数学-高二-辽宁省大连二十高高二上期中考试数学(文)试题

2016-2017学年度上学期期中考试
高二数学（文科）试卷
考试时间：120分钟 试题分数：150分 命题人：李飞
卷Ⅰ
一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.不等式312<--x 的解集为
（A ）),2(+∞ (B) )2,(-∞ (C) ),2(+∞- (D) )2,(--∞
2.椭圆22
1436
x y +=的短轴长为 （A ）2 (B) 4 (C)6 (D) 12
3. 已知命题p ：“R x ∈∀，0222>+-x x ”，则p ⌝是
（A ）R x ∈∀，0222≤+-x x (B) R x ∈∃0，022020>+-x x
(C) R x ∈∃0，022020<+-x x (D) R x ∈∃0，022020≤+-x x
4. 对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的
（A ）充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
（C ）充要条件 (D) 不充分不必要条件
5.已知1,1,1
12-+-a a a 为等比数列，则=a （A ）0或1- (B) 1- （C ）0 (D) 不存在
6．命题“数列{}n a 前n 项和是2n S An Bn =+的形式，则数列{}n a 为等差数列”的逆命题，否命题，逆否命题这三个命题中，真命题的个数为
（A ） (B) 2 (C) 3 (D) 0
7. 设定点12(0,3),(0,3)F F -，动点P 满足条件m
m PF PF 16||||21+
=+（其中常数0>m ），则点P 的轨迹是 （A ）不存在 (B) 椭圆或线段 (C) 线段 (D) 椭圆
8．已知点)1,3(--和)6,4(-在直线023=--a y x 的两侧，则实数a 的取值范围为
（A ）)24,7(- （B ）),24()7,(+∞--∞
（C ）)7,24(- （D ）),7()24,(+∞--∞
9. 已知点(,)x y 满足不等式组43021032190x y x y x y -+≤⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 （A ） （B ）25 （C ）52 （D ）53
10.已知椭圆19
162
2=+y x 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若12,,P F F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为
（A ） 47 (B)779 (C) 49 (D) 3
7 11.椭圆11
3322
2=--+a a y a x 的离心率的最小值为 (A) 36 （B ）32 (C)3
1 (D)33 12. 关于x 的方程2(2)310x a b x a b +++++=的两个实根分别在区间(1,0)-和(0,1)
上，则a b +的取值范围为
(A ）31
(,)55- (B)21(,)55- (C)32(,)55-- (D)11(,)55
-
卷Ⅱ
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 椭圆15
92
2=+y x 的焦点坐标为 ．
14. 设实数x y ，满足约束条件1,23,1,y x y x y x ⎧≥⎪⎪≤⎨⎪≤-+⎪⎩
目标函数z ax y =+取最大值有去穷多个最优
解，则实数a 的取值为________ .
15. 已知数列{}n a 满足n a a a n n =-=+11,8（n *∈N ），则n a n
取最小值时=n . 16. 设1F 、2F 分别是椭圆116
252
2=+y x 的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为)4,6(，则||||1PF PM -|的最小值为_____ ___．
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
(Ⅰ)已知某椭圆的左右焦点分别为)0,1(),0,1(21F F -，且经过点)4
14,
21(P ，求该椭圆的标准方程； (Ⅱ) 已知某椭圆过点)2
6,
1(),1,2(--，求该椭圆的标准方程. 18.(本小题满分12分) 已知命题:p “11
22
2=-+m y m x 是焦点在x 轴上的椭圆的标准方程”，命题:q “不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-≤+-≤≤≥m
x y x y x y y 210所表示的区域是四边形”.若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，求实数m 的取值范围.
19．(本小题满分12分)
已知正数b a ,满足b a ab +=2．
(Ⅰ)求ab 的最小值；
(Ⅱ)求2a b +的最小值.
20. (本小题满分12分)
已知数列}{n a 满足)(121*+∈-=N n a a n n ，21=a .
(Ⅰ)求证}1{-n a 为等比数列，并数列}{n a 的通项公式；
(Ⅱ)求数列}{n na 的前n 项和n S )(*
∈N n .
21. (本小题满分12分) 已知椭圆12
42
2=+y x ，点A 在椭圆上(不是顶点)，点A 关于x 轴、y 轴、原点的对称点分别为B 、D 、C ，求四边形ABCD 面积的最大值.
22. (本小题满分12分)
设1a <，集合{|0}A x R x =∈>，2{|23(1)60}B x R x a x a =∈-++>， D A B =.
(Ⅰ)求集合D （用区间表示）；
(Ⅱ)求函数a x a x x f ++-=)1()(2在D 内的零点.
2016-2017学年度上学期期中考试高二数学试卷参考答案
一．选择题
CBDBC CDADC AA
二．填空题 理科：)0,6
6(± )1,3(- 4或5 15 文科：)0,2(± 3-或 4 5-
三．解答题
17. (Ⅰ)a PF PF 2224
23425161441161449||||21==+=+++=+，又椭圆焦点为)0,1(±，所以椭圆方程为12
22
=+y x .……………………5分 (Ⅱ)设椭圆方程为122=+ny mx ，则有123,12=+=+n m n m ，解得2
1,41==n m ，所以椭圆方程为12
42
2=+y x .……………………10分 18.
（理科）如果p 为真命题，则有01>->m m ，即21<<m ；……………………3分
若果q 为真命题，则由图可得230≤<m 或2≥m .……………………7分
因为q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，所以p 和q 一真一假，
所以实数m 的取值范围为),2
3(]1,0(+∞ ……………………12分
（文科）如果p 为真命题，则有01>->m m ，即21<<m ；……………………3分 若果q 为真命题，则由图可得
22
3<<m .……………………7分 因为q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，所以p 和q 一真一假， 所以实数m 的取值范围为]2
3,1(.……………………12分
19.（理科）
(Ⅰ)22222+≥++=ab b a ab ，设t ab =，所以02222≥--t t ，解得22+≥t ，……………………4分
所以ab 最小值为246+，当a b 2=，即12+=
a 时取到. ……………………6分 (Ⅱ)由题可得)1(1
22>-+=a a a b ， 所以55451
811442+≥+-+-=-++=+a a a a a b a ，即b a 2+最小值为554+，……………………10分 当1
81-=-a a ，即122+=a 时取到. ……………………12分 （文科）(Ⅰ)ab b a ab 222≥+=，所以22≥ab ，所以ab 最小值为8，……………………4分
当a b 2=，即2=a 时取到. ……………………6分
(Ⅱ)由题可得121=+b
a ， 所以9225)2)(21(2≥++=++=+
b a a b b a b a b a ，即b a 2+最小值为
9，……………………10分
当3==b a 时取到. ……………………12分
20. (Ⅰ)由题可得)1(211-=-+n n a a ，又111=-a ，所以}1{-n a 为等比数列，……………………2分
且121-=-n n a ，所以121+=-n n a ；……………………4分
(Ⅱ) n n na n n +=-12，设12-=n n n b 的前n 项和为n T ，
所以1221022)1(...232221--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T
n n n n n T 22)1(...23222121321⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=-…………………6分 所以12)1(2)2...22(211210+⨯-=⨯++++-⨯-=-n n n n n n T ,……………………10分 所以2
)1(12)1(++
+⨯-==n n n S n n .……………………12分 21.(理科)
设椭圆方程为),0(1222222b a c b a b
y a x -=>>=+，由23=a c ，所以21=a b ，所以 椭圆方程可以化简为2224a y x =+，……………………2分
设该椭圆上一点),(y x M 则]2
,2[)((4933)23
(||22222a a y y f a y y y x PM -∈=++--=-+=.………………4分 (1) 当2
21a -<-，即1<a 时，749234)2()(2max =++=-=a a a f y f ，解得1723>+-=a （舍）；……………………8分
(2) 当221a -≤-，即1≥a 时，74
92343)21()(2max =+++-=-=a f y f ，解得12>=a 符合题意. 综上：椭圆方程为14
22
=+y x .……………………12分 （文科）在12
42
2=+y x 上设点),(y x A （0≠xy ）由题可得四边形ABCD 的面积为||2xy ，……………………2分 由8
)(21242
22xy y x ≥=+，……………………8分 当且仅当2
42
2y x =时即1,2±=±=y x 取等号， 所以||xy 最大值为2，即四边形ABCD 的面积最大值为22.……………………12分
22. (Ⅰ)对于方程223(1)60x a x a -++=
判别式29(1)483(3)(31)a a a a ∆=+-=--
因为1a <，所以30a -<
① 当113a >>
时，0∆<，此时B R =，所以D A =； ② 当13
a =时，0∆=，此时{|1}B x x =≠，所以(0,1)(1,)D =+∞；
当13
a <时，0∆>，设方程223(1)60x a x a -++=的两根为12,x x 且12x x <，则
1x =，2x = 12{|}B x x x x x =<>或
③ 当103a <<时，123(1)02
x x a +=+>，1230x x a =>，所以120,0x x >> 此时，),(),0(21+∞=x x D ；
④ 当0a ≤时，1230x x a =≤，所以120,0x x ≤>
此时，),(2+∞=x D . ……………………6分
(Ⅱ)))(1()(a x x x f --=，1a <
①当113
a >>
时，函数()f x 的零点为与a ； ②当13a =时，，函数()f x 的零点为3
1； ③当103a <<时，因为06)1(32,06)1(31222>++-⨯<++-⨯a a a a a a ，所以函数()f x 零点为a ；
④0a ≤，因为06)1(32,06)1(31222<++-⨯<++-⨯a a a a a a ，所以函数()f x 无零点.。