第1课时 函数的表示法(学案)21-22高一数学教材配套学案+课件+练习(人教A版19必修第一册

3.1.2 函数的表示法
第1课时函数的表示法
【学习目标】
函数的三种表示方法
注意：
【小试牛刀】
思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以用列表法表示.()
(2)任何一个函数都可以用图象法表示.()
(3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线.()
(4)函数f(x)＝2x＋1可以用列表法表示．()
【经典例题】
题型一函数的表示法
点拨：(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)在实际操作中，仍以解析法为主．
例1 某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．
【跟踪训练】1 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
(1)f(g(3))＝__________；(2)若g(f(x))＝2，则x＝__________.
题型二图象法表示函数
点拨：作函数图象的步骤及注意点
(1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.
(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等.
例2 作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝2
x，x∈[2，＋∞)；(2)y＝x
2＋2x，x∈[－2,2]．
【跟踪训练】2 画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x>1或x<－1).
题型三 求函数解析式
点拨：(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． (2)已知f (g (x ))＝h (x )，求f (x )，常用的有两种方法：
①换元法，即令t ＝g (x )，解出x ，代入h (x )中，得到一个含t 的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围.
②配凑法，即从f (g (x ))的解析式中配凑出“g (x )”，即用g (x )来表示h (x )，然后将解析式中的g (x )用x 代替即可.
(3)方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式
组成方程组，通过解方程组求出f (x )．
例3-1 已知函数f (x )是一次函数，若f [f (x )]＝4x ＋8，求f (x )的解析式．
【跟踪训练】3已知f (x )是二次函数且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，则函数f (x )的解析式为________.
例3-2 已知函数f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1，求f (x )的解析式。

【跟踪训练】4已知f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )．
例3-3 已知函数f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＝3x ，求f (x )的解析式．
【跟踪训练】5已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x ).
【当堂达标】
1.y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝1x B ．y ＝－1x C ．y ＝2
x D ．y ＝－2
x
2.已知f (x －1)＝x 2＋4x －5，则f (x )的表达式是( )
A.f (x )＝x 2＋6x
B.f (x )＝x 2＋8x ＋7
C.f (x )＝x 2＋2x －3
D.f (x )＝x 2＋6x －10
3.一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则它的高y 与x 的函数关系为 .
4.已知函数f (x )＝x 2－2x (－1≤x ≤2). (1)画出f (x )图象的简图； (2)根据图象写出f (x )的值域.
5.已知f (x )＝x ＋b ，f (ax ＋1)＝3x ＋2，求a ，b 的值．
6.(1) f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＝1
x 2－1，求f (x )的解析式。

(2)f (x )－2f (－x )＝9x ＋2，求f (x )的解析式。

【参考答案】
【自主学习】
数学表达式图象表格
【小试牛刀】
(1)×(2)×(3)×(4)×
【经典例题】
例1 解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}．
用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．
用列表法可将函数y＝f(x)表示为
笔记本数x12345
钱数y510152025
用图象法可将函数y＝f(x)表示为如下图．
【跟踪训练】1 (1)2(2)1解析(1)由表知g(3)＝1，∈f(g(3))＝f(1)＝2；
(2)由表知g(2)＝2，又g(f(x))＝2，得f(x)＝2，再由表知x＝1.
例2 (1)列表：
x2345…
y12
3
1
2
2
5…
画图象，当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝2
x的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1]．
(2)列表：
x－2－1012
y0－1038
画图象，图象是抛物线y＝x2＋[－1,8]．【跟踪训练】2 解(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1).
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).
例3-1 解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又f [f (x )]＝4x ＋8，∈a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋8， 即⎩⎨⎧
a 2＝4，
ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝8
3
，或⎩
⎨⎧
a ＝－2，
b ＝－8. ∈f (x )＝2x ＋8
3或f (x )＝－2x －8.
【跟踪训练】3 f (x )＝x 2－x ＋1 解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1得c ＝1，则f (x )＝ax 2＋bx ＋1，f (x ＋1)－f (x )＝[a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1]－(ax 2＋bx ＋1)＝2ax ＋a ＋b ＝2x .
故得⎩⎨⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1，故得f (x )＝x 2－x ＋1.
例3-2 解 配凑法：∈f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)2， ∈f (x )＝x 2.又x ＋1≥1，∈f (x )＝x 2(x ≥1)．
换元法：令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2.由于x ≥0，所以t ≥1.
代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＋1＝t 2，所以f (x )＝x 2(x ≥1)．
【跟踪训练】4 解：配凑法：∈f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2＝(x ＋1)2－5x ＋1＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6， ∈f (x )＝x 2－5x ＋6.
换元法：令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，∈f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2＝t 2－5t ＋6，即f (x )＝x 2－5x ＋6.
例3-3 解：（1）∈2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，∈∈将x 用1x 替换，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋f (x )＝3x ，∈
联立∈∈得⎩⎪⎨⎪⎧
2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＝3x ，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋f (x )＝3x ，
解得f (x )＝2x －1x (x ≠0)，即f (x )的解析式是f (x )＝2x －1
x (x ≠0)．
【跟踪训练】5 解：∈f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，∈∈将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x .∈
∈由∈∈得3f (x )＝x 2－6x ，∈f (x )＝1
3
x 2－2x .
【当堂达标】
1.C 解析：设y ＝k x ，当x ＝2时，y ＝1，所以1＝k 2，得k ＝
2.故y ＝2
x . 2. A 解析：法一 设t ＝x －1，则x ＝t ＋1.∈f (x －1)＝x 2＋4x －5 ∈f (t )＝(t ＋1)2＋4(t ＋1)－5＝t 2＋6t ，∈f (x )的表达式是f (x )＝x 2＋6x ；
法二 ∈f (x －1)＝x 2＋4x －5＝(x －1)2＋6(x －1)，∈f (x )＝x 2＋6x ，∈f (x )的表达式是f (x )＝x 2＋6x .
3. y ＝50x (x >0) 解析：由梯形的面积公式有100＝x ＋3x 2·y ，得y ＝
50
x (x >0)．
4. 解：(1)f (x )图象的简图如图所示.
(2)由f (x )的图象可知，f (x )所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f (x )的值域是[－1，3]. 5.解：由f (x )＝x ＋b ，得f (ax ＋1)＝ax ＋1＋b .
∈ax ＋1＋b ＝3x ＋2，∈a ＝3，b ＋1＝2，即a ＝3，b ＝1.
6.解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋12－2⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋1，所以f (x )＝x 2－2x .
因为1x ≠0，所以1
x ＋1≠1，所以f (x )＝x 2－2x (x ≠1)．
(2)解 由条件知，f (－x )－2f (x )＝－9x ＋2，则⎩⎨⎧
f (x )－2f (－x )＝9x ＋2，
f (－x )－2f (x )＝－9x ＋2，
解得f (x )＝3x －2.。