高考数学二轮复习 新高考方案专题增分方略 专题微课(三) 利用导数研究函数的性质

4．(2020·衡阳模拟)若曲线 y＝x2＋ln x 在点(1,1)处的切线与直线 x－ay＋2＝0 平行，则实数 a 的值为________． 解析：由 y＝x2＋ln x，得 y′＝2x＋1x，则曲线 y＝x2＋ln x 在点(1,1)处切线 的斜率 k＝y′| x＝1＝3，∵曲线在点(1,1)处的切线与直线 x－ay＋2＝0 平行， ∴1a＝3，∴a＝13. 答案：13
(2)函数在某点处的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率； (3)切点既在原函数的图象上，也在切线上．
[对点训练]
1．(2020·泸州二诊)若函数 f(x)＝x3－x2＋x 的图象在点(1，f(1))处的切线为 l，
则 l 在 y 轴上的截距为
()
A．－1
B．1
C．－2
D．2
解析：f′(x)＝3x2－2x＋1，故 f′(1)＝2，又 f(1)＝1，所以曲线 y＝f(x)在 (1，f(1))处的切线方程为 y＝2(x－1)＋1＝2x－1.令 x＝0，则 y＝－1，故切 线的纵截距为－1，故选 A.
专题微课(三)|利用导数研究函数的性质
考点一 导数的几何意义
[例 1] (2020·合肥质检)已知 f(x)为奇函数，当 x＜0 时，f(x)＝e－x－ex2(e
是自然对数的底数)，则曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线方程是
()
A．y＝－ex＋e
B．y＝ex＋e
C．y＝ex－e
D．y＝2e－1ex－2e＋1e
0]时，f(x)＝x2＋2ax，若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线过点(2,0)，则 a＝( )
A．－34
B．1
C．2 [解析] 设 x≥0，则－x≤0，
D．34
当 x∈(－∞，0]时，
f(x)＝x2＋2ax，所以 f(－x)＝x2－2ax.
又 f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝x2－2ax，
即 f(x)＝－x2＋2ax，所以 f(1)＝－1＋2a.
又 f′(x)＝－2x＋2a，所以 f′(1)＝－2＋2a，
所以 k＝－11＋－22a－0＝－2＋2a，解得 a＝34.
[答案] D
[方法技巧] 应用导数的几何意义解题时的注意点
(1)注意 f′(x)与 f′(x0)的区别与联系，f′(x0)表示导函数 f′(x)在 x＝x0 处的函数值，是一个常数；
f(1)＝1，所以 f′(x)＝2x－1x，f′(1)＝1，
故切线方程为 y－1＝x－1，即 x－y＝0，故选 A.
答案：A
3．(2020·绵阳诊断)若曲线 f(x)＝excos x－mx 在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为 34π，则实数 m＝________. 解析：∵f′(x)＝ex(cos x－sin x)－m， ∴f′(0)＝1－m＝tan34π＝－1. ∴m＝2. 答案：2
答案：A
Hale Waihona Puke 2．已知函数 f(x)为偶函数，当 x＜0 时，f(x)＝x2－ln(－x)，则曲线 y＝f(x)在
x＝1 处的切线方程为
()
A．x－y＝0
B．x－y－2＝0
C．x＋y－2＝0
D．3x－y－2＝0
解析：当 x＞0 时，－x＜0，f(－x)＝x2－ln x，
又函数 f(x)为偶函数，所以 f(x)＝x2－ln x，
[答案] B
[方法技巧] 利用导数判断函数的图象，主要是在仅通过函数的定义域、值域、奇偶性 等性质难以确定函数图象的情况下，通过对函数求导，分析函数的单调性、零 点、极值等，充分展现函数图象的变化规律，达到判断函数图象的目的.
[对点训练] 1．函数 f(x)＝ln x－14x2 的大致图象是
()
[答案] B
[例 2]
(2020·嘉 兴 模 拟 ) 已 知 函 数
f(x)
＝
ax2＋bx＋c ex
(a≠0)的部分图象如图所示，则
()
A．a＜0
B．a－c＞0
C．b－c＜0
D．3a－2b＋c＜0
[解析] ∵f(x)＝ax2＋ebxx＋c， ∴f′(x)＝－ax2＋2ae－x bx＋b－c. 令 g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，由图象可知， 函数 y＝f(x)先减后增再减，则－a＜0， 可得 a＞0，A 选项错误； f′(－1)＜0，则 g(－1)＝－3a＋2b－c＜0，则 3a－2b＋c＞0，D 选项错误； f′(1)＞0，则 g(1)＝a－c＞0，B 选项正确； f′(0)＞0，则 g(0)＝b－c＞0，C 选项错误．
[解析] 因为 f(x)是奇函数，所以 x＞0 时，
f(x)＝－f(－x)＝－(ex－ex2)＝－ex＋ex2，
f(1)＝0，f′(x)＝－ex＋2ex，f′(1)＝－e＋2e＝e，
所以所求切线方程是 y＝e(x－1)． [答案] C
[例 2] (2020·汕头模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x∈(－∞，
解析：因为 f(x)＝ln x－14x2， 所以 f′(x)＝1x－12x＝2－2xx2(x＞0)， 所以当 0＜x＜ 2时，f′(x)＞0，当 x＞ 2时，f′(x)＜0， 所以函数 y＝f(x)在(0， 2)上是增函数， 在( 2，＋∞)上是减函数， 所以 f(x)max＝f( 2)＝12ln 2－12＜0.故选 A. 答案：A
考点二 利用导数研究函数的图象 [例 1] 函数 f(x)＝x－ln1x－1的图象大致是
()
[解析] 设 g(x)＝x－ln x－1，g(1)＝0，则 f(x)＝x－ln1x－1的定义域为 x
∈(0,1)∪(1，＋∞)．g′(x)＝1－1x，当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调 递增；当 x∈(0,1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，则 g(x)≥g(1)＝0.则 f(x)在 x ∈(0,1)上单调递增，x∈(1，＋∞)上单调递减，且 f(x)＞0.故选 B.
2．如右图所示的图象对应的函数解析式可能是 A．y＝(x2－2x)ex B．y＝24xx·s＋in1x C．y＝lnxx D．y＝2x－x2－1
解析：选项 A：y＝(x2－2x)ex， y′＝(x2－2)ex＝(x－ 2)(x＋ 2)ex. 令 y′＝0，得 x＝－ 2或 x＝ 2， 所以当 x∈(－∞，－ 2)∪( 2，＋∞)时，y′＞0；