高考数学一轮复习讲义4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

ω 2．函数 y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是什么？ 提示 x＝kπ＋ π －φ(k∈Z)．
ω 2ω ω
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin
x－π 4 的图象是由 y＝sin
x＋π 4
的图象向右平移π个单位长度得到的．(
√
)
2
(2) 将 函 数 y ＝ sin ωx 的 图 象 向 右 平 移 φ(φ>0) 个 单 位 长 度 ， 得 到 函 数 y ＝ sin(ωx － φ) 的 图
如下表所示：
x ωx＋φ
0－φ ω
0
π－φ 2
ω
π 2
π－φ ω
π
3π－φ 2
ω
3π 2
2π－φ ω
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.函数 y＝sin x 的图象经变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
概念方法微思考 1．怎样从 y＝sin ωx 的图象变换得到 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象？ 提示 向左平移φ个单位长度．
解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为 2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距
离为 π2＋4.
π 8．(2018·沈阳质检)若函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则 f 4
的值为________．
答案 3
解析 由题干图象可知 A＝2，3T＝11π－π＝3π， 4 12 6 4
8
4
πx＋3π 所以 y＝10sin 8 4 ＋20，x∈[6,14]．
题组三 易错自纠
4x＋π
5．要得到函数 y＝sin
3 的图象，只需将函数 y＝sin 4x 的图象( )
A．向左平移 π 个单位长度 12
B．向右平移 π 个单位长度 12
C．向左平移π个单位长度 3
D．向右平移π个单位长度 3
§4.4 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
最新考纲
考情考向分析
以考查函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的五
1.了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出 点法画图、图象之间的平移伸缩变换、
y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
由图象求函数解析式以及利用正弦型函
数解决实际问题为主，常与三角函数的 2.了解参数 A，ω，φ对函数图象变化的影响． 3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三 性质、三角恒等变换结合起来进行综合
解析
函数 y＝2sin
2x＋π 6 的周期为π，将函数 y＝2sin
2x＋π 6
的图象向右平移1个周期，即π
4
4
个单位长度，所得函数为
y＝2sin
2
x－π 4
＋π 6
＝2sin
2x－π 3
.
7．(2018·乌海模拟)y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________．
答案 π2＋4
引申探究
在本例条件下，若将函数 f(x)的图象向右平移 m(m>0)个单位长度后得到函数 y＝g(x)的图象，
∴T＝π，∴ω＝2，∵当 x＝π时，函数 f(x)取得最大值， 6
∴2×π＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝π＋2kπ(k∈Z)，
6
2
6
又
0<φ<π，∴φ＝π，∴f(x)＝2sin
2x＋π 6
，
6
则f
π 4
＝2sin
π＋π 26
＝2cos
π＝
3.
6
题型一 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例 1 (2018·丹东模拟)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)
象．( × )
(3)函数 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 T.( √ ) 2 (4)函数 y＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1，所得图象对应的函数解析
2 式为 y＝sin 1x.( × )
2 题组二 教材改编
2x－π
2．为了得到函数 y＝2sin
πx＋3π 答案 y＝10sin 8 4 ＋20，x∈[6,14]
解析 从题图中可以看出，从 6～14 时的是函数
y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的半个周期，
所以 A＝1×(30－10)＝10， 2
b＝1×(30＋10)＝20， 2
又1×2π＝14－6， 2ωφ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝3π，
角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
考查，加强数形结合思想的应用意识．题
型为选择题和填空题，中档难度.
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R
振幅 A
周期 T＝2π
ω
频率 f＝1＝ ω
T 2π
相位 ωx＋φ
初相 φ
2.用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点
3 的图象，可以将函数 y＝2sin 2x 的图象向________平移
________个单位长度．
答案 右 π 6
1x－π 3．y＝2sin 2 3 的振幅、频率和初相分别为__________________．
答案 2，1 ，－π 4π 3
4．如图，某地一天从 6～14 时的温度变化曲线近似满足函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲 线的函数解析式为__________________________．
A>0，ω>0，－π<φ<π 22
的最小正周期是π，且
当 x＝π时，f(x)取得最大值 2. 6
(1)求 f(x)的解析式；
(2)作出 f(x)在[0，π]上的图象(要列表)．
解 (1)因为函数 f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.
又因为当 x＝π时，f(x)取得最大值 2. 6
所以 A＝2，
同时 2×π＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，
6
2
φ＝2kπ＋π，k∈Z， 6
因为－π<φ<π，所以φ＝π，
22
6
2x＋π 所以 f(x)＝2sin 6 .
(2)因为
x∈[0，π]，所以
2x＋π∈
π，13π 66
，
6
列表如下：
2x＋π
π
π
662
π
3π 2
2π
13π 6
x
0
π 6
5π 12
2π 3
11π 12
π
f(x)
12
0 －2
0
1
描点、连线得图象：
答案 A
4x＋π
x＋ π
解析 ∵y＝sin 3 ＝sin 4 12 ，
∴要得到 y＝sin
4x＋π 3
的图象，只需将函数
y＝sin
4x
的图象向左平移
π
个单位长度．
12
6．将函数 y＝2sin
2x＋π 6
的图象向右平移1个周期后，所得图象对应的函数为_____________． 4
答案
2x－π y＝2sin 3