学案与测评数学苏教文科第单元导数及其应用

易错警示 【例】已知曲线 y 3 x 上的点P（0,0）,求过点P(0,0)的切线方程.
错解 ∵ y 3 x 1
x x 3 x2
∴ y 3 x在点x=0处不可导，因此过P点的切线不存在.
错解分析 本题的解法忽视了曲线在某点处的切线的定义.在点P处的切 线是指曲线在点P附近取点Q，当点Q趋近于点P时，割线PQ的极限位 置的直线就是过点P的切线，因此过点P的切线存在，为y轴（如下图 所示）. 正解 如右图，按切线的定义，当Δx→0 时割线PQ的极限位置为y轴（此时斜率不 存在），因此，过点P的切线方程为x=0.
(2)设曲线y 1 x3 4 与过点P（2，4）的切线相切于点 33
,则A切(x线0的, 13斜x率30 k=34y′|)x=x0=x20………………….…6′
∴切线方程为
y1x 3
30
4 3
y
x
2 0
(x
-
x
0
),
即y
x
2 0
•
x
-
2 3
x
3 0
4 3
∵点P（2，4）在切线上，
∴
4
2x
2 0
12. (2008·宁夏)设函数f(x) ax 1 (a,b∈Z),曲线y=f(x)在点 xb
(2,f(2))处的切线方程为y=3.
(1)求f(x)的解析式；
（2）证明函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（3）证明曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形
直线x=1与y=x的交点为(1,1),
从而所围三角形的面积为
1 2
x0 x0
1 -1
-1
|
2x
0
- 1 - 1 |
1 2
2 2x 0
-1
|
2x
0
-
2
|
2.
所以所围三角形的面积为定值2.
第二节 导数的应用（Ⅰ）
基础梳理
1. 函数的单调性 对于函数y=f(x)，如果在某区间上f′(x)＞0,那么f(x)在该区间上是增函 数;如果f′(x)＜0，那么f(x)在该区间上是 减函数. 2. 函数的极值与最大值 （1）如果在x0附近的左侧f′(x) ＞ 0,右侧f′(x) ＜0,且f′(x0) = 0,那么 f(x0)是极大值； （2）如果在x0附近的左侧f′(x) ＜ 0,右侧f′(x) ＞ 0,且f′(x0) = 0,那么 f(x0)是极小值. （3）函数的极大值、极小值统称为函数的极值. （4）如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0) , 则称f(x0)为函数在定义域上的 最大值.
2
知，
x0
,
x0
x
1 0 -1
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
过此点的切线方程为 令x=1,得, y x0 1
y
-
x
2 0
- x0 x0 -1
1
1
-
(x 0
1 -1)2
(x
-
x
0
).
x0 -1 ∴切线与直线x=1的交点为（1,
x0 1）
x0 -1
令y=x,得x=2x0-1,
∴切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1).
导函数 f′(x)=k f′(x)=0 f′(x)=1 f′(x)=2x f′(x)=3x 2
f(x) 1 f(x)= x
f(x)=xax(a为常数)
f(x)=ax(a＞0且a≠1)
f
(x)
-
1 x2
f (x) 1 2x
f′(x)=axa-1
f′(x)=axln a
f(x)=logax(a＞0且a≠1) f(x)=ex f(x)=ln x
3. 函数f(x)的导函数 若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变 量x的 变化 而 变化 ，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导 函数，记作 f′(x).
4. 基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)=kx+b(k,b为常数) f(x)=C f(x)=x f(x)=x2 f(x)=x3
对可导函数，求单调区间的步骤如下：
（1）求f(x)的定义域；
（2）求出f′(x)；
（3）令f′(x)=0，求出全部驻点（补充定义:若函数f(x)在点x0处的导数 f′(x0)=0，则称点x0为函数f(x)的驻点）； （4）驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内f′(x)的符
学后反思
（1）解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的
切线”.
（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标(x0,y0),得出切线 方程y-y0=f′(x0)(x-x0),然后把已知点代入切线方程求(x0,y0)，进而求出切线
举一反三 4. 已知抛物线y=ax2+bx+c过点P（1，1），且在点Q（2，-1）处与直 线y=x-3相切，求实数a,b,c的值. 解析：∵曲线过点P(1,1), ∴a+b+c=1,① 又∵y′=2ax+b,∴y′|x=2=4a+b,∴4a+b=1.② 又∵曲线过点Q（2,-1）, ∴4a+2b+c=-1,③ 联立①②③得a=3,b=-11,c=9.
(4)
f(x) g(x)
f
(x)g(x) - f(x)g(x)
g(x)2
[g(x)
0]
典例分析
题型一 利用导数的定义求导数
【例1】用导数定义求y=x2在x=1处的导数值.
分析 利用导数的定义,按求导数的步骤求解.
解∵ y f(1 x) - f(1) (1 x)2 -12 x2 2x x 2
•
x
-
2 3
x
3 0
4 3
即x30-3x20+4=0,∴x30+x20-4x20+4=0,
∴x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,……………………………….12′
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0………………………….14′
举一反三 3. (创新题)神舟飞船发射后的一段时间内，第t秒时的高度 h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s. (1)求第t0秒末的瞬时速度； ( 2 )经过多少时间飞船的速度达到75 m/s?
解析：
(1)∵h′(t)=15t2+60t+45,
∴飞船在第t0秒末的瞬时速度为h′(t0)=15t20+60t0+45.
考点演练
10 . (2009·福建改编)若曲线f(x)=ax2+ln x存在垂直于y轴的切线，求实 数a的取值范围.
解析: f (x) 2ax 1 x
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)=0有解，
即 2ax 1 0 有解,∴ x
a
-
1 2x
,∴a∈(-∞,0).
2
11. 已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过P(2,0),且在点P处
分析
(1)点P处的切线以点P为切点,关键是求出切线斜率k=f′(2).
(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.
解 （1）∵y′=x2,………………………………………………………….2′ ∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=4,………………………3′ ∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0……………………………………………………………….4′
【例3】
一质点运动的方程为s=8-3t2.
(1)求质点在［1,1+Δt］这段时间内的平均速度；
(2)求质点在t=1的瞬时速度.
分析 第（1）问可利用公式 s 求解；第（2）问可利用第（1）问的 t
结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.
解
(1)质点在［1,1+Δt］这段时间内的平均速度为
s s(1 t) - s(1) -6 - 3t
面积为定值，并求出此定值.
解析:
(1) f (x)
a -1 (x b)2
,
于是2a a
1 2b 1
(2 b)2
3, 0,解得ab
1-1, 或ab
9, 4 -8 3
.
∵a,b∈Z,∴ f(x) x 1. x -1
(∴2函)证数明g:(x已) 知x函数1y也1=是x, y奇2函 数x1 ，都其是图奇象函是数以，原点为中心的中心对称
有相同的切线.求实数a,b,c的值.
解析： ∵f(x)过点（2,0）,∴f(2)=2×23+a×2=0,解得a=-8, 同理g(2)=4b+c=0.∵f′(x)=6x2-8, ∴在点P处切线斜率k=f′(2)=6×22-8=16. 又g′(x)=2bx,∴2b×2=16,∴b=4， ∴c=-4b=-16.故a=-8,b=4,c=-16.
（1）定义
设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义，x0∈(a,b),若Δx无限趋近于0时，比
值
y x
f(x0 x ) - f(x0 ) x
无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，
并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作 f ′(x0).、
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点x=x0处的切 线的斜率.相应地，切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
(2)由v(t)=h′(t)=75,得15t2+60t+45=75,
解得t= 6 -2,或t= - 6 -2(舍去). 故经过( 6 -2)s飞船速度达到75 m/s. 题型四 导数的几何意义及在几何上的应用 【例4】(14分)
已知曲线 y 1 x3 4 33
(1)求曲线在点P（2，4）处的切线方程； (2)求曲线过点P（2，4）的切线方程.
解析：y
(x
cos
x)
(x
sin (x
x) - (x cos sin x)2
x)(x
sin
x)
(1- sin x)(x sin x) - (x cos x)(1 cos x) (x sin x)2
-
xcos
x
-
xsin x sin x (x sin x)2
-
cos
x
-1
题型三 导数的物理意义及在物理上的应用
x
图形.由 f(x) x 1 (x -1) 1 1,
x -1
(x -1)
可知f(x)的图象是由g(x)的图象沿x轴正方向向右平移1个单位，再沿y
轴正方向向上平移1个单位得到的.
故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.
（3）证明：在曲线上任取一点
由f′(x0)=
1
-
(x
0
1 -1)
x
x
x
x
∴当Δx无限趋近于0时， yx趋近于2,∴y′|x=1=2.
学后反思
利用导数的定义求在一点x0的导数的关键是对ΔyΔx进行灵活变形， 若求f(x)在开区间(a,b)内的导数，只需将x0看成是(a,b)内的任意点x, 即可求得f′(x).
举一反三
2. 求函数 y x cos x 的导数. x sin x
t
t
(2)方法一（定义法）： 质点在t=1时的瞬时速度.lim s - 6
t0 t
方法二（求导法）：
质点在t时刻的瞬时速度v=s′(t)=-6t,当t=1时，v=-6.
学后反思 导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体 运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的，所以在了解导数概 念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说， 其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对 时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物 理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题
典例分析
题型一 利用导数求函数的单调区间 【例1】已知f(x)=ex-ax-1,求f(x)的单调增区间. 分析 通过解f′(x)≥0,求f(x)的单调递增区间. 解 ∵f(x)=ex-ax-1,∴f′(x)=ex-a. 令f′(x)≥0,得ex≥a, 当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立； 当a＞0时，有x≥ln a. 综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当a＞0时，f(x)的单调增区间为［ln a,+∞). 学后反思 求函数的单调区间，就是解f′(x)＞0或f′(x)＜0，这些不等式的解就是 使函数保持单调递增或递减的单调区间.
f(x)=sin x f(x)=cos x
f (x) 1 xln a
f′(x)=ex
f (x) 1 x
f′(x)=cos x
f′(x)=-sin x
5. 导数运算法则 (1)［f(x)±g(x)］′= f′(x)±g′(x); (2)［Cf(x)］′= Cf′(x)(C为常数); (3)［f(x)·g(x)］′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
知识体系
第四单元 导数及其应用
第一节 导数的概念及运算
基础梳理
1. 函数f(x)在区间［x1,x2］上的平均变化率
函数f(x)在区间［x1,x2］上的平均变化率为
f(x 2 x
)
2
-
f(x1 x1
)
若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为.
, y
x
2. 函数f(x)在x=x0处的导数