(1)
122
n
n n ⨯-+=+-12112222
n n n +=++-. 【点睛】
本题考查了等差数列的证明,考查了等差数列及等比数列的前n 项和公式的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.
19．双十一购物狂欢节，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，目前已成为中国电子商务行业的年度盛事，某商家为了解“双十一”这一天网购者在其网店一次性购物情况，从这一天交易成功的所有订单里随机抽取了100份，按购物金额（单位：元）进行统计，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表计算）．
（1）求a 的值；
（2）试估计购物金额的平均数；
（3）若该商家制订了两种不同的促销方案：
方案一：全场商品打八折；
方案二：全场商品优惠如下表： 购物
金额
范围
[)200,400 [)400,600 [)600,800 [)800,1000 [)1000,1200 []1200,1400 商家
优惠
（元）
30 50 140 160 280 320
如果你是购物者，你认为哪种方案优惠力度更大？
【答案】（1）0.0015a =；（2）750元；（3）方案一的优惠力度更大.
【解析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可计算出a 的值；
（2）将每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，相加即可得出购物金额的平均数；
（3）计算出两种方案的优惠金额，从而得出方案一的优惠力度更大.
【详解】
（1）各小组的频率依次为0.1、0.2、0.25、200a 、0.1、0.05.
由0.10.20.252000.10.051a +++++=，有0.0015a =；
（2）购物金额的平均数为
()3000.15000.27000.259002000.001511000.113000.05750x =⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=（元）；
（3）选择方案一：优惠力度为()750180%150⨯-=元
选择方案二：优惠力度为
300.1500.21400.251600.32800.13200.05140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. 故方案一的优惠力度更大．
【点睛】
本题考查频率分布直方图中矩形高的计算，同时也考查了频率直方图中平均数的计算以及方案的选择，考查数据处理的能力，属于中等题.
20．已知圆22:430C x y x +-+=.
（1）求过点(3,2)M 的圆的切线方程；
（2）若直线l 过点31,22N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
且被圆C 截得的弦长为m ，求m 的范围.
【答案】（1）3x =或3410x y --=；（2）2].
【解析】（1）由圆的方程求出圆心与半径，切线分斜率存在与不存在两种情况分类讨论，当斜率不存在时检验3x =适合，当斜率不存在时，设直线方程，根据圆心到直线距离等于半径计算即可（2）当直线l CN ⊥时，弦长m 最短，当直线过圆心时弦长为直径最大，即可求出m 的范围.
【详解】
（1）圆22–430C x y x ++=：，即()2
2–21x y +=， 表示以()20，
为圆心，半径等于1的圆． 当切线的斜率不存在时，切线方程为3x =符合题意．
当切线的斜率存在时，设切线斜率为k ，则切线方程为()–23y k x =-，
即––320kx y k +=， ∴圆心到切线的距离等于半径，即211k =+，解得34
k =， 此时，切线为3410x y --=． 综上可得，圆的切线方程为3x =或3410x y --=； （2）当直线l CN ⊥时，弦长m 最短，此时直线的方程为10x y --=．
12122
m ∴=-= 当直线l 经过圆心时，弦长最长为2．
∴m 的范围是[2,2].
【点睛】
本题主要考查了圆的方程，圆的切线的求法，直线与圆的位置关系，属于中档题.
21．如图，C 、D 是以AB 为直径的圆上两点，223AB AD ==，AC BC =，F 是AB 上一点，且13
AF AB =
，将圆沿直径AB 折起，使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上，已知2CE =.
（1）求证：AD ⊥平面BCE ；
（2）求证：AD //平面CEF ；
（3）求三棱锥A CFD -的体积.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（36【解析】（1）依题AD ⊥BD ，再证明CE ⊥AD ，即得证；
（2）可证明，
23
BF BE BA BD ==，有AD ∥EF ，即得证； （3）转化13A CFD C AFD FAD V V S CE --∆==⋅，即得解.
【详解】
（1）证明：依题AD ⊥BD ，
∵CE ⊥平面ABD ，且AD ⊂平面ABD
∴CE ⊥AD ，
∵BD ∩CE =E ，∴AD ⊥平面BCE.
（2）证明：Rt △BCE 中，2,6CE BC ==，∴BE =2， Rt △ABD 中，AB =23，AD =3，∴BD =3.
∴23
BF BE BA BD ==. ∴AD ∥EF ，∵AD 在平面CEF 外，∴AD ∥平面CEF .
（3）解：由（2）知AD ∥EF ，AD ⊥ED ，且ED =BD —BE =1，
∴F 到AD 的距离等于E 到AD 的距离为1.∴S △FAD =
13312⨯⨯=. ∵CE ⊥平面ABD ，
∴1136233A CFD C AFD FAD V V S CE --∆==
⋅=⨯⨯=. 【点睛】
本题考查了空间中的平行垂直关系综合以及三棱锥的体积，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算能力，属于中档题. 22．已知定义域为R 的函数()22x
x b f x a
-=+是奇函数． ()1求a ，b 的值；
()2用定义证明()f x 在(),-∞+∞上为减函数；
()3若对于任意t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求k 的范围．
【答案】(1) a=1,b=1 (2)见解析 (3) k<-
【解析】试题分析：（1）()f x 为R 上的奇函数⇒(0)01f b =⇒=,再由
，得1a =即可；（2） 任取12x x R ∈，，且12x x <，计算
2112122(22)()()0(21)(2+1)
x x x x f x f x --=>+即可；（3） 不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立等价于
22(2)(2)f t t f t k -<--⇔22(2)(2)f t t f k t -<-⇔2222t t k t ->-⇔
232k t t <-恒成立，求函数2()32h t t t =-的最小值即可.
试题解析： （1）∵()f x 为R 上的奇函数，∴(0)0f =，1b =. 又，得1a =.
经检验11a b ==，符合题意.
（2）任取12x x R ∈，，且12x x <，则
1212211212121212(12)(21)(12)(21)()()2121(21)(21)
x x x x x x x x x x f x f x --------=-=---- 21122(22)(21)(2+1)
x x x x -=+. ∵12x x <，∴12220x x ->，又∴12(21)(21)0x x ++>，
∴12()()0f x f x ->，∴()f x 为R 上的减函数
（3）∵t R ∈，不等式22
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，
∴22(2)(2)f t t f t k -<--，
∴()f x 为奇函数，∴22(2)(2)f t t f k t -<-， ∴()f x 为减函数，∴2222t t k t ->-.
即232k t t <-恒成立，而22111323()333t t t -=--
≥-， ∴13
k <-
【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数与不等式.
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、函数的单调性、函数与不等式，属中档题；高考对函数性质的考查主要有以下几个命题角度：1.单调性与奇偶性相结合；2.周期性与奇偶性相结合；3.单调性、奇偶性与周期性相结合.。