黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2019届高三数学9月月考试题理

）
B． a b c
5．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责 之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出 几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿 5 斗粟．羊 主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一 半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还 a 升， b 升，
哈师大青冈实验中学 201---2019 学年度 9 月份考试 高三学年数学（理科）试题
一、选择题（每小题 5 分，共计 60 分） 1.设集合 A {x | x 2 7 x} ， B {x | 5 2 x 17} ，则 A B 中整数元素的个数为 （ ） A．3 B．4 C．5 D．6
x 2 2 cos , （ 为参数）， y 2sin ,
可设曲线 C 上的动点 P (2 2 cos , 2sin ) ，则点 P 到直线 l 的距离
d
| 2 2 cos 2sin 4 | | 2 cos( ) 2 | ， 当 cos( ) 1 时， d 取最大值， 2 4 4
2cos 2
BC sin2 A 1 . 2
（1）求 A ； （2） 设 a 2 3 2 ， ABC 的面积为 2，求 b c 的值. 19.(12 分)已知向量 a＝(2sin(ωx＋ 2π )，2)，b＝(2cosωx,0) (ω>0)，函数 f(x)＝a·b 3
的图象与直线 y＝－2＋ 3的相邻两个交点之间的距离为π. (1)求函数 f(x)在[0,2π]上的单调递增区间； (2)将函数 f(x)的图象向右平移 m](m>0) 上至少含有 10 个零点，求 m 的最小值． π 个单位，得到函数 y＝g(x)的图象．若 y＝g(x)在[0， 12
且 d 的最大值为 2 2 . 所以 S ABP
1 2 2 (2 2) 2 2 2 ， 2
即 ABP 的面积的最大值为 2 2 . 18.（12 分）解：（1）因为 2cos
2
BC sin2 A 1 ， 2
所以 1 cos B C sin2 A 1 ，所以 cos B C sin2 A 0 ， 所以 cosA 2sinAcosA 0 又因为 ABC 为锐角三角形，所以 sinA （2）因为 S
c 升，1 斗为 10 升；则下列判断正确的是（
A． a, b, c 依次成公比为 2 的等比数列，且 a
）
50 7 50 B． a, b, c 依次成公比为 2 的等比数列，且 c 7 1 50 C． a, b, c 依次成公比为 的等比数列，且 a 2 7 1 50 D． a, b, c 依次成公比为 的等比数列，且 c 2 7
2π )cosωx 3
19.(12 分)解 (1)函数 f(x)＝a·b＝4sin(ωx＋
3 1 ＝ [4×(－ )sinωx＋4× cosωx]cosωx 2 2 ＝ 2 3cos2ω x－ sin2ω x＝ 3，.................4 分 由题意得 T＝π，∴ 令 2kπ－π≤2x＋ ∴y＝2cos(2x＋ 2π π ＝π，∴ω＝1，故 f(x)＝2cos(2x＋ )＋ 3. 2ω 6 3(1＋ cos2ω x)－ sin2ω x＝ 2cos(2ω x＋ π )＋ 6
x x2＋1
(x>－2，a∈R)有最大值，则 f(x)∈B.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号) 三、解答题（写出必要的步骤或证明过程，只给出结论不得分）
2 t, x 4 2 17.（10 分）已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 2 y t 2
2.下面是关于复数 z 复数为 1 i ， A． p2 , p3
2 的四个命题: 1 i
p1 : z 2 ， p2 : z 2 2i ， p3 : z 的共轭
( D． p3 , p4 )
p4 : z 的虚部为 1 ，其中真命题为
B． p1 , p2 C． p2 , p4
3．“ 2k （k Z ) ”是“ cos
x
1 2
①该方程没有小于 0 的实数解； ②该方程有无数个实数解；
2
③该方程在 (, 0) 内有且只有一个实数根； ④若 x0 是方程的实数根，则 x0 1 . 其中正确结论的个数是（ A．1 B．2 C． 3 ） D． 4
10.在 ABC 中，
2 AB 2 AC 6, BA BC BA ，点 P 是 ABC 所在平面内一点，则
[165,180) 学生的人数，求 X 的分布列及数学期望.
21．（ 12 分）如图，四棱锥 ， ， ， 平面
的底面 . ； （
是平行四边形，
底面
，
（1）求证：平面 （2） 是侧棱 面
上一点，记
），是否存在实数 ，使平面
与平
所成的二面角为
？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
5
22. 已知函数 f x 2 ln x x 2 ax . （1）当 a 5 时，求 f x 的单调区间； （2）设函数 f x 有两个极值点 x1 , x2 , x1 x2 且 x2 e ,若 f x1 f x2 m 恒成立，求 实数 m 的取值范围.
π 7π π ≤2kπ(k∈Z)，得 kπ－ ≤x≤kπ－ (k∈Z)， 6 12 12
π 7π π )＋ 3的单调递增区间为[kπ－ ，kπ－ ](k∈Z)． 6 12 12 5π 11π ， ]． 12 12 17π 23π ， ]． 12 12 5π 11π 17π ， ]， [ ， 12 12 12
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 圆 C 的极坐标方程为 4 cos ， 直线 l 与圆 C 交于 A ，
B 两点.
（1）求圆 C 的直角坐标方程及弦 AB 的长； （2）动点 P 在圆 C 上（不与 A ， B 重合），试求 ABP 的面积的最大值.
18.（ 12 分 ） 在 锐 角 ABC 中 ， 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 是 a, b, c ， 且
1 ，所以 A=30 2
1 bcsinA 2 ，所以 bc 8 2
7
又因为 a 2 b 2 c 2 2bccosA ，所以 12 4 8 3 b 2 c 2 8 3 ，所以 b 2 c 2 16 ， 故b c
b c
2
b 2 c 2 2bc 4 2
6
参考答案（理科数学） 一、选择题 1-5 BCAAD 二、填空题 13、 6-10 DADCB 11--12 DD
1 2
14、
2 2
15.x-2y-1+ln2=0
16.④
17.解：（1）由 4 cos 得 2 4 cos ， 所以 x 2 y 2 4 x 0 ，所以圆 C 的直角坐标方程为 ( x 2) 2 y 2 4 . 将直线 l 的参数方程代入圆 C : ( x 2) 2 y 2 4 ，并整理得 t 2 2 2t 0 ， 解得 t1 0 ， t2 2 2 . 所以直线 l 被圆 C 截得的弦长为 | t1 t2 | 2 2 . （2）直线 l 的普通方程为 x y 4 0 . 圆 C 的参数方程为
14.已知 a ， b 为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足 c + a = (c + b) ( R ) ，则 | c | 的最小值为 ．
15.若直线 l 是曲线 y＝ex-2 的切线，也是曲线 y＝ex －1 的切线，则直线 l 的方程为________. 16.以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对 于函数 φ (x)， 存在一个正数 M， 使得函数 φ (x)的值域包含于区间 [－ M， M]． 例如， 当 φ 1( x ) ＝
当 k＝1 时，函数的单调递增区间为[ 当 k＝2 时，函数的单调递增区间为[
∴ 函 数 f(x)在 [0,2π ]上 的 单 调 递 增 区 间 为 [ 23π ]．.............8 分 12 (2)将函数 f(x)的图象向右平移 令 g(x)＝0，得 x＝kπ＋
4
20.某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校 700 名高一年级学生按性别进行分层 抽样检查，测得身高（单位： cm ）频数分布表如表 1、表 2. 表 1：男生身高频数分布表
表 2：女生身高频数分布表
（1）求该校高一女生的人数； （2）估计该校学生身高在 [165,180) 的概率； （3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出 1 人，设 X 表示身高在


4
, ) 上具有单调性。那么 的取值共有（ 4 3
B． 7 个 C． 8 个
） D． 9 个
12. 若存在两个正实数 x
，y ， 使得等式 3 x a 2 y 4ex ln y ln x 0 成立， 其中 e
） C. [
为自然对数的底数，则实数 a 的取值范围是（ A．
x3，φ2(x)＝sin x 时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：
①设函数 f(x)的定义域为 D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”； ②函数 f(x)∈B 的充要条件是 f(x)有最大值和最小值；
3
③若函数 f(x)，g(x)的定义域相同，且 f(x)∈A，g(x)∈B，则 f(x)＋g(x)∉B； ④若函数 f(x)＝aln(x＋2)＋
6.执行如图所示的程序框图，如果输入 a 3, b 2 ，那么输出 a 的值为 ( )
1
A. 16
B. 256
C. log 3 626
D. 6561 ）
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
A.
B.
C.
D.
8．已知平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 P 在△ COD 的内部（不含边界）．若

，0
3 ， ) 2e
（0 ， B．
3 ] 2e
3 ， ) 2空题（每小题 5 分，共计 20 分） 13.已知函数 f ( x) tan kx( k 0) 的最小正周期为

2
，则
sin 2
k k cos 2 12 12
.

4
2 ”的（ ） 2
A. 充分不必要条件 C. 充要条件 4.已知： a log sin1 cos 1 , b A． a b c
cos 2
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
, c log cos1 tan 1 ，则 a, b, c 的大小关系为（
C． b a c D． c b a
当 PA PB PC 取得最小值时， A. 9 B. 9 C.
2
2
2
AP BC
27 2
(
)
27 2
D.
11.已知函数 f ( x) 2 sin( x ) ( 0 ) 满足下面三个条件： f ( ) 2 ， f ( ) 0 ， 在 ( A． 6 个
AP x AB y AD ,则实数对（x，y）可以是（ ）
A. ,
1 2 3 3 3 1 5 5
B.
1 3 , 4 4 3 5 , 7 7
C. ,
D.
9.给定方程： ( ) sin x 1 0 ，给出下列 4 个结论：