2018-2019学年重庆市渝中区九年级(上)期末数学试卷

2018-2019学年重庆市渝中区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卷上将对应题目的正确答案标号涂黑
1．（4分）下列各点中，在反比例函数y＝图象上的点是（）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（2，2）
2．（4分）正八边形的中心角为（）
A．45°B．60°C．80°D．90°
3．（4分）下列四个图形中，不是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
4．（4分）下列事件属于随机事件的是（）
A．旭日东升B．刻舟求剑C．拔苗助长D．守株待兔
5．（4分）判断一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
6．（4分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，连接AD，若∠BAC＝26°，则∠ADE的度数为（）
A．13°B．19°C．26°D．29°
7．（4分）二次函数y＝x2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，所得抛物线的函数表达式是（）A．y＝2+3B．y＝2+3
C．y＝2﹣3D．y＝2﹣3
8．（4分）下列命题正确的是（）
A．三点确定一个圆
B．圆中平分弦的直径必垂直于弦
C．矩形一定有外接圆
D．三角形的内心是三角形三条中线的交点
9．（4分）表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值：那么方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（）
A．1.08B．1.18C．1.28D．1.38
10．（4分）已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（）
A．函数的图象经过点（﹣1，3）
B．当x＜0时，y随x的增大而增大
C．当x＞﹣1时，y＞3
D．函数的图象分别位于第二、四象限
11．（4分）某楼盘准备以每平方米16000元的均价对外销售，由于受有关房地产的新政策影响，购房者持币观望．开发商为促进销售，对价格进行了连续两次下调，结果以每平方米14440元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率为（）
A．5%B．8%C．10%D．11%
12．（4分）如图，将小正方形AEFG绕大正方形ABCD的顶点A顺时针旋转一定的角度α（其中0°≤α≤90°），连接BG、DE相交于点O，再连接AO、BE、DG．王凯同学在探究该图形的变化时，提出了四个结论：
①BG＝DE；②BG⊥DE；③∠DOA＝∠GOA；④S△ADG＝S△ABE
其中结论正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将答案直接写在答题卷中对应的横线上
13．（4分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是．
14．（4分）请写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为2，﹣2，这个方程可以是．
15．（4分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，若∠OBA＝55°，则∠ACB＝．
16．（4分）已知正方形ABCD的边长为，分别以B、D为圆心，以正方形的边长为半径在正方形内画弧，得到如图所示的阴影部分，若随机向正方形ABCD内投掷一颗石子，则石子落在阴影部分的概率为．（结果保留π）
17．（4分）如图，直线y＝x+4与双曲线y＝（k≠0）相交于A（﹣1，a）、B两点，在y轴上找一点P，当P A+PB 的值最小时，点P的坐标为．
18．（4分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2，在飞机着陆滑行中，最后2s滑行的距离是m．
三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）请将解答过程写在答题卷中对的位置上
19．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣3＝0；
（2）5x（x﹣3）＝x﹣3．
20．（8分）作出函数y＝2x2的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）列表：
（2）在下面给出的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，描出列表中的各点，并画出函数y＝2x2的图象：（3）观察所画函数的图象，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是
（直接写出结论）．
四、解答题（本大题6个小题，21～25题每小题10分，26题12分，共62分）请将解答过程写在答题卷中对应的位置上，
21．（10分）在一个不透明的盒子里装有4个分别标有：﹣1、﹣2、0、1的小球，它们的形状、大小完全相同，小芳从盒子中随机取出一个小球，记下数字为x，作为点M的横坐标：小华在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，作为点M的纵坐标．
（1）用画树状图或列表的方式，写出点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y＝的图象上的概率．
22．（10分）如图，直线AC与⊙O相切于点A，点B为⊙O上一点，且OC⊥OB于点O，连接AB交OC于点D．（1）求证：AC＝CD；
（2）若AC＝3，OB＝4，求OD的长度．
23．（10分）如图，点A（1，m2）、点B（2，m﹣1）是函数y＝（其中x＞0）图象上的两点．（1）求点A、点B的坐标及函数的解析式；
（2）连接OA、OB、AB，求△AOB的面积．
24．（10分）为了响应国家“大众创业、万众创新”的双创政策，大学生小王与同学合伙向市政府申请了10万元的无息创业贷款，他们用这笔贷款，注册了一家网店，招收了6名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为3500元，该网店每月还需支付其它费用0.9万元．开工后的第一个月，小王他们将该电子产品的销售单价定为6元，结果当月销售了1.8万件．
（1）小王他们第一个月可以偿还多少万元的无息贷款？
（2）从第二个月开始，他们打算上调该电子产品的销售单价，经过市场调研他们得出：如果单价每上涨1元，月销售量将在现有基础上减少1000件，且物价局规定该电子产品的销售单价不得超过成本价的250%．小王他们计划在第二个月偿还3.4万元的无息贷款，他们应该将该电子产品的销售单价定为多少元？
25．（10分）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为边AB上一点，连接CD，在线段CD上取一点E，以AE为直角边作等腰直角△AEF，使∠EAF＝90°，连接BF交CD的延长线于点P．
（1）探索：CE与BF有何数量关系和位置关系？并说明理由；
（2）如图2，若AB＝2，AE＝1，把△AEF绕点A顺时针旋转至△AE'F′，当∠E′AC＝60°时，求BF′的长．
26．（12分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．
（1）求B、D两点的坐标；
（2）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，设F为y轴一动点，当线段PM长度最大时，求PH+HF+CF的最小值；
（3）在第（2）问中，当PH+HF+CF取得最小值时，将△OHF绕点O顺时针旋转60°后得到△OH′F′，过点F′作OF′的垂线与x轴交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使得点D、Q、R、S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．
2018-2019学年重庆市渝中区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卷上将对应题目的正确答案标号涂黑
1．【解答】解：∵﹣1×2＝﹣2，2×（﹣1）＝﹣2，2×2＝4，﹣1×（﹣2）＝2，
∴点（﹣1，﹣2）在反比例函数y＝图象上的点．
故选：B．
2．【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8＝45°；
故选：A．
3．【解答】解：解：A、是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
4．【解答】解：A、旭日东升是必然事件；
B、刻舟求剑是不可能事件；
C、拔苗助长是不可能事件；
D、守株待兔是随机事件；
故选：D．
5．【解答】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
6．【解答】解：∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，
∴AC＝CD，∠CDE＝∠BAC＝26°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°，
∴∠ADE＝∠CED﹣∠CAD＝45°﹣26°＝19°．
故选：B．
7．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，那么新抛物线的顶点为（﹣1，﹣3）．可设新抛物线的解析式为：y＝（x﹣h）2+k，代入得：y＝2﹣3．
故选：D．
8．【解答】解：A、不在一条直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；
B、圆中平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，原命题是假命题；
C、矩形一定有外接圆，是真命题；
D、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，原命题是假命题；
故选：C．
9．【解答】解：∵x＝1.1时，y＝ax2+bx+c＝﹣0.49；x＝1.2时，y＝ax2+bx+c＝0.04；
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1.1，0）和点（1.2，0）之间，更靠近点（1.2，0），
∴方程ax2+bx+c＝0有一个根约为1.2．
故选：B．
10．【解答】解：A、图象必经过点（﹣1，3），说法正确，不合题意；
B、k＝﹣3＜0，当x＜0，y随x的增大而增大，说法正确，不符合题意；
C、当x＞﹣1时，y＞3或y＜0，说法错误，符合题意；
D、k＝﹣3＜0，函数的图象分别位于第二、四象限，说法正确，不符合题意；
故选：C．
11．【解答】解：设平均每次下调的百分率为x，
依题意，得：16000（1﹣x）2＝14440，
解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）．
故选：A．
12．【解答】解：∵∠DAB＝∠EAG＝90°，
∴∠DAE＝∠BAG，且AD＝AB，AG＝AE，
∴△DAE≌△BAG（SAS）
∴BG＝DE，∠ADE＝∠ABG，故①符合题意，
如图，设点DE与AB交于点P，过点A作AM⊥DE，AN⊥BG，
∵∠ADE＝∠ABG，∠DP A＝∠BPO，
∴∠DAP＝∠BOP＝90°，
∴BG⊥DE，故②符合题意，
∵△DAE≌△BAG，
∴S△DAE＝S△BAG，
∴DE×AM＝×BG×AN，且DE＝BG，
∴AM＝AN，且AM⊥DE，AN⊥BG，
∴AO平分∠DOG，
∴∠AOD＝∠AOG，故③符合题意，
如图2，过点G作GH⊥AD，过点E作EQ⊥EQ，
∴∠EAQ+∠AEQ＝90°，且∠EAQ+∠GAQ＝90°，
∴∠AEQ＝∠GAQ，且AE＝AG，∠EQA＝∠AHG＝90°，∴△AEQ≌△GAH（AAS）
∴AQ＝GH，
∴AD×GH＝×AB×AQ，
∴S△ADG＝S△ABE，
故④符合题意，
故选：D．
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将答案直接写在答题卷中对应的横线上13．【解答】解：点P（3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，5），
故答案为：（﹣3，5）．
14．【解答】解：设方程x2﹣mx+n＝0的两根是2，﹣2，
∴2+（﹣2）＝m，
2×（﹣2）＝n，
∴m＝0，n＝﹣4，
∴该方程为x2﹣4＝0，
故答案为：x2﹣4＝0
15．【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝55°，
∴∠AOB＝180°﹣55°×2＝70°，
∴∠ACB＝∠AOB＝35°．
故答案为：35°．
16．【解答】解：如图所示：扇形ABC中空白面积为：（）2﹣＝2﹣，故正方形中空白面积为：2（2﹣）＝4﹣π，
则阴影部分面积为：2﹣（4﹣π）＝π﹣2，
故随机向正方形ABCD内投掷一颗石子，则石子落在阴影部分的概率为：．
故答案为：．
17．【解答】解：把点A坐标代入y＝x+4得，
﹣1+4＝a，
a＝3，
即A（﹣1，3），
把点A坐标代入双曲线的解析式：3＝﹣k，
解得：k＝﹣3，
联立两函数解析式得：，
解得：，，
即点B坐标为：（﹣3，1），
作出点A关于y轴的对称点C，连接BC，与y轴的交点即为点P，使得P A+PB的值最小，则点C坐标为：（1，3），
设直线BC的解析式为：y＝ax+b，
把B、C的坐标代入得：，
解得：，
函数解析式为：y＝x+，
则与y轴的交点为：（0，）．
故答案为：（0，）．
18．【解答】解：当y取得最大值时，飞机停下来，
则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当t＝18时，y＝594，
所以600﹣594＝6（米）
故答案是：6．
三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）请将解答过程写在答题卷中对的位置上19．【解答】解：（1）∵x2﹣4x＝3，
∴x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，
则x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）∵5x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（5x﹣1）＝0，
则x﹣3＝0或5x﹣1＝0，
解得x1＝3，x2＝0.2．
20．【解答】解：（1）列表：
（2）画出函数y＝2x2的图象如图：
（3）观察所画函数的图象，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是0＜y＜8，
故答案为0＜y＜8．
四、解答题（本大题6个小题，21～25题每小题10分，26题12分，共62分）请将解答过程写在答题卷中对应的位置上，
21．【解答】解：（1）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，它们为（﹣1，﹣2），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（0，﹣1），（0，﹣2），（0，1），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，0）；
（2）点M（x，y）在函数y＝的图象上的点有（﹣2，1），（1，﹣2），
所以点M（x，y）在函数y＝的图象上的概率＝＝．
22．【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵OD⊥OB，
∴∠DOB＝90°，
∴∠BDO+∠B＝90°，∠OAD+∠DAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAD＝∠B，
∴∠BDO＝∠DAC，
∵∠BDO＝∠CDA，
∴∠CDA＝∠DAC，
∴CD＝CA．
（2）在Rt△ACO中，OC＝＝＝5，
∵CA＝CD＝3，
∴OD＝OC﹣CD＝2．
23．【解答】解：（1）点A（1，m2）、点B（2，m﹣1）是函数y＝（其中x＞0）图象上的两点，∴k＝m2＝2（m﹣1），
解得m＝2，k＝2，
∴A（1，2），B（2，1），
函数的解析式为y＝；
（2）作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，
S△AOB＝S△AOM+S梯形AMNB﹣S△BON＝S梯形AMNB＝（2+1）（2﹣1）＝．
24．【解答】解：（1）（6﹣4）×18000﹣3500×6﹣9000＝6000（元），
6000元＝0.6万元．
答：小王他们第一个月可以偿还0.6万元的无息贷款．
（2）设他们将该电子产品的销售单价定为x元，则月销售量为[18000﹣1000（x﹣6）]件，依题意，得：（x﹣4）[18000﹣1000（x﹣6）]﹣3500×6﹣9000＝34000，
整理，得：x2﹣28x+160＝0，
解得：x1＝8，x2＝20．
∵4×250%＝10（元），20＞10，
∴x＝8．
答：他们应该将该电子产品的销售单价定为8元．
25．【解答】解：（1）CE＝BF，CE⊥BF，
理由如下：∵∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠EAC＝∠F AB，且AE＝AF，AB＝AC，
∴△AEC≌△AFB（SAS）
∴CE＝BF，∠ABF＝∠ACE，
∵∠ABF＝∠ACE，∠ADC＝∠BDP，
∴∠BPD＝∠CAD＝90°，
∴CE⊥BF
（2）如图2，过点E'作E'H⊥AC，连接E'C，
∵把△AEF绕点A顺时针旋转至△AE'F′，
∴AF＝AE＝AE'＝AF'＝1，∠BAF'＝∠E'AC＝60°，
∵∠E'AC＝60°，∠AHE'＝90°，
∴∠AE'H＝30°，
∴AH＝AE'＝，E'H＝AH＝，
∴HC＝AC﹣AH＝，
∴E'C＝＝＝，
∵AF'＝AE'，∠F'AB＝∠E'AC＝60°，AB＝AC，
∴△F'AB≌△E'AC（SAS）
∴BF'＝CE'＝．
26．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，﹣3）代入抛物线y＝x2+bx+c中得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D（1，﹣4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x＝3或﹣1，
∴B（3，0）；
（2）如图1，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
设BC的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
BC的解析式为：y＝x﹣3，
设P（x，x2﹣2x﹣3），则M（x，x﹣3），
∴PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，PM有最大值，此时P（，﹣），
在x轴的负半轴了取一点K，使∠OCK＝30°，过F作FN⊥CK于N，
∴FN＝CF，
当N、F、H三点共线时，如图2，FH+FN最小，即PH+HF+CF的值最小，Rt△OCK中，OC＝3，
∴OK＝，
∵OH＝，
∴KH＝，
Rt△KNH中，∠KHN＝30°，
∴KN＝KH＝，
∴NH＝KN＝，
∴PH+HF+CF的最小值是PH+NH＝＝；
（3）Rt△OFH中，∠OHF＝30°，OH＝
∴OF＝OF'＝
由旋转得：∠FOF'＝60°
∴∠QOF'＝30°
Rt△QF'O中，QF'＝OQ＝1
∴Q与A重合，即Q（﹣1，0）
分4种情况：
①如图2，以QD为边时，由对称性可得S（3，0）；
②如图3，以QD为边时，
由勾股定理得：AD＝＝2，
∵四边形DQSR是菱形，
∴QS＝AD＝2，QS∥DR，
∴S（﹣1，﹣2）；
③如图4，同理可得S（﹣1，2）；
④如图5，作AD的中垂线，交对称轴于R，可得菱形QSDR，
∵A（﹣1，0），D（1，﹣4），
∴AD的中点N的坐标为（0，﹣2），且AD＝2，
∴DN＝，
cos∠ADR＝，
∴DR＝，
∴R（1，﹣），
由平移得：S（﹣1，﹣）；
综上，S的坐标为（3，0）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，2）或（﹣1，﹣）．。