深圳新安振华学校九年级数学上册第一单元《一元二次方程》检测(包含答案解析)

一、选择题
1．方程22(1)10m x -+-=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠±l B ．m≥-l 且m≠1 C ．m≥-l
D ．m ＞-1且m≠1
2．用配方法转化方程2
210x x +-=时，结果正确的是（ ）
A ．2
(1)
2x += B ．2
(1)2x -= C ．2(2)3x += D ．2(1)3x += 3．用配方法解方程x 2﹣4x ﹣7＝0，可变形为（ ） A ．（x+2）2＝3
B ．（x+2）2＝11
C ．（x ﹣2）2＝3
D ．（x ﹣2）2＝11
4．用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ） A ．x 2﹣2x ﹣99＝0化为（x ﹣1）2＝100 B ．x 2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25
C ．2x 2﹣7x ﹣4＝0化为（x ﹣
74）2＝8116
D ．3x 2﹣4x ﹣2＝0化为（x ﹣23
）2＝10
9
5．若关于x 的方程kx²+4x-1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k-4且k≠0
B ．k≥-4
C ．k>-4且k≠0
D ．k>-4
6．已知一元二次方程2210x x --＝的两个根分别是1x ，2x ，则2
112x x x -+的值为
（ ）． A ．-1
B ．0
C ．2
D ．3
7．关于x 的一元二次方程()2
541
0a x x ---＝有实数根，则a 满足（ ）． A ．5a ≠
B ．1a ≥且5a ≠
C ．1a ≥
D ．1a <且5a ≠
8．方程()55x x x +=+的根为（ ） A ．15=x ，25x =- B ．11x =，25x =- C ．0x =
D ．125x x ==-
9．不解方程，判断方程23620x x --=的根的情况是（ ） A ．无实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．以上说法都不正确
10．《代数学》中记载，形如2833x x +=的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x 的矩形，得到大正方形的面积为331649+=，则该方程的正数解为743-=．”小聪按此方法解关于x 的方程2100x x m ++=时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（ ）．
A ．6
B ．3532
C ．532
D ．535
11．一元二次方程x 2﹣4x ﹣1＝0配方后正确的是（ ） A ．(x ﹣2)2＝1
B ．(x ﹣2)2＝5
C ．(x ﹣4)2＝1
D ．(x ﹣4)2＝5
12．实数,m n 分别满足方程2199910m m ++=和219990n n ++=，且1mn ≠，求代数式
41
mn m n
++的值（ ） A ．5-
B ．5
C ．103
19
-
D ．
103
19
二、填空题
13．生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出多少个小分支？设这种植物每个支干长出x 个小分支，可列方程___________．
14．把方程2230x x --=化为2()x h k +=的形式来求解的方法我们叫配方法，其中h ，k 为常数，那么本题中h k +的值是_________．
15．当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．
16．将一元二次方程(32)(1)83x x x -+=-化成一般形式是_____． 17．已知方程22610x x -+=的两根为12,x x ，则2212x x +=_______．
18．某农场的粮食产量在两年内从增加3000t 到3630,t 则平均每年增产的百分率是______________．
19．已知x ＝2是关于x 一元二次方程x 2+kx ﹣6＝0的一个根，则另一根是_____． 20．已知a 2+1＝3a ，b 2+1＝3b ，且a ≠b ，则
11
a b
+＝_____． 三、解答题
21．商店销售某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售200件；售价每增加2元，销售量将减少20件．如果这种商品全部销售完，该商店可盈利2250元，那么该商品每件售价多少元？ 22．用配方法解方程：22510x x -+=
23．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
24．已知关于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
（2）若此方程有两个根x1，x2，且x12+x22＝8，求k的值．
25．某水果超市以每千克20元的价格购进一批大枣，规定每千克大枣的售价不低于进价又不高于40元．经市场调查发现：大枣的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
每千克售价x（元）…253035…
日销售量y（千克）…11010090…
（2）该水果超市想要获利1000元的日销售利润，每千克大枣的售价应定为多少元? 26．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），若苗圃园的面积为72平方米．求这个苗圃园垂直于墙的一边长为多少米？
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件求解可得．
【详解】
∵方程22
-++-=是关于x的一元二次方程，
m x m x
(1)110
∴210
m-≠，
解得1m ≠±，
10m +≥， 解得：1m ≥-， ∴1m >-且1m ≠， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．A
解析：A 【分析】
方程两边都加上一次项系数的一半，利用完全平方公式进行转化，即可得到答案． 【详解】 解：2
210x
x +-=
2212x x ++=
∴
2(1)2x +=，
故选：A ． 【点睛】
此题考查一元二次方程的配方法，掌握配方法是计算方法是解题的关键．
3．D
解析：D 【分析】
方程常数项移到右边，两边加上4变形得到结果即可． 【详解】
解：x 2﹣4x ﹣7＝0， 移项得：247x x -=
配方得：24474x x -+=+ ，即2()211x -= 故答案为：D ． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
4．B
解析：B 【分析】
将常数项移到方程的右边，然后将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】
解：A 、由x 2﹣2x ﹣99＝0得x 2﹣2x=99，则x 2﹣2x+1=100，即（x ﹣1）2＝100，故本选项
正确，不符合题意；
B、由x2+8x+9＝0得x2+8x=-9，则x2+8x+16=-9+16即（x+4）2＝7此选项错误，符合题意；
C、由2x2﹣7x﹣4＝0得2x2﹣7x=4，则x2﹣7
2
x＝2，∴x2﹣
7
2
x+
49
16
＝2+
49
16
，即
2
7
4
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
＝81
16
，故本选项正确，不符合题意；
D、由3x2﹣4x﹣2＝0，得3x2﹣4x=2，则x2﹣4
3
x＝
2
3
，∴故x2﹣
4
3
x+
4
9
＝
2
3
+
4
9
，即（x
﹣2
3
）2＝
10
9
，故本选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程−配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为a2x＋bx＋c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
5．B
解析：B
【分析】
分k=0和k≠0两种情况考虑，当k=0时可以找出方程有一个实数根；当k≠0时，根据方程有实数根结合根的判别式可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出k的取值范围．结合上面两者情况即可得出结论．
【详解】
解：当k=0时，原方程为-4x+1=0，
解得：x=1
4
，
∴k=0符合题意；
当k≠0时，
∵方程kx2-4x-1=0有实数根，
∴△=（-4）2+4k≥0，
解得：k≥-4且k≠0．
综上可知：k的取值范围是k≥-4．
故选：B．
【点睛】
本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实
数根．
6．D
解析：D 【分析】
分别根据一元二次方程的根的意义和一元二次方程根与系数的关系分别得到
21112210,2x x x x --=+=，变形代入求值即可得到答案．
【详解】
解：由题意得2
1112210,
2x x x x --=+=，即21121x x -=，
∴原式2
11122123x x x x =-++=+=． 故选：D ． 【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解的根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解答此题的关键．
7．B
解析：B 【分析】
由方程有实数根可知根的判别式b 2-4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a 一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】 解：由已知得：
()()()2
50
44510
a a -≠⎧⎪⎨--⨯-⨯-≥⎪⎩， 解得：a≥1且a≠5． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．
8．B
解析：B 【分析】
根据因式分解法解方程即可； 【详解】
()55x x x +=+， ()()550+-+=x x x ，
()()510x x +-=，
11x =，25x =-；
故答案选B ． 【点睛】
本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键．
9．C
解析：C 【分析】
根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=60＞0，由此即可得出结论． 【详解】
解：∵在方程23620x x --=中，△=（-6）2-4×3×（2）=60＞0， ∴方程23620x x --=有两个不相等的实数根． 故选： C 【点睛】
本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＞0时方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
10．D
解析：D 【分析】
仿照题目中的做法可得空白部分小正方形的边长为
5
2
，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可． 【详解】
解：如图2，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积
为52x 的矩形，得到大正方形的面积为2
55045025752⎛⎫+⨯=+= ⎪⎝⎭
，
∴5
252
⨯=．
故选：D ． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的几何解法，读懂题意并数形结合是解题的关键．
11．B
解析：B 【分析】
根据一元二次方程的配方法即可求出答案． 【详解】 解：x 2﹣4x ﹣1＝0 x 2-4x=1
x 2-4x+4=1+4 （x-2）2=5， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法，解题的关键是会用配方法解答方程．
12．A
解析：A 【分析】
由219990n n ++=可得2
11199910n n
⋅+⋅+=，进而可得1
,m n 是方程2199910x x ++=的两个根，然后根据一元二次方程的根与系数的关系可求解． 【详解】
解：由219990n n ++=可得211199910n n
⋅+⋅+=， ∴1
,
m n
是方程2199910x x ++=的两个根， ∴19911,1919
m m n n +=-⋅=， ∴
411991
4451919
mn m m m n n n ++=+⋅+=-+⨯=-； 故选A ． 【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
二、填空题
13．1+x+x2=91【分析】如果设每个支干分出x 个小分支根据每个支干又长出同样数目的小分支可知：支干的数量为x 个小分支的数量为x•x=x2个然后根据主干支干和小分支的总数是91就可以列出方程【详解】解
解析：1+x+x 2=91 【分析】
如果设每个支干分出x 个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x 个，小分支的数量为x•x=x 2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程． 【详解】
解：依题意得支干的数量为x 个， 小分支的数量为x•x=x 2个，
那么根据题意可列出方程为：1+x+x 2=91，
故答案为：1+x+x 2=91． 【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
14．3【分析】首先把常数项移到等号右边经配方h 和k 即可求得进而通过计算即可得到答案【详解】根据题意移项得配方得：即∴∴故答案是：3【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法
解析：3 【分析】
首先把常数项移到等号右边，经配方，h 和k 即可求得，进而通过计算即可得到答案． 【详解】
根据题意，移项得223x x -=，
配方得：22131x x -+=+，即2
(1)4x -=， ∴1h =-，4k = ∴143h k +=-+= 故答案是：3． 【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法的性质，从而完成求解．
15．4315【分析】利用配方法将多项式转化为然后利用非负数的性质进行解答【详解】解：===∴当a=4b=3时多项式有最小值15故答案为：4315【点睛】此题考查了配方法的应用以及非负数的性质熟练掌握完全
解析：4 3 15 【分析】
利用配方法将多项式22222425a ab b a b -+--+转化为2
2
(1)(3)15a b b --+-+，然后利用非负数的性质进行解答． 【详解】
解：22222425a ab b a b -+--+
=22222691152b a a b b b a b --+-+++++ =2222(1)(1)(3)15a a b b b -++-+++ =22(1)(3)15a b b --+-+
∴当a=4，b=3时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值15． 故答案为：4，3，15． 【点睛】
此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16．【分析】先计算多项式乘以多项式并移项再合并同类项即可【详解】故答
案为：【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式掌握多项式乘以多项式合并同类项计算法则是解题的关键 解析：23710x x -+=
【分析】
先计算多项式乘以多项式，并移项，再合并同类项即可． 【详解】
(32)(1)83x x x -+=-
23322830x x x x +---+=
23710x x -+=
故答案为：23710x x -+=． 【点睛】
此题考查一元二次方程的一般形式，掌握多项式乘以多项式，合并同类项计算法则是解题的关键．
17．8【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可列出两根之和及两根之积的值再对其进行变形即可求解【详解】由题可得：∴故答案为：8【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系进行变形求值熟记结论且灵活变形是解
解析：8 【分析】
利用一元二次方程根与系数的关系，可列出两根之和及两根之积的值，再对其进行变形即可求解． 【详解】
由题可得：1212132
x x x x +==
，， ∴()2
2
2
2
1212121
2329182
x x x x x x +=+-=-⨯=-=， 故答案为：8． 【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系进行变形求值，熟记结论且灵活变形是解题关键．
18．【分析】此题是平均增长率问题一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）参照本题如果设平均每年增产的百分率为x 根据粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨即可得出方程求解【详解】解：设平均每年增 解析：10%
【分析】
此题是平均增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设平均每年增产的百分率为x ，根据“粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨”，即可得出方程求解． 【详解】
解：设平均每年增产的百分率为x ；
第一年粮食的产量为：3000（1+x ）；
第二年粮食的产量为：3000（1+x ）（1+x ）=3000（1+x ）2；
依题意，可列方程：3000（1+x ）2=3630；
解得：x=-2.1（舍去）或x=0.1=10%
故答案为：10%．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ． 19．-3【分析】设方程的另一个根为x2根据两根之积列出关于x2的方程解之可得答案【详解】解：设方程的另一个根为x2则2x2＝﹣6解得x2＝﹣3故答案为：﹣3【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c
解析：-3．
【分析】
设方程的另一个根为x 2，根据两根之积列出关于x 2的方程，解之可得答案．
【详解】
解：设方程的另一个根为x 2，
则2x 2＝﹣6，
解得x 2＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12b x x a +=-，12c x x a
⋅=． 20．【分析】根据一元二次方程根的定义得到ab 是一元二次方程的两根得到a 和b 的和与积再把两根和与两根积求出代入所求的式子中即可求出结果【详解】解：∵a2+1＝3ab2+1＝3b 且a≠b ∴ab 是一元二次方程
解析：3
【分析】
根据一元二次方程根的定义得到a 、b 是一元二次方程的两根，得到a 和b 的和与积，再把两根和与两根积求出，代入所求的式子中即可求出结果．
【详解】
解：∵a 2+1＝3a ，b 2+1＝3b ，且a ≠b
∴a ，b 是一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的两个根，
∴由韦达定理得：a +b ＝3，ab ＝1， ∴
113a b a b ab
++==． 故答案为：3．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的定义、分式的通分，对一元二次方程根的定义的理解是解题的关键．
三、解答题
21．每件售价为45元
【分析】
设该商品的单价为x 元，根据题意得到方程，解方程即可求解．
【详解】
解：设该商品的单价为x 元．
根据题意，得()()3020010402250---=⎡⎤⎣⎦x x ．
解这个方程，得1245x x ==．
答：每件售价为45元．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据利润得到相应的等量关系是解题的关键．
22．1544x =
+，2544x =- 【分析】
依据配方法的基本步骤解方程即可．
【详解】
解：22510x x -+=，
系数化为1得：251022x x -
+=， 配方得：2255251()024162
x x -+--+=， 即：25
17()416
x -=，
两边同时开平方得：54x -
=，
即1544x =+，2544
x =-． 【点睛】
本题考查配方法解一元二次方程．配方法的关键步骤在于配完全平方公式，此步需熟练掌握完全平方公式及各部分之间的关系．
23．（1）口罩日产量的月平均增长率为10%；（2）预计4月份平均日产量为39930个．
【分析】
（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x ，根据题意列出方程即可求解；
（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为36300个，即可预计4月份平均日产量．
【详解】
（1）设口罩日产量的月平均增长率为x ，
根据题意，得30000（1＋x ）2＝36300，
解得x 1＝−2.1（舍去），x 2＝0.1＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%；
（2）36300（1＋10%）＝39930（个）．
答：预计4月份平均日产量为39930个．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关系． 24．（1）见解析；（2）-1或
13 【分析】
（1）根据方程kx 2﹣（3k ﹣1）x +2（k ﹣1）＝0计算判别式的值得到△＝（k ＋1）2≥0，即可证明结论；
（2）利用根与系数的关系得到x 1+x 2＝
31k k -，x 1x 2＝()21k k -，再根据x 12+x 22＝8得出（31k k -）2﹣2•()21k k
-＝8，解此方程即可求解． 【详解】
（1）证明：关于x 的方程kx 2﹣（3k ﹣1）x +2（k ﹣1）＝0中，
∵a ＝k ，b ＝﹣（3k ﹣1），c ＝2（k ﹣1），
△()()2
31421k k k ⋅⋅=-﹣- 2296188k k k k ++=--
221k k =++
2(1)k =+，
∴无论k 为任何实数，△0≥．
∴无论k 为任何实数，方程总有实数根；
（2）解：根据题意得x 1+x 2＝
31k k -，x 1x 2＝()21k k -， ∵x 12+x 22＝8，
∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝8，
∴（31k k -）2﹣2•()21k k
-＝8， 整理得3k 2+2k ﹣1＝0，解得k 1＝13
，k 2＝﹣1，
经检验k 1＝
13
，k 2＝﹣1为原方程的解， ∵k ≠0， ∴k 的值为﹣1或
13． 【点睛】
本题考查了根的判别式及根与系数关系，掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
25．（1）2160y x =-+；（2）商贸公司该水果超市想要获利1000元的日销售利润，每千克大枣的售价应定为30元．
【分析】
（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据总利润=每千克利润×数量列方程求解即可．
【详解】
解：（1）设一次函数解析式为：y kx b =+，将：()25,110；()30,100代入，得 ∴2511030100k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：2160
k b =-⎧⎨=⎩， ∴一次函数解析式为：2160y x =-+；，
（2）由题意得：()()2021601000x x --+=
整理得：210021000x x -+=，
解得130x =，270x =（不合题意，舍去），
即商贸公司该水果超市想要获利1000元的日销售利润，每千克大枣的售价应定为30元．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，列出方程式解（2）的关键．
26．这个苗圃园垂直于墙的一边长为12米．
【分析】
设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米，利用长方形面积公式列方程求解，再根据靠墙边的长度范围确定取值即可．
【详解】
设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米，根据题意得：
()30272x x -=
解得：13x =，212x =，
∵30218x -≤，
∴6x ≥，
∴12x =．
答：这个苗圃园垂直于墙的一边长为12米．
【点睛】
本题考查了长方形的周长公式的运用，长方形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据长方形的面积公式建立方程是关键，注意实际应用中的取值范围．。