高三数学期末综合测试卷

高三数学期末综合测试卷
一、选择题（每题4分，共40分）
1. 若函数f(x) = x² - 2x + 1的图像上任意一点P的切线斜率小于2，则实数a的取值范围是（）
A. a < 1
B. a ≤ 1
C. a ≥ 1
D. a > 1
2. 已知函数g(x) = x³ - 3x + 1，下列说法正确的是（）
A. 函数在x=1处取得极小值
B. 函数在x=1处取得极大值
C. 函数在x=1处既不取得极大值也不取得极小值
D. 函数在x=1处连续但不可导
3. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 25，则该数列的通项公
式an = （）
A. a1 + (n-1)d
B. 5a1 + (n-1)d
C. a1 + 5d
D. 5a1 + 5d
4. 若直线y = kx + b与圆x² + y² = 1相切，则k和b满足的关系
式是（）
A. k² + b² = 1
B. k² + b² = 2
C. k² - b² = 1
D. k² - b² = 2
5. 已知函数h(x) = x² + kx + 1在区间(-∞, 1)上单调递减，则实数k的取值范围是（）
A. k < -2
B. k ≤ -2
C. k ≥ 2
D. k > 2
二、填空题（每题4分，共40分）
6. 若函数f(x) = (x - 1)²在区间(0, +∞)上的最小值是4，则实数a 的值为______。

7. 等比数列{bn}的前n项和为Tn，且T4 = 16，b2 = 2，则该数列的公比q = ______。

8. 已知函数g(x) = |x - 2| - |x + 3|，则x的取值范围是______。

9. 直线y = 2x + 3与圆x² + y² = 4的交点坐标是______。

10. 若函数h(x) = x³ - 3x + c在x=1处取得极值，则c的值为
______。

三、解答题（共60分）
11. （本题12分）已知函数f(x) = x³ - 3x² + 4x - 1。

（1）求f(x)的单调区间；
（2）求f(x)的极大值和极小值。

12. （本题12分）在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a² + b² = 2c²。

（1）求角C的大小；
（2）若a = 3，求三角形ABC的面积。

13. （本题16分）已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1。

（1）求证数列{an}是等差数列；
（2）若数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的表达式。

14. （本题20分）已知函数g(x) = (x - 1)²(x + 2)。

（1）求g(x)的单调区间；
（2）求g(x)的极大值和极小值；
（3）若g(x)的图像与直线y = k相切，求实数k的取值范围。