7.4向量的内积和距离表示

ar o ar 2
r a o
r a
ar
o
r b
时,
ar
r b
ห้องสมุดไป่ตู้
r a
r b
cos
(ar ,
r b
)
cos
(ar ,
r b
)
ar
r b
ar
r b
ar
r b
0
ar
o
或
r b
o
或
cos
(ar
,
r b
)
0
ar
o
或
r b
o
或
(ar
r ,b)
ar
r b
2
(规定零向量与任一向量垂直)
命题3.1 ar
r b
ar
r b
o
(规定零向量与任一向量垂直)
向量的内积满足以下运算规律:
1) 2)
交换律
ar
r b
r b
ar
关于数因子的结合律
(
r a
r )b
r a
(
r b
)
(ar
r b
)
3) 分配律
(ar
r b
)
cr
ar
cr
r b
cr
动脑思考 探索新知
一般地，向量的 内积不满足结合律， 即
a·(b·c)≠(a·b ) ·c.
2
（4）在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．
动脑思考 探索新知
uuur 如图，设有两个非零向量a， b，作 OA a，
A
uuur
a
OB b，由射线OA与OB所形成的的角叫做向量
a与向量b的夹角，记作<a，b>．
O
b
B
两个向量a，b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b
的内积，记作a·b， 即 a·b＝|a||b|cos<a，b>
cos a,b
a
b
a
b
a
b
0
ab
(判断两向量垂直的依据)
a a2 a a (计算向量的长度)
4/29/2020
动脑思考 探索新知
设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，由于i⊥j，故i·j ＝0, 又| i |＝|j|＝1,所以
a·b＝(x1 i＋y1j)·(x2 i＋y2j)
a
b
a1b1
a2b2．
问题
如果 A(x1, y1), B(x2 , y2 )，你能求出 AB
的长度吗？
解：因为 A(x1，y1)，B(x2，y2 )，
则 AB (x2 x1，y2 y1)． 两点间距离公式 由向量的长度公式得：
AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2．
例2 已知 A(2， 4)，B(2， 3)，求 AB ．
例1 已知
a
5，b
4，〈a,
b〉
120．
求
a
b．
解：由已知条件得
a
b
a
b
cos〈a,
b〉
5 4 cos120 10．
例2
求证
⑴
(a
b)
(a
b)
a 2
2 b
⑵
2 a b
2 a b
2( a 2
2 b)
证明：⑴
(aa ab) a(a bbb)
a
b
b
a 2
2 b
⑵ 因为
a
解：由已知条件得 AB (2，3) (2， 4) (4，7)， 所以 AB (4)2 72 65．
例3 已知 A(1，2)，B(3，4)，C(5，0). 求证：△ABC是等腰三角形． 证明：因为 AB (3 1，4 2) (2，2)，
AC (5 1，0 2) (4， 2)，
1．两个非零向量夹角的概念
已做知a与非零b的向夹量角a与．记b作，〈 作Oa,Ab〉． a，OB
b，则 b
∠AOB 叫
B
规定
0
〈a,
b 〉
180
O
A
a
说明：
（1）当〈a,
b〉
0
时，a与
b 同向；
（2）当〈a,
b〉
π
时，a与
b 反向；
（3）当
〈a,
b 〉
π
时，a与
b 垂直；记作
a
b；
本节课我们主要学习了平面向量内积的坐标运算与距 离公式，常见的题型主要有：
1．直接用两向量的坐标计算内积； 2．根据向量的坐标求模； 3．根据两点的坐标求两点间的距离； 4．运用内积的性质判定两向量是否垂直．
4/29/2020
4/29/2020
（2）两个向量的内积，写成
a
b；符号“·
”在向量运
算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
ar
r b
ar
r b
cos
(ar ,
r b)
0
ar
o
r b
时
ar
o
或
r b
o
时
r b r
a
向量.向量 = 数
ar ar
ar
ar
cos0(ar ,ar )
0
ar o
r a
2
r
ao 0
ar2 ar ar ar 2
(7.10)
由内积的定义可知 a·0＝0, 0·a＝0.
2．向量的内积
已知非零向量
a与
b，〈a,
b 〉为两向量的夹角，则数量
a
b
cos〈a,
b〉叫做
a与
b的内积．
记作
a
b
a
b
cos〈a,
b〉
规定 0与任何向量的内积为0．
说明：
（c1o）s〈两a个, b向〉的量符的号内所积决是定一．个实数，不是向量，符号由
F
O
s
没有产生位移，没有做功，水平方向
图7—21
上产生的位移为s，即 W＝｜F｜cos30° ·｜s｜＝100×23 ·10＝500 3．
动脑思考 探索新知
W＝｜F｜cos30° ·｜s｜＝100×23 ·10＝500 3． 这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由 两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与 向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．
BC (5 3，0 4) (2， 4)， AC 42 (2)2 20，
BC 22 (4)2 20，
所以 AC BC ．
4/29/2020
即△ABC是等腰三角形．
拓展 已知 A(1， 2)，B(2， 3)，C(2,5). 求证：AB AC． 证明：因为
AB (2，3) (1，2) (1，1)， AC (2，5) (1，2) (3，3)， 可得 AB AC (1，1) (3，3) 0． 所以 AB AC．
＝ x1 x2 i •i＋ x1 y2 i •j＋ x2 y1 i •j ＋ y1 y2 j •j
＝ x1 x2 |j|2＋ y1 y2 |j|2
＝ x1 x2＋ y1 y2. 这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，
即
a·b＝ x1 x2＋ y1 y2
(7.11)
定理
在a直角(a坐1 ,标a平2 )，面bxoy(内b，1 ,eb12，)e，2 为则 x 轴，y 轴的基向量，
a
(a1 ,
a2
)，b
(b1 ,
b2
)
，则
两个向量的内积等 于它们对应坐标的
乘积的和
a b a1b1 a2b2．
推论
两向量垂直的充要条件
向量内积的坐标 运算公式
a b a b 0 a1b1 a2b2 0．
例1 已知 a (3,1), b (1,2)
求 a b ，a ，b ，a，b .
解：由已知条件得
a b 31 (1) (2) 3 2 5，
a
a a
32 (1)2
10，
b
b b
12 (2)2
5．
因为co〈 s a,
b 〉
a
b
ab
5 10
5
2， 2
又因为
0
〈a,
b 〉
π．
所以〈a,
b 〉
π．
4
定理
在a直角(a坐1,标a平2 )，面bxoy(内b1，,eb12，)e，2 为则 x 轴，y 轴的基向量，
解： i i i i cos i ,i
11 cos0
1
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复习导入：
1. 如何用向量的长度、夹角表示内积？
2. 如何用内积、长度来表示夹角？
3.
a
b 的充要条件?
4. 如何用向量的内积表示向量的长度?
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向量的内积：
a
b
a
b
cos
a,
b
向量的夹角：
a
b
a1b1
a2b2．
问题
（2）若
a (a1 , a2 )
，你能求出
a
吗？
解：因为 a2 a a (a1，a2 ) (a1，a2 )
a12 a2 2．
所以 a a12 a22 ．
向量的长度公式
4/29/2020
定理
在直角坐标平面 xoy内，e1，e2 为 x 轴，y 轴的基向量，
b
2
(a
b)
(a
b)
a 2
2a
b
2 b
a
b
2
(a
b)
(a
b)
a 2
2a
b
2 b
所以
2 a b
2 a b
2(
a
2
2 b)
7.4.2 向量内积的坐标运算与距 离公式
4/29/2020
江西省女子中专 许丽娟
练习一:单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求
① i i __1___ ② i j __0___ ③ j i ___0___ ④ j j __1___
第七章 平面向量
7.4.1 向量的内积
江西省女子中专 许丽娟
创设情境 兴趣导入
如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，
朝着与水平线成 30 角的方向拉小车，使小车前进了100 m．
那么，这个人做了多少功？
做功等于力与在力的方向上移动 的距离的乘积．力F是水平方向的力 与垂直方向的力的和，垂直方向上