人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第2章 函数的概念与性质 2.1 等式性质与不等式性质

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基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
学以致用·随堂检测全达标
学习单元
一元二次函数、方程和不等式
本单元是高中数学必修课程中的预备知识,起着初高中数学的衔接与过渡
作用,内容包括“相等关系、不等关系”和“从函数观点看一元二次方程和一
元二次不等式”.
具体知识结构图如图.
相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系,是构建方程、不等式的
2
规律方法
解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不等式的性质,
进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采用取特殊值的方法,
判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题中经常采用这种办法,特别是
1 1
在实数范围内对于0与负数的排除.如会误认为是a>b⇒ < , 要注意正确

的应该是 > , > 0 ⇒
1

<
1
.三要多总结易错点.

2.应用不等式性质证明不等式
问题6不等式的性质如何能较好地应用于证明其他不等式?已知与所求如
何联系?
【例4】 若a>b>0,c<d<0,e<0,求证:
证明 ∵c<d<0,∴-c>-d>0.
1
∵a>b>0,∴a-c>b-d>0,∴0<
-
又

e<0,∴
-
>

.
-
又1<a<4,∴1+(-8)<a+(-b)<4+(-2),即-7<a-b<2.故2a+3b的取值范围是
{2a+3b|8<2a+3b<32},-b的取值范围为{-b|-8<-b<-2},a-b的取值范围是
{a-b|-7<a-b<2}.
规律方法 利用不等式的性质可以解决取值范围问题,当题目中出现两个
变量求取值范围时,要注意两个变量是相互制约的,不能分割开来,应建立
解
3
(a+2)1-
所以当 a>1
=
(+2)(1-)-3
1-
=
2 ++1
时,
>0,即
-1
1 2 3 4 5
-2 --1
1-
=
2 ++1
1 2 3
2
.由于 a +a+1=(a+2) +4
-1
3
a+2> ;当
1-
a<1
2 ++1
时,
<0,即
-1
≥
3
a+2< .
1-
3
>0,
a>b>0,∴- >- >0.

3
-

>
3
3
3
-
,即- >- .



两边同乘-1,得
1 2 3 4 5
3


<
3

.


d
<
3

.

5.(例5对点题)已知60<x<84,28<y<33,则x-y的取值范围

{x-y|27<x-y<56}
为
, 的取值范围为
解析 ∵28<y<33,∴-33<-y<-28.
a>b>0,c>d>0⇒ ac>bd
a=b⇒an=bn
a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2)
名师点睛
对不等式性质的理解
(1)在上表中,从上往下数,性质1和性质2,分别称为“对称性”与“传递性”,反
映了相等关系与不等关系的特性.
(2)性质3—7反映了等式及不等式在运算中的不变性,这也是代数问题研究
>

;
-
1 1
(4)若a>b, > ,则a>0,b<0;


(5)若a<b<0,则 > .

解(1)当c=0时,有ac2=bc2.故该结论错误.
(2)由a<b<0可得a2>ab,ab>b2,从而有a2>ab>b2.故该结论正确.
(3)由 a>b>0,可得-a<-b<0.因为 c>a>b,所以
1
A,C,D 正确;取 a=-2,b=-1,则 a<b<0,则 =-1, =- ,此时
2
-
-
故选 B.
1 2 3 4 5
<
>
1
,故选项

1
,故选项 B 错误.

3
4.(例4对点题)已知a>b>0,c<d<0,求证:
证明
又
∴
1 1
∵c<d<0,∴-c>-d>0.∴0<- <- .


式在不等关系、在不等式运算方面相应的性质?
问题5对于不等式的性质,哪些性质在运用的时候容易出错?如何解决?
1.应用不等式性质判断命题真假
【例3】 对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确:
(1)若a>b,则ac2>bc2;
(2)若a<b<0,则a2>ab>b2;

(3)若c>a>b>0,则 -
2
≥110,所以题中不等关系可用不等式组表
延伸探究
本例中,若矩形的长、宽都不能超过12 m,对面积没有要求,则x应满足的不
等关系是什么?
解 因为矩形的另一边15-

2≤12,所以x≥6.又因为0<x≤18,且x≤12,所以6≤x≤12.
规律方法
利用不等式表示不等关系时的注意点
(1)找出表示不等关系的短语,如本例中的“不小于”;
∀a,b∈R,a2+b2 ≥ 2ab,当且仅当
a=b
时,等号成立.
微思考
重要不等式∀a,b∈R,a2+b2≥2ab是如何证明的?体现了什么方法?
提示 由于a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,因此不等式的证明利用了作差后判断符号,
这是不等式比较常用的方法.
知识点四:不等式的性质
等式性质与不等式性质的比较
(2)在用不等式表示实际问题时,一定要注意有意义,如本例边长0<x≤18;
(3)待比较的量中涉及特殊的数集要标明.
探究点二
实数大小的比较
问题3不等式表示不等关系是数学语言的转化,如何证明不等式成立?
【例2】 已知a>b,证明
证明
+
∵a>b,∴a2
=
+
a> .
2
-
+
>0,∴a> .
2
待求整体与已知变量之间的关系,然后根据不等式的性质求出取值范围.
学以致用·随堂检测全达标
1.(例1对点题)某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩分数x不低于95,
文化课总分数y高于380,体育成绩分数z超过45,用不等式组表示就是( D )
≥ 95,
≥ 95,
A. ≥ 380,
B. > 380,
≥ 45
> 45
> 95,
C. > 380,
> 45
≥ 95,
D. > 380,
> 45
解析 由题意,得x不低于95,即x≥95;y高于380,即y>380;z超过45,即z>45.故选
D.
1 2 3 4 5
3
2.(例2对点题)比较a+2与 1- (a∈R,且a≠1)的大小.
一边长为x m.试用不等式表示其中的不等关系.
分析 表示出矩形菜园的另一边长,利用面积公式表示面积,要注意x的取值
范围.
解 由题意知
30-
0<x≤18,菜园的另一边长为
,因此菜园面积
2
意可知,S≥110(单位:m),即 x
0 < ≤ 18,

示为
(15- ) ≥ 110.
2

15- 2

S=x·(15- ),由题
习,学生的逻辑推理和数学运算素养将得到进一步提升.
1.会用不等式组表示不等关系.(数学建模)
学习目标
2.能够用作差法比较两个数或式的大小.(逻辑推理)
3.类比等式的性质,掌握不等式的性质.(逻辑推理)
4.会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.(知识点一:不等式与不等关系
的重点内容.
(3)性质3(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符
号后,可以把它从一边移到另一边”的依据;性质4(即可乘性)在使用中要特
别注意研究“乘数的符号”;性质5(即同向可加性),即“同向不等式只能相加,
不等号方向不变,不能相减”;性质6和性质7(即同向同正可乘性,可乘方性),

-
>
1
0<c-a<c-b,因此-
>
1
>0,于是
-

.故该结论正确.
-
1
(4)由

>
1
1
1
,可知 −



=
-
>0.因为 a>b,所以 b-a<0,于是 ab<0.又因为 a>b,所

以 a>0,b<0.故该结论正确.
(5)依题意取

a=-2,b=-1,则

=
1
, =2,显然结论错误.
a-b<0⇔a<b;
a-b=0⇔a=b
应用范围
数(式)的大小不明显,作差
后可化为积或商的形式
同号两数比较大小
微思考
如果给定实数a与b,那么如何比较它们的大小呢?
提示 通常是通过判断它们的差(a-b)的符号来比较它们的大小.当a与b同号
且都不为0时,也可通过它们的商与1的大小关系来比较它们的大小.
知识点三:重要不等式
即均为正数的同向不等式相乘,得同向不等式,并无相除式.
微思考
“a>b>0⇒an>bn>0(n∈N,n>1)”成立的条件是什么?b>0的条件能去掉吗?
提示 成立的条件是“n为大于1的自然数,且a>b>0”.不能,假如去掉“b>0”这
个条件,取a=3,b=-5,n=2,那么就会出现32>(-5)2的错误结论.这一点对于不
个成立,则不等式就是成立的,所以,如“5≥4”“5≥5”均是正确的.
知识点二:实数的大小比较
比较实数a,b的大小的依据
a>b
a<b
a=b
名师点睛
比较实数(式)大小的方法
类别
依据
作差法
作商法
a-b>0⇔a>b;


a>0,b>0且 >1⇒a>b;a>0,b>0且 <1



⇒a<b;a>0,b>0且 =1⇒a=b
1.不等式的定义所含的两个要点.
(1)不等符号 >,<,≥,≤
或 ≠
(2)所表示的关系是 不等关系
.
.
2.不等式中的文字语言与符号语言之间的转换.
文字
语言
符号
语言
大于
>
大于
等于
≥
小于
<
小于
等于
≤
至多
至少
≤
≥
不少
不多
于
于
≥
≤
微思考
不等式“5≥4”是真命题吗?如何理解?
提示 不等式“5≥4”是真命题,“≥”有两层含义,一是“>”,二是“=”,两者中有一
2
规律方法
用作差法比较实数大小的步骤
作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:(1)作差;(2)变形.变
形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定号,即确定差的符
号;(4)下结论,写出两个代数式的大小关系.
探究点三
不等式性质的应用
问题4类比等式在相等关系、运算过程中的不变性等性质,可否联想不等
基础,而方程和不等式都是重要的数学工具,在解决问题中有广泛的应用.
因此对方程和不等式内容的学习,主要是为高中数学课程提供工具方面的
准备.其次,函数是贯穿高中数学课程的最重要的概念和思想方法,用函数
的观点看方程和不等式是一种重要的思想方法——如何从函数的观点理
解其他数学对象,进而把握不同数学对象的共性和相互关系.通过本章的学
<
1
.
-

-
>

.
-
规律方法
1.简单不等式的证明可直接由已知条件,利用不等式的性质,通
过对不等式变形得证,困难一点的要执果索因,用分析法来证明,要学会观
察思考已知不等式与所证明的不等式结构之间的联系.
2.对于不等式两边都比较复杂的式子,直接利用不等式的性质不易证得,可
考虑将不等式两边作差,然后进行变形,根据条件确定每一个因式的符号,
又60<x<84,∴27<x-y<56.
由
1
28<y<33,得
33
1 2 3 4 5
1

< <
1
20
,即
28
11
<

<3.

20
11


< <3
.
4
3.(例3对点题)[2023陕西咸阳月考]若实数a,b满足a<b<0,则下列不等式中
不成立的是( B )
1
B.
-
A.|a|>|b|
解析 因为
>
1

1
C.

<
1

1
1
2
2 1
a<b<0,所以|a|>|b|>0, <0, <0,则 a >b ,


||
D.b2<a2
<
1
1
,所以
||

1
1 1
利用符号法则判断最终的符号,完成证明.
3.利用不等式性质求取值范围
问题7不等式性质的运用,如何帮助探究某些代数式的取值范围?
【例5】 已知1<a<4,2<b<8,试求2a+3b,-b与a-b的取值范围.
解∵1<a<4,2<b<8,∴2<2a<8,6<3b<24.
∴8<2a+3b<32.∵2<b<8,∴-8<-b<-2.
类比思想
等式的性质
不等式的性质