考点01 集合-2020年领军高考数学一轮必刷题(江苏版)

考点01 集合
1、已知全集U ＝{1，3，5，7，9}，A ＝{1，5，9}，B ＝{3，5，9}，则∁U (A ∪B)的子集个数为___．
【★答案★】2
【解析】由题意得A ∪B ＝{1，3，5，9}，
所以∁U (A ∪B)＝{7}，
所以∁U (A ∪B)的子集个数为2.
2、已知集合A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，若A ∪B ＝{0，1，2，3}，则实数a 的值为__2__． 【★答案★】2
【解析】因为A ∪B ＝{0，1，2，3}，
A ＝{0，a}，
B ＝{0，1，3}，所以a ＝2.
3、设集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，若A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为__1__．
【★答案★】1
【解析】因为A ∩B ＝{3}，所以a ＋2＝3或a 2＋4＝3，解得a ＝1，此时B ＝{3，5}，符合题意，故实数a 的值为1.
4、已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x －1≤2}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1，2，…}的关系如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有____个．
【★答案★】2
【解析】由图可知，阴影部分表示的是M ∩N .由M ＝{x |－2≤x －1≤2}得M ＝{x |－1≤x ≤3}．集合N 表示的是正奇数集，所以M ∩N ＝{1，3}，所以阴影部分所示的集合中的元素共有2个．
5、设全集U ＝R ，M ＝{m |方程mx 2－x －1＝0有实数根}，N ＝{n |方程x 2－x ＋n ＝0有实数根}，则(∁U M )∩N ＝________.
【★答案★】{x |x <－14
} 【解析】当m ＝0时，x ＝－1，即0∈M ；
当m ≠0时，Δ＝1＋4m ≥0，
即m ≥－14
，且m ≠0， ∴m ≥－14
，
∴∁U M ＝{m |m <－14
}， 而对于N ，Δ＝1－4n ≥0，即n ≤14
， N ＝{n |n ≤14}，∴(∁U M )∩N ＝{x |x <－14
}． ★答案★：{x |x <－14
} 6、下面四个命题中，正确命题的序号为____．
①某班个子较高的同学构成集合A ；
②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；
③方程x 2－2x ＋1＝0的解集是{1，1}；
④∅与{∅}表示同一个集合．
【★答案★】②
【解析】①集合是指一定范围内某些确定的、不同的对象的全体，个子较高的同学不确定，所以①错误；②正确，集合中的元素具有无序性；③错误，集合中的元素具有互异性；④错误，∅表示不含任何元素的集合，{∅}表示集合中有一个元素∅，而不是空集．
7、设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题：①集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集．
其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
【★答案★】①②
【解析】由题意，①S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}，S 为复数集，若x 、y ∈S ，则x ＋y ，x －y 及xy 仍为复数，故①正确．
②若S 为封闭集，且存在元素x ∈S ，那么必有x －x ＝0∈S ，即一定有0∈S ，故②正确．
③因为{0}是封闭集，且是有限集，故③错误．
④举特例，若S ＝{0}，T ＝{0，i ，－i}，显然，T 中i·(－i)＝1∉T ，∴T 不是封闭集，故④错误． ★答案★：①②
8、设集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|132≤2－x ≤4，B ＝{x|x 2＋2mx －3m 2<0}，m>0. (1) 若m ＝2，求A ∩B ；
(2) 若A ⊇B ，求实数m 的取值范围．
【★答案★】(1) {x|－2≤x<2} (2) ⎝⎛⎦
⎤0，23 【解析】由题意得，集合A ＝{x|－2≤x ≤5}，
因为m>0，所以B ＝{x|－3m<x<m}．
(1) 当m ＝2时，B ＝{x|－6<x<2}，
所以A ∩B ＝{x|－2≤x<2}．
(2) A ＝{x|－2≤x ≤5}，B ＝{x|－3m<x<m}，
因为A ⊇B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3m ≥－2，m ≤5，
所以m ≤23，所以0<m ≤23
. 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎦
⎤0，23. 9、已知集合A ＝{x|－2≤x ≤7}，B ＝{x|m ＋1<x<2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．
【★答案★】{}m|m ≤4
【解析】当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.
当B ≠∅时，若B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，
解得2<m ≤4.
综上，m 的取值范围是{}m|m ≤4.
10、若集合A ＝{x|ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，求实数a 的值．
【★答案★】4
【解析】当a ＝0时，不合题意，舍去；
当a ≠0时，由题意得，Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4.
综上所述，a ＝4.
11、若集合A ＝{x|ax 2＋ax ＋1＝0}只有一个子集，求实数a 的取值范围．
【★答案★】[0，4)
【解析】由题意得，集合A 为空集．
①若a ＝0，符合题意；
②若a ≠0，则Δ＝a 2－4a<0，解得0<a<4.
综上，a 的取值范围是[0，4)．
12、已知函数f (x )＝6x ＋1
－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B . (1) 当m ＝3时，求A ∩∁R B ；
(2) 若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．
【★答案★】(1) A ∩∁R B ＝[3，5] (2)8
【解析】(1) 当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，
则∁R B ＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
又因为A ＝(－1，5]，
所以A ∩∁R B ＝[3，5]．
(2) 因为A ＝(－1，5]，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，所以4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根，
所以－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8.
此时集合B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．
因此实数m 的值为8.
13、已知集合A ＝{y|y ＝－2x ，x ∈[2，3]}，B ＝{x|x 2＋3x －a 2－3a>0}．
(1) 当a ＝4时，求A∩B ；
(2) 若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．
【★答案★】(1) [－8，－7) (2) (－4，1)
【解析】(1) 由题意得，A ＝[－8，－4]，
当a ＝4时，B ＝(－∞，－7)∪(4，＋∞)，
所以A∩B ＝[－8，－7)．
(2) 方程x 2＋3x －a 2－3a ＝0的两根分别为a ，－a －3.
①当a ＝－a －3，即a ＝－32
时， B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪(－32
，＋∞)，满足A ⊆B ； ②当a<－a －3，即a<－32
时， B ＝(－∞，a)∪(－a －3，＋∞)，
则a>－4或－a －3<－8，解得－4<a<－32
； ③当a>－a －3，即a>－32
时， B ＝(－∞，－a －3)∪(a ，＋∞)，
则a<－8或－a －3>－4，解得－32
<a<1. 综上所述，实数a 的取值范围是(－4，1)．
14、已知集合A ＝{x |6x ＋1
≥1，x ∈R}，B ＝{x |x 2－2x －m <0}， (1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；
(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．
【★答案★】(1){x |3≤x ≤5} (2) 8
【解析】由6x ＋1≥1，得x －5x ＋1
≤0.∴－1<x ≤5， ∴A ＝{x |－1<x ≤5}．
(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，
则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，
∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．
(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，
∴有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8.
此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.
15、已知集合A ＝{x|0<ax ＋1≤5}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|－12<x≤2. (1) 若A ⊆B ，求实数a 的取值范围；
(2) 若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；
(3) A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由．
【★答案★】(1) (－∞，－8)∪[2，＋∞) (2) ⎝⎛⎦
⎤－12，2 (3) 2 【解析】对于不等式0<ax ＋1≤5，
当a ＝0时，0<1<5恒成立，即x ∈R ，集合A ＝R ；
当a >0时，－1a <x ≤4a ，即集合A ＝{x |－1a <x ≤4a
}； 当a <0时，4a ≤x <－1a ，即集合A ＝{x |4a ≤x <－1a
}． (1) 若A 是B 的子集，则当a ＝0时，不满足题意；
当a >0时，需要满足⎩
⎨⎧－1a ≥－12，4a ≤2，解得a ≥2； 当a <0时，需要满足⎩⎨⎧4a >－12，
－1a ≤2，
解得a <－8. 综上所述，a 的取值范围是(－∞，－8)∪[2，＋∞)． (2) 若B 是A 的子集，则当a ＝0时，满足题意；
当a >0时，需要满足⎩
⎨⎧－1a ≤－12，4a ≥2，解得0<a ≤2； 当a <0时，需要满足⎩⎨⎧－1a >2，4a ≤－12
，解得－12<a <0. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦
⎤－12，2. (3) 当A ＝B 时，需满足A ⊆B 且B ⊆A ，即同时满足(1)和(2)，所以a ＝2.
16、设集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1，x ∈N *}，B ＝{(x ，y )|y ＝ax 2－ax ＋a ，x ∈N *}，问是否存在非零整数a ，使A ∩B ≠∅？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由．
【★答案★】见解析
【解析】假设A ∩B ≠∅，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x －1y ＝ax 2－ax ＋a 有正整数解，消去y ，得ax 2－(a ＋2)x ＋a ＋1＝0(*)． 由Δ≥0，有(a ＋2)2－4a (a ＋1)≥0，解得－233≤a ≤233
.∵a 为非零整数， ∴a ＝±1，
当a ＝－1时，代入(*)，解得x ＝0或x ＝－1，而x ∈N *.故a ≠－1.
当a ＝1时，代入(*)，解得x ＝1或x ＝2，符合题意．
故存在a ＝1，使得A ∩B ≠∅，
此时A ∩B ＝{(1,1)，(2,3)}．
17、对于函数f (x )，若f (x )＝x ，则称x 为f (x )的“不动点”，若f (f (x ))＝x ，则称x 为f (x )的“稳定点”，函数f (x )的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即A ＝{x |f (x )＝x }，B ＝{x |f (f (x ))＝x }．
(1)求证：A ⊆B .
(2)若f (x )＝ax 2－1(a ∈R ，x ∈R)，且A ＝B ≠∅，求实数a 的取值范围．
【★答案★】(1) 见解析 (2) [－14，34
] 【解析】(1)证明：若A ＝∅，则A ⊆B 显然成立；
若A ≠∅，设t ∈A ，则f (t )＝t ，f (f (t ))＝f (t )＝t ，
即t ∈B ，从而A ⊆B .
(2)A 中元素是方程f (x )＝x ，即ax 2－1＝x 的实根．
由A ≠∅，知a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
a ≠0，Δ＝1＋4a ≥0即a ≥－14， B 中元素是方程a (ax 2－1)2－1＝x ，
即a 3x 4－2a 2x 2－x ＋a －1＝0的实根，
由A ⊆B ，知上述方程左边含有一个因式ax 2－x －1，
即方程可化为(ax 2－x －1)(a 2x 2＋ax －a ＋1)＝0.
因此，若要A ＝B ，即要方程①a 2x 2＋ax －a ＋1＝0 要么没有实根，要么实根是方程②ax 2－x －1＝0的根．
若①没有实根，则Δ＝a 2－4a 2(1－a )<0，由此解得a <34
. 若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有a 2x 2＝ax ＋a ，代入①有2ax ＋1＝0.
由此解得x ＝－12a ，再代入②得14a ＋12a
－1＝0， 由此解得a ＝34
. 故a 的取值范围是[－14，34
]．
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