命题演算(1-4节)

形式逻辑只管形式，从错误的前提推出错误的结论， 形式逻辑只管形式，从错误的前提推出错误的结论，在 逻辑只管形式 形式上也可以是正确的。 形式上也可以是正确的。 ——毛泽东在延安文艺座谈会上的讲话 毛泽东在延安文艺座谈会上的讲话
3
绪
论
演绎逻辑 形式逻辑： 形式逻辑： 归纳逻辑
演绎逻辑：(deductive logic)演绎逻辑的任务在于研究如何检验 演绎逻辑 演绎的正确性(即决定一个推理是否是正确地演绎出一个已知规 则)以及如何构造出正确的未知(演绎推理)规则。 归纳逻辑：(inductive logic)归纳逻辑的任务在于研究如何測定 归纳逻辑 不充分置信的推理的归纳概率的大小，从而决定该不充分置信 推理的归纳强度规则，并且研究如何构造出归纳强度高的推理 规则。
9
§1.命题 联结词 命题函数 1.命题
2.简单命题 简单命题(simple proposition) ：简单命题是不包含其它命题 简单命题 作为组成部分的命题。 作为组成部分的命题。 简单命题是命题逻辑推理的最小单位！ 简单命题是命题逻辑推理的最小单位！ 3.复合命题 复合命题(compound proposition) ：复合命题是包含其它 复合命题 命题作为组成部分，由其它命题组成的命题。 命题作为组成部分，由其它命题组成的命题。 4.支命题 支命题(branch proposition) ：支命题是组成复合命题的各 支命题 个命题。 个命题。 支命题可以是简单命题，也可以是复合命题。 支命题可以是简单命题，也可以是复合命题。
14
§2.命题的形式化 真值联结词 真值函项 2.命题的形式化
1.真值联结词 真值联结词(truth connective) ：在命题逻辑中所使用的、意 在命题逻辑中所使用的、 真值联结词 义比较严格的联结词称为真值联结词或命题联结词。 义比较严格的联结词称为真值联结词或命题联结词。 真值联结词
2.命题的形式化 ：使用数学符号来表示一个命题中的简单命题 命题的形式化 和真值联结词，从而将命题表示成一个公式 符号串 的过程， 符号串)的过程 和真值联结词，从而将命题表示成一个公式(符号串 的过程， 称作命题的形式化(或命题的符号化 。 称作命题的形式化 或命题的符号化)。 或命题的符号化 一般的，用小写的英文字母 一般的，用小写的英文字母p,q,r,…等表示简单命题。 …等表示简单命题。
10
§1.命题 联结词 命题函数 1.命题
5.联结词 联结词(connective) ：将支命题联结起来构成复合命题的词项 联结词 称为联结词。 称为联结词。 一个复合命题由支命题以及联结它们的联结词构成。 一个复合命题由支命题以及联结它们的联结词构成。 复合命题的真假依赖于构成它的各支命题的真假、 复合命题的真假依赖于构成它的各支命题的真假、以及所 用的联结词的种类。 用的联结词的种类。
6.命题函数 命题函数(propositional function) ：含有未知因素的具有命题 命题函数 形式的陈述语句。 命题函数不是命题，不能确定真假。
11
§1.命题 联结词 命题函数 1.命题
例1.(1)中国人民是伟大的。 (2)雪是蓝的。 (3)1+101=110。 (4)全体立正! (5)明天是否开大会? (6)天气多好啊! (7)我正在说谎。 (8)我学英语,或者我学日语。 (9)如果天气好,那么我去散步。 例2.(1)别的星球上有类人的高级生命。 (2)在π的小数展式中，数串‘12345’将出现偶数次。
数理逻辑 Mathematical Logic
绪
论
“逻辑”一词来源于希腊字λoyez(罗各斯，英语logic)音译。原意指思 逻辑”一词来源于希腊字λoyez(罗各斯 英语logic)音译 罗各斯， 音译。 维。逻辑是以思维作为研究对象的，是研究人类思维及其规律的一门科学。 逻辑是以思维作为研究对象的，是研究人类思维及其规律的一门科学。 思维及其规律的一门科学 逻辑的发源地、代表人物、 逻辑的发源地、代表人物、代表作 古希腊 亚里士多德（逻辑之父） 其代表著作《工具论》 十篇) 亚里士多德（逻辑之父） 其代表著作《工具论》(十篇) 《墨经》 墨经》 中提出了(形式)逻辑的雏形,形成了逻辑这门古老的科学。 中提出了(形式)逻辑的雏形,形成了逻辑这门古老的科学。 古代中国 墨子 古印度 正理经》 “因明学” 《正理经》 因明学”
亚里士多德(Aristoteles，公元前384 322年 古希腊哲学家.西方三圣之一. 384注. 亚里士多德(Aristoteles，公元前384-322年):古希腊哲学家.西方三圣之一. 苏格拉底( 469柏拉图(Platon，公元前427 427另两位是苏格拉底 Socrates，公元前469 399年 另两位是 苏格拉底 ( Socrates ， 公元前 469 - 399 年 ) 和 柏拉图 ( Platon， 公元前 427 347年 347年). 墨子(公元前468 376年 公元前476 390年 476公元前480 400年 480墨子 ( 公元前 468 -376年, 一说 公元前 476 -390年 , 又一说 公元前 480 -400年 ; 鲁国人， 春秋末战国初时期的思想家、学者， 鲁国人，有的说是宋国人 ) :春秋末战国初时期的思想家、学者，墨家学派的创始 人.
13
§1.命题 联结词 命题函数 1.命题
7.命题函数转化为命题的方法 命题函数转化为命题的方法： 命题函数转化为命题的方法
实例化(个体化) 结构化(联结词) 量化
例6.(1) π大于3。 (2)如果a2能被2整除，则a能被2整除。 (3) a是完全平方数当且仅当它的素数分解式中各指数均是偶数。 (4)对于所有实数x，x大于3。 (5)存在着实数x，x大于3。
现代逻辑经典逻辑可计算性理论递归论模型论证明论公理化集合论逻辑演算辩证逻辑的现代进展行为逻辑及意图逻辑程序逻辑及规范逻辑粗值逻辑语用逻辑科学逻辑现代归纳逻辑逻辑干涉相干内涵逻辑断定逻辑逻辑相信信念问题逻辑自然逻辑祈使逻辑优先逻辑道义逻辑量子逻辑元逻辑无穷逻辑及模糊逻辑多值逻辑逻辑认识认知逻辑及构造性直觉主义时态逻辑及时间逻辑模态逻辑逻辑二阶高阶演算及进程代数演算数理逻辑
8
§1.命题 联结词 命题函数 1.命题
1.命题 命题(proposition) ：命题是可辨真假的陈述语句。 命题是可辨真假的陈述语句 陈述语句。 命题 每给出一个命题 就要求你作出一次判断 所以,在形式逻 每给出一个命题,就要求你作出一次判断。所以 在形式逻 命题 就要求你作出一次判断。 辑中,命题有时也称为判断 辑中 命题有时也称为判断。 命题有时也称为判断。 命题的真假取决于它是否如实地反映事物的真实情况,是 命题的真假取决于它是否如实地反映事物的真实情况 是 否与事物的真实情况相符。 否与事物的真实情况相符。 如实反映事物的真实情况 与事物的真实情况相符 如实反映事物的真实情况,与事物的真实情况相符 就是真 真实情况 与事物的真实情况相符,就是真 命题;否则 就是假命题 命题 否则,就是假命题。 否则 就是假命题。 真命题用t(true)来表示 假命题用 来表示;假命题用 来表示;t和 共称 真命题用 来表示 假命题用f(false)来表示 和f共称 来表示 为命题的真值(truth)。 。 为命题的真值 命题是命题逻辑推理的基本要素！ 命题是命题逻辑推理的基本要素！
4
绪
论
辩证逻辑： 辩证逻辑：(dialectical logic) 也称为高等逻辑。它是研究人类的 辩证思维及其规律的科学。辩证逻辑结合思维的具体内容来研 究思维形式的辩证规律。 形式逻辑和辩证逻辑都是从定性的角度来研究思维规律的。
西方哲学指导思想： 西方哲学指导思想 西方哲学指导思想＝形式逻辑＋一切通过实验找因果关系 爱因斯坦在1935给加里福尼亚的朋友舒卫特的信中说：欧洲现代科学 技术是伟大的，它之所以伟大，是因为当时它们是在一种指导思想下产生 的。这个指导思想是什么呢？是古希腊的哲学，即形式逻辑体系和文艺复 兴时代的一切通过实验找它的因果关系的思想。因为有这样的哲学指导思 想，所以才产生了近代的科学体系。
2
绪
论
形式逻辑 辩证逻辑 数理逻辑
逻辑： 逻辑：
形式逻辑： 形式逻辑：(formal logic)形式逻辑也称为初等逻辑。它研究思维 logic)形式逻辑也称为初等逻辑 形式逻辑也称为初等逻辑。 的(逻辑)形式结构和(逻辑)规律，而不管思维的的具体内容。 逻辑)形式结构和(逻辑)规律，而不管思维的的具体内容。
6
绪
论
经典逻辑 数理逻辑： 数理逻辑 现代逻辑
逻辑演算 经典逻辑： 经典逻辑 公理化集合论 证明论 模型论 递归论 可计算性理论
现代逻辑： 现代逻辑
λ − 演算 π − 演算及进程代数 高阶 (二阶 ) 逻辑 模态逻辑 时态逻辑及时间逻辑 直觉主义 (构造性 ) 逻辑及 认知 (认识 ) 逻辑 多值逻辑 , 无穷逻辑及模糊逻辑 元逻辑 量子逻辑 道义逻辑 优先逻辑 祈使逻辑 自然逻辑 问题逻辑 信念 (相信 ) 逻辑 断定逻辑 逻辑 科学逻辑 语用逻辑 粗值逻辑 程序逻辑及规范逻辑 行为逻辑及意图逻辑 辩证逻辑的现代进展 7 LLLL
第一章 命题演算
§1.命题 联结词 命题 命题函数 §2.命题的形式化 真值联结词 真值函项 命题的形式化 §3.初始符号 形成规则 合式公式 指派 真值表 初始符号 §4.可满足性 永真性 逻辑推论 逻辑等价 可满足性 替换定理 代入定理 对偶定理 §5.联结词归约 范式 联结词归约 范式(NF) §6.命题演算的形式推理 命题演算的形式推理
12
§1.命题 联结词 命题函数 1.命题
北京是中华人民共和国的首都。 例3.(1)北京是中华人民共和国的首都。 北京是中华人民共和国的首都 (2)3是素数。 是素数。 是素数 (3)π大于 。 π大于3。 并非所有的人都是好人 例4.(1)并非所有的人都是好人。 并非所有的人都是好人。 (2)2是偶数并且是最小的素数。 是偶数并且是最小的素数。 是偶数并且是最小的素数 (3)未来战争是常规战争，或者是核战争。 未来战争是常规战争，或者是核战争。 未来战争是常规战争 是核战争 (4)如果 2能被 整除，则a能被 整除。 如果a 能被2整除 整除， 能被 整除。 能被2整除 如果 (5)a是完全平方数当且仅当它的素数分解式中各指数均是偶数。 是完全平方数当且仅当它的素数分解式中各指数均是偶数。 是完全平方数当且仅当它的素数分解式中各指数均是偶数 例5.(1) a能被 整除。 能被2整除。 能被 整除 (2) a2能被 整除。 能被2整除 整除。 (3) a是完全平方数。 是完全平方数。 是完全平方数 (4) a的素数分解式中各指数均是偶数。 的素数分解式中各指数均是偶数。 的素数分解式中各指数均是偶数 (5) x大于 。 大于3。 大于
5
绪
论
数理逻辑：(mathematical logic)数理逻辑也称为符号逻辑。它 数理逻辑 是用数学的方法来研究形式逻辑(主要是演绎逻辑)，即研究演 绎推理的规律的科学。数理逻辑是现代的形式逻辑。 数学方法：引进一套符号体系，用以建立一类数学符号语言(形 数学方法 式语言)，以其作为思维的载体，进而建立起逻辑的各种形式系 统，从而来研究思维及其规律的方法。 数理逻辑是从定量 定量的角度来研究思维规律的。 定量 西方公认的数理逻辑创始人是十七世纪德国的莱布尼茨 (Leibniz，公元1646-1716年)，他力图建立一种精确的普遍语言， 并寻求一种推理演算，以便用来解决论辩的争论问题。 数理逻辑在十九世纪兴起，二十世纪得到飞跃式的发展。
15
§2.命题的形式化 真值联结词 真值函项 2.命题的形式化 (1)“否定(negation) ” (负判断 “否定 负判断) 负判断
表示“否定”的符号是 ¬ 读作 读作:非 并非,not)(或~,–,N) 表示“否定”的符号是:¬(读作 非、并非 或 符号¬称为否定联结词, 简称否定 否定词 符号¬称为否定联结词 简称否定词。 联结词 对于一个命题p, 的否定命题 命题“ 对于一个命题 p的否定命题“非p”表示为 ¬p。 ”表示为: 。 称为p的否定式 ¬p称为 的否定式。 称为 为假。 ¬p为真 当且仅当 为假。 为真 当且仅当p为假 “否定”的真值表见表1: 否定”的真值表见表 常见的否定词还有 常见的否定词还有: 词还有 不是;没 没有 没有; 不;不是 没;没有 …。 不是 并非所有的人都是好人。 例1.并非所有的人都是好人。 并非所有的人都是好人 解. 令: p—所有的人都是好人 所有的人都是好人 形式化: 形式化 ¬p。 。