2020届高考数学(文)二轮复习专题过关检测：(四)复数、算法、推理与证明

专题过关检测（四） 复数、算法、推理与证明
1．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i
1－2i ＝( )
A ．－45－3
5i
B ．－45＋35i
C ．－35－45
i
D ．－35＋45
i
解析：选D 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2
(1－2i )(1＋2i )＝－3＋4i 5＝－35＋4
5
i.
2．(2019·武汉调研)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．2 B. 3 C. 2
D ．1
解析：选C 由(1＋i)x ＝1＋y i ，可得x ＋x i ＝1＋y i ，则x ＝1，y ＝x ＝1，故|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，选C.
3．给出下面四个类比结论：
①实数a ，b ，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；类比复数z 1，z 2，若z 1z 2＝0，则z 1＝0或z 2
＝0.
②实数a ，b ，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；类比向量a ，b ，若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.
③实数a ，b ，有a 2
＋b 2
＝0，则a ＝b ＝0；类比复数z 1，z 2，有z 2
1＋z 2
2＝0，则z 1＝z 2＝0.
④实数a ，b ，有a 2
＋b 2
＝0，则a ＝b ＝0；类比向量a ，b ，若a 2
＋b 2
＝0，则a ＝b ＝0. 其中类比结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：选C 对于①，显然是正确的；对于②，若向量a ，b 互相垂直，则a ·b ＝0，所以②错误；对于③，取z 1＝1，z 2＝i ，则z 2
1＋z 2
2＝0，所以③错误；对于④，若a 2
＋b 2
＝0，则|a|＝|b|＝0，所以a ＝b ＝0，故④是正确的．综上，类比结论正确的个数是2.
4．图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 所表示的复数z 满足(z 1－i)·z ＝1，则复数z 1＝( )
A ．－25＋45i
B.25＋45i
C.25－45
i D ．－25－45
i
解析：选B 由图得z ＝2＋i ，则(z 1－i)(2＋i)＝1，所以z 1＝i ＋
12＋i ＝25＋45
i. 5．(2019·南昌一模)如图所示程序框图，当输入的x 为1时，输出的结果为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析：选C 执行程序框图，i ＝0，输入的x 为1时，y ＝1＋1＝2，i ＝1，y ＝2<20，则x ＝2；y ＝4，i ＝2，y ＝4<20，则x ＝4；y ＝8，i ＝3，y ＝8≤20，则x ＝8；y ＝16，i ＝4，
y ＝16<20，则x ＝16；y ＝32，i ＝5，y ＝32>20，退出循环体．故输出的结果为5，选C.
6．(2019·长沙统考)在复平面内，复数m ＋i
m －i
对应的点位于第一象限，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－∞，0)
C ．(0，＋∞)
D ．(1，＋∞)
解析：选D 因为复数m ＋i m －i ＝(m ＋i )2
(m －i )(m ＋i )＝m 2－1m 2＋1＋2m
m 2＋1
i 对应的点位于第一象限，所
以⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－1
m 2＋1
>0，2m m 2
＋1>0，
解得m >1，故选D.
7．(2019·洛阳尖子生第二次联考)执行如图所示的程序框图，如果输出的数是13，那么输入的正整数n的值是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C 由题意，可得A＝1，B＝1，k＝3，满足条件k≤n；C＝2，A＝1，B＝2，k ＝4，满足条件k≤n；C＝3，A＝2，B＝3，k＝5，满足条件k≤n；C＝5，A＝3，B＝5，k＝6，满足条件k≤n；C＝8，A＝5，B＝8，k＝7，满足条件k≤n；C＝13，A＝8，B＝13，k＝8，此时应该不满足条件k≤n，退出循环，输出的C的值为13.可得8>n≥7，所以输入的正整数n的值是7.故选C.
8．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，…，则52 019的末四位数字为( )
A．3 125 B．5 625
C．0 625 D．8 125
解析：选D 55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 019＝4×503＋7，所以52 019与57的后四位数字相同，为8 125，故选D.
9．沈括是我国北宋著名的科学家，宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成了堆垛．沈括在其代表作《梦溪笔谈》中提出了计算堆垛中酒缸的总数的公式．图①是长方垛：每一层都是长方形，底层长方形的长边放置了a个酒缸，短边放置了b个酒缸，共放置了n层．某同学根据图①，绘制了计算该长方垛中酒缸总数的程序框图，如图②，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )
A ．i <n ？和S ＝S ＋a ·b
B ．i ≤n ？和S ＝S ＋a ·b
C ．i ≤n ？和S ＝a ·b
D ．i <n ？和S ＝a ·b
解析：选B 观察题图①可知，最下面一层酒缸的个数为a ·b ，每上升一层长方形的长边和短边放置的酒缸个数分别减少1，累加即可，故执行框中应填S ＝S ＋a ·b ；计算到第n 层时，循环n 次，此时i ＝n ，故判断框中应填i ≤n ？，故选B.
10．(2020届高三·河北九校第二次联考)执行如图所示的程序框图，如果输入的a ，b ，
k 分别为1,2,4，输出的M ＝158
，那么判断框中应填入的条件为( )
A ．n <k
B ．n ≥k
C ．n <k ＋1
D ．n ≥k ＋1
解析：选A 由于输入的a ＝1，b ＝2，k ＝4，所以当n ＝1时，M ＝1＋12＝3
2
，此时a ＝2，
b ＝32；当n ＝2时，M ＝2＋23＝83，此时a ＝32，b ＝83；当n ＝3时，M ＝32＋38＝158
，与输出的M
值一致，故循环需终止．此时n ＝4，而输入的k ＝4，故结合选项知，判断框中应填入n <k .故选A.
11．已知复数z 1＝1＋a i ，z 2＝3＋2i ，a ∈R ，i 是虚数单位，若z 1·z 2是实数，则a ＝( ) A ．－23
B ．－13
C.13
D.23
解析：选A ∵z 1＝1＋a i ，z 2＝3＋2i ，
∴z 1·z 2＝(1＋a i)(3＋2i)＝(3－2a )＋(2＋3a )i. 若z 1·z 2是实数，则2＋3a ＝0，解得a ＝－2
3
.
12．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角．以下数表的构造思路就来源于杨辉三角．
从第二行起，每一行中的数均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )
A ．2 018×21 008
B ．2 018×21 009
C ．2 020×2
1 008
D ．2 020×2
1 009
解析：选C 当第一行有2个数时，最后一行为4＝2×21
， 当第一行有3个数时，最后一行为12＝3×22
， 当第一行有4个数时，最后一行为32＝4×23， 当第一行有5个数时，最后一行为80＝5×24，
依次类推，当第一行有1 010个数时，最后一行为a ＝1 010×21 009
＝2 020×2
1 008
，故
选C.
13．已知复数z ＝1＋3i
2＋i
，则|z |＝________.
解析：法一：因为z ＝1＋3i 2＋i ＝(1＋3i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝5＋5i
5＝1＋i ，所以|z |＝|1＋i|＝ 2.
法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪1＋3i 2＋i ＝|1＋3i||2＋i|＝105
＝ 2. 答案： 2
14．(2019·豫南名校第二次联考)学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下，
甲说：“是C或D作品获得一等奖”；
乙说：“B作品获得一等奖”；
丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；
丁说：“是C作品获得一等奖”．
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________．
解析：若获得一等奖的是A，则甲、乙、丙、丁四位同学说的话都错；若获得一等奖的是B，则乙、丙两位同学说的话对，符合题意；若获得一等奖的是C，则甲、丙、丁三位同学说的话都对；若获得一等奖的是D，则只有甲同学说的话对．故获得一等奖的作品是B.
答案：B
15．“克拉茨猜想”又称“3n＋1猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数m经过6次运算后得到1，则m的值为________．
解析：如果正整数m按照上述规则经过6次运算得到1，
则经过5次运算后得到的一定是2；
经过4次运算后得到的一定是4；
经过3次运算后得到的为8或1(不合题意)；
经过2次运算后得到的是16；
经过1次运算后得到的是5或32；
所以开始时的数为10或64.
所以正整数m的值为10或64.
答案：10或64
16．我国古代十部著名的数学著作《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算经》被称为《算经十书》．某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣．一天，他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲：“乙比丁少”；乙：甲比丙多”；丙：“我比丁多”；丁：“丙比乙多”，有趣的是，他们说的这些话中，只有一个人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读的本数各不相同)．甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是__________________．
解析：由题意可列表如下：
甲乙丙丁
甲说丁>乙
乙说甲>丙
丙说丙>丁
丁说丙>乙
若乙说的是真实的，则乙读书本数最少，与丁<乙，丙<乙矛盾，不符合题意；若丙说的是真实的，则丙读书本数最少，与丙>丁，甲<丙矛盾，不符合题意；若丁说的是真实的，则丁读书本数最少，与丙<丁矛盾，不符合题意．综上，甲说的是真的，甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是甲丙乙丁．
答案：甲丙乙丁。