2020学年湖北省恩施市清江外国语学校高二上学期期中考试数学(文)试题 Word版

2020学年湖北省恩施市清江外国语学校高二上学期期中考试数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每题5分，共60分） 1、直线
13
3x y
+=的倾斜角的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°
2、已知等差数列{}n a 中， 7916a a +=， 41a =，则12a 的值是（ ）
A. 15
B. 30
C. 31
D. 64 3、若原点在圆
的内部,则实数的取值范围是（ ） A.
B.
C.
D.
4、向量,a b 满足()()3,2,22a b a b a b ==-⋅+=-，则a 与b 的夹角为（ ）
A ．
23
π
B ．3π
C ．56π
D ．6π
5、设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中，正确的
是（ ）
A ．若m ，n 与α所成的角相等，则//m n
B ．若αβ⊥，//m α，
则m β⊥ C ．若m α⊥，//m β，则αβ⊥ D ．若//m α，//n β，则//m n 6、已知直线
，不论取何值，该直线恒过的定点是（ ） A. ()1,1- B.
C.
D. ()1,1--
7、在△ABC 中，若acosB=bcosA ，则该三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
8、已知点(),P x y 的坐标满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+14x x y y x ，则22x y +的最大值为（ ）
A. 10
B. 8
C. 10
D. 16
9、某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）
A ．24里
B ．12里
C ．6里
D ．3里
11、若0a >， 0b >，且lg a 和lg b 的等差中项是1，则11
a b
+的最小值是( )
A.
110 B. 15 C. 1
2
D. 1 12、已知直线()200x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原
点，且有3
3
OA OB AB +≥
，那么k 的取值范围是（ ） A. )5,⎡+∞⎣ B. )5,25⎡⎣ C. )3,⎡+∞⎣ D. )
3,25⎡⎣
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、圆锥的侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的弧度数为 ．
14、如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知13AB AA ==，
点P 在棱1CC 上，则三棱锥1P ABA -的体积为 ．
15、关于x 的不等式a a x x 2|||2|≥-+-在R 上恒成立,则实数a 的最大值是- .
16、以下说法正确的序号是__________．
①函数 是偶函数；
②函数 在闭区间 上是增函数；
③直线 是函数 图像的一条对称轴；
④将函数 的图像向左平移 单位，得到函数 的图像；
三、解答题（6小题，共70分）
17、（满分10分）在△ABC 中，A ，B ，C 是三角形的三内角，a ，b ，c 是三内角对应的三边长， 已知222.b c a bc +-= （1）求角A 的大小；
（2）若222sin sin sin A B C +=，求角B 的大小.
18、（满分12分）已知圆C ：()2
219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l
交圆C 于A 、B 两点.
（1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； （2）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； （3）当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长.
19、（满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S n N =-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设4log 1n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
20、（满分12分）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是AC 的中点，S 是△ABC
所在平面外一点， 且SA ＝SB ＝SC.
(1)求证：SD ⊥平面ABC ；
(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC.
21、（满分12分）在长方体1111D C B A ABCD -中，已知3,41===DD DC DA ，E 为
1DD 的中点.
（1）求证：B D 1//面ACE
（2）求异面直线B A 1与C B 1所成角的余弦值.
22、（满分12分）已知圆 与直线 相切. （1）求圆的方程；
（2）过点 的直线l 截圆所得弦长为
，求直线l 的方程；
（3）设圆与轴的负半轴的交点为，过点作两条斜率分别为的直线交圆 于 两
点，且 ，
证明：直线 恒过一个定点，并求出该定点坐标
2018年秋季学期高二年级期中考试数学答案（文科）
一、单项选择（每小题5分，共60分） 1、【答案】C 2、【答案】A 3、【答案】A 4、【答案】A 5、【答案】C 6、【答案】D 7、【答案】A 8、【答案】C 9、【答案】A 10、【答案】C 11、【答案】B 12、【答案】B
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、【答案】3
2π 14、
15、3
2≤
a
16、【答案】①③.
三、解答题（6小题，共70分） 17、
【答案】（Ⅰ）在△ABC 中，bc a c b A
bc a c b +=+=-+222222cos 2又
3
,
2
1cos π=
=∴A A
（Ⅱ）由正弦定理,又2
2
2
sin sin sin A B C +=,故222
222444a b c R R R
+=
即: 222a b c += 故△ABC 是以角C 为直角的直角三角形 又,3
6
A B ππ=∴=
18、
【答案】（1）已知圆C ：(
)2
219
x y -+=的圆心为C （1，0），因直线过点P 、C ，
所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y=2(x-1),即 2x-y-2=0.
（2）当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC, 直线l 的方程为1
2(2)
2y x -=--, 即
x+2y-6=0
（3）当直线l 的倾斜角为45o 时，斜率为1，直线l 的方程为y-2=x-2 ,即 x-y=0，
圆心C 到直线l ，圆的半径为3，弦AB 19、
【答案】解：（1）当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=， 当1n =时，1211a =-=，满足12n n a -=， ∴数列的通项公式为()1*2n n a n N -=∈. （注：未检验1n =时，扣1分。

）
（2）由（1）得41
log 12
n n n b a +=+=， （3）则1211
222
n n n n b b +++-=
-=， ∴数列{}n b 是首项为1，公差1
2
d =的等差数列， ∴()21132
4
n n n n n
T nb d -+=+=. 20、
【答案】(1)因为SA ＝SC ，D 是AC 的中点，所以SD ⊥AC. 在Rt △ABC 中，AD ＝BD ，由已知SA ＝SB ， 所以△ADS ≌△BDS ，所以SD ⊥BD. 又AC ∩BD ＝D ，所以SD ⊥平面ABC. (2)因为AB ＝BC ，D 为AC 的中点， 所以BD ⊥AC.由(1)知SD ⊥BD ， 因为SD ∩AC ＝D ，所以BD ⊥平面SAC. 21、 【答案】（1）
⎪⎩⎪
⎨⎧⇒⊄⊂∴∆∴AEC B D AEC B D AEC EO B D EO B
D EO DBD EO AC DD O
E EO
O AC BD 面面面的中线为的中点与是、点，连结于交证明：连结//////11
1111
(2)25
9//111111111=∠∆∴∴B DA COS DB A D A B A C B B A D A C B D A 中，在的夹角
与的夹角即为与连结
22、
【答案】（1）;（2）或；（3）. (1)∵圆与直线相切，
∴圆心到直线的距离为，
∴圆的方程为：.
（2）若直线的斜率不存在，直线为，
此时直线截圆所得弦长为，符合题意；
若直线的斜率存在，设直线为，即，
由题意知，圆心到直线的距离为，解得：，此时直线为，
则所求的直线为或；
（3）由题意知，，设直线，
与圆方程联立得：，
消去得：，
∴
∴，，即，
∵，用代替得：
∴直线的方程为：
即，整理得：
则直线定点为.。