【解析】陕西省西安市新城区西安中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(文)试题

西安中学2019-2020学年度第一学期期中考试
高二数学（文科）试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则
p 是q 的（ ）
A. 逆命题
B. 否命题
C. 逆否命题
D. 否定
【答案】B 【分析】
写出命题P 与命题q 的条件与结论，再根据四种命题的定义判断即可． 【详解】解：
命题“正数a 的平方不等于0”的条件为0a >，结论为20a ≠；命题“若a 不是正数，则它的平方等于0”的条件为0a ≤，结论为20a =. 故命题P 是命题q 的否命题．
【点睛】本题考查四种命题的定义；基本知识的考查．
2.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A. x 1，x 2，…，x n 的平均数 B. x 1，x 2，…，x n 的标准差 C. x 1，x 2，…，x n 的最大值 D. x 1，x 2，…，x n 的中位数
【答案】B
评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.
点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平； 中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平； 平均数：反映一组数据的平均水平；
方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．
标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度． 3.若命题:0,
,tan 14p x x π⎡⎤
∀∈≤⎢⎥⎣⎦
，则命题p 的否定为（ ） A. 00,
,tan 14x x π⎡⎤
∃∈≤⎢⎥⎣⎦ B. 00,
,tan 14x x π⎡⎤
∃∈<⎢⎥⎣⎦
C. 00,,tan 14x x π⎡⎤
∃∈≥⎢⎥⎣⎦
D. 00,,tan 14x x π⎡⎤∃∈>⎢⎥⎣⎦
【答案】D 【分析】
根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【详解】解：命题为全称命题，则命题的否定为：00,,tan 14x x π⎡⎤
∃∈>⎢⎥⎣⎦
， 故选D ．
【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
4.椭圆22
194
x y +=的离心率是
B.
59
C.
23
【答案】D 【分析】
根据椭圆的方程求得3,2a b ==，得到5c =，再利用离心率的定义，即可求解．
【详解】由题意，根据椭圆的方程22194
x y +=可知3,2a b ==，则5c ==，
所以椭圆的离心率为3
c e a =
=
，选D ． 【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，建立关于,,a b c 的方程或不等
式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
5.连续掷两次骰子，先后得到的点数,m n 为点(,)P m n 的坐标，那么点P 在圆22
17x y +=内
部的概率是（ ） A.
1
3
B.
25
C.
29
D.
49
【答案】C 【分析】
所有的点(,)P m n 共有6636⨯=个，用列举法求得其中满足22
17x y +<的点(,)P m n 有8
个，由此求得点P 在圆22
17x y +=内部的概率.
【详解】所有的点(,)P m n 共有6636⨯=个，
点P 在圆2217x y +=内部，即点(,)P m n 满足22
17x y +<，
故满足此条件的点(,)P m n 有：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共8个，
故点P 在圆22
17x y +=内部的概率是
82369
=， 故选C.
【点睛】该题考查的是有关古典概型概率的求解问题，涉及到的知识点有古典概型概率公式，在解题的过程中，正确找出基本事件的个数以及满足条件的基本事件数是关键. 6.执行下面的程序框图，当输出结果为8时，输入的n 值为（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【答案】C 【分析】
根据题意执行程序框图，依次写出每次循环得到的A ，B ，C ，k 的值，根据输出结果为8得到循环截止时k 的值，即可求出n ． 【详解】解：模拟执行程序框图，可得
1A =，1B =，3k =，k n ≤
第一次循环：2C =，1A =，2B =，4k = 第二次循环：3C =，2A =，3B =，5k = 第三次循环：5C =，3A =，5B =，6k = 第四次循环：8C =，5A =，8B =，7k = 因为输出的值为8，故6k n =≤，7k n => 故6n = 故选C
【点睛】本题主要考察了程序框图和算法，关键是一步一步的循环计算清楚，属于基础题．
7.设0x >，y R ∈，则“x y >”是“x y >”的（ ） A. 充要条件
B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件
D. 既不充
分也不必要条件 【答案】C
12>-不能推出12>-，反过来，若x y >则x y >成立，故为必要不充分条件.
8.下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为
A. 5，5
B. 3，5
C. 3，7
D. 5，7
【答案】B 【分析】
利用茎叶图、中位数、平均数的性质直接求解． 【详解】由茎叶图得：
∵甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等， ∴65＝60+y ，解得y ＝5， ∵平均值也相等， ∴
56626570745961676578
55
x +++++++++=，
解得x ＝3． 故选B ．
【点睛】本题考查实数值的求法，考查茎叶图、中位数、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.抛物线2
18
y x =-
的准线方程是（ ） A. 1
32x =- B. 12
x =
C. 2y =
D. 4y =
【分析】
将抛物线方程化成标准式，直接求解即可． 【详解】解：抛物线218y x =-的标准方程为：28x y =-，可得4p =，抛物线218
y x =-的准线方程是：2y =． 故选C ．
【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题． 10.已知条件p ：k=；条件q ：直线y= kx+2与圆x 2+y 2=1相切，则p 是q 的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】A
【详解】当3k =
的
距离为1，所以直线与圆相切；
2
11
k =+得3k =
所以则p 是q 的充分不必要条件, 故选A.
11.已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，12,AB P =为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为（ ） A. 18 B. 24
C. 36
D. 48
【答案】C
解：设抛物线的解+析式为y2=2px （p ＞0）， 则焦点为F （
2p ，0），对称轴为x 轴，准线为x=-2
p
∵直线l 经过抛物线的焦点，A 、B 是l 与C 的交点，
∴|AB|=2p=12 ∴p=6
又∵点P 在准线上 ∴DP=（
2p +|-2
p
|）=p=6 ∴S △ABP=12（DP•AB ）=1
2
×6×12=36 故选C ．
12.已知椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>上存在一点P ，使得12||3||PF PF =，其中12,F F 分别为
椭圆的左、右焦点，则离心率的取值范围是（ ）
A. 112⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
，
B. 102⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，
C. 113⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
， D. 10,3⎛
⎫ ⎪⎝⎭
【答案】A 【分析】
利用已知条件，通过椭圆的定义，列出不等式求解椭圆的离心率即可．
【详解】解：椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上存在一点P ，使得12||3||PF PF =，其中1F ，2
F 分别是椭圆的左、右焦点， 12||||2PF PF a ∴+=，
可得：2||2a
PF a c =-…， 解得2
1c a …．
所以椭圆的离心率为：1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
． 故选A ．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.总体是由编号为01,02,…19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为______．
【答案】01 【分析】
根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．
【详解】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，19， 01，04．（去掉重复）． 可知对应的数值为08，02，14，19，01， 则第5个个体的编号为01． 故答案为01．
【点睛】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．
14.椭圆22241x y +=的焦点坐标为_____________． 【答案】1
-,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
和1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】
把椭圆方程化为标准方程，得到2a ，2b 的值，由隐含条件求出c ，则答案可求． 【详解】解：由22241x y +=，化
标准方程得：22
11124
x y +=， ∴椭圆是焦点在x 轴上的椭圆，且2211,24
a b ==，
∴222111244
c a b =-=-=，则12
c =
． ∴焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
故答案为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆的标准方程，是基础题．
15.已知一组数据1232019,,,...,x x x x 的方差是9，则123201921,21,21,...,21x x x x ++++的方差为______． 【答案】36 【分析】
利用方差的性质，若12,,,n x x x L 的方差为2s ，则12,,n ax b ax b ax b +++L ,的方差为22a s ，直接求解． 【详解】解：
Q 一组数据1232019,,,...,x x x x 的方差是9
∴123201921,21,21,...,21x x x x ++++的方差为：22936⨯=
故答案为36
【点睛】本题考查方差的性质应用．若12,,,n x x x L 的方差为2s ，则
12,,n ax b ax b ax b +++L ,的方差为22a s ，属于基础题．
16.已知点P 到y 轴的距离比它到点(1,0)的距离小1，则点P 满足的方程是_______． 【答案】2
4y x =或()00y x =<
【分析】
设出P 的坐标，由题意列式，对x 分类化简得答案；
【详解】设(,)P x y ，则||1x +=
若0x ≥，则1x +=2
4y x =；
若0x <，则1x -0y =．
P ∴点轨迹方程为0(0)y x =<或2
4y x =；
故答案为0(0)y x =<或2
4y x =
【点睛】本题考查轨迹方程的求法，需注意分类讨论，属于一般题．
三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.已知命题p ：方程20x m -+=有两个不相等的实数根；命题q ：124m +<．
()1若p 为真命题，求实数m 的取值范围；
()2若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）2m <；（2）[)1,2. 【分析】
（1）若p 为真命题，则应有840m ∆=->，解得实数m 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p ，q 应一真一假，进而实数m 的取值范围. 【详解】（1）若p 为真命题，则应有840m ∆=->，解得2m <； （2）若q 为真命题，则有12m +<，即1m <， 因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题， 则p ，q 应一真一假. ①当p 真q 假时，有2
1
m m <⎧⎨
≥⎩，得12m ≤<；
②当p 假q 真时，有2
1m m ≥⎧⎨
<⎩
，无解，综上，m 的取值范围是[1
2，）. 18.2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有
72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除
的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,A B C D E F .
享受情况如下表，其中“d”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.
【答案】（I）6人，9人，10人；
（II）（i）见解+析；（ii）11 15
.
【分析】
（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果；
（II）（I）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出；
（ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率.
【详解】（I）由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10，
由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.
（II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
{}{}{}{}{},,,,,,,,,A B A C A D A E A F ,{}{}{}{},,,,,,,B C B D B E B F ,
{}{}{},,,,,C D C E C F ,{}{}{},,,,,D E D F E F ,共15种；
（ii ）由表格知，符合题意的所有可能结果为
{}{}{}{},,,,,,,A B A D A E A F ,{}{}{},,,,,B D B E B F ,{}{},,,C E C F ,{}{},,,D F E F ,
共11种，
所以，事件M 发生的概率11()15
P M =
. 【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 19.（Ⅰ）求以2220x y y +-=的圆心为焦点的抛物线方程；
（Ⅱ）若00(,)P x y 为（Ⅰ）中所求抛物线上任意一点，求点P 到直线20x y --=的距离的最小值，并写出此时点P 的坐标．
【答案】（Ⅰ）2
4x y =（Ⅱ）()2,1P
，最小值
2
分析】
（Ⅰ）将圆的方程配成标准式，即可得出圆心坐标，利用抛物线的标准方程即可求解． （Ⅱ）利用点到线的距离公式求最值．
【详解】（Ⅰ）22
20x y y +-=Q
()2
211x y ∴+-=
故圆心坐标为(0,1)，同时抛物线焦点为(0,1)
，故抛物线方程为2
4x y =；
（Ⅱ）00(,)P x y Q 且在抛物线2
4x y =上，2
04
x y ∴=．从而点P 到直线20x y --=的距
离为
d =
=≥，当02x = 即()2,1P 时，取得最小值2
． 【点睛】本题考查圆的标准方程，求抛物线的标准方程及抛物线上的点到定直线的距离最值
问题，属于一般题．
20.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)[)[]20,30,30,40,,80,90⋅⋅⋅，并整理得到频率分布直方图（如图所示）
．
（Ⅰ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)40,50内的人数． （Ⅱ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例． 【答案】（Ⅰ）20人（Ⅱ）3:2． 【分析】
（Ⅰ）先计算样本中分数不小于50的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频数，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；
（Ⅱ）由题意计算出样本中分数不小于70的学生人数，从而可以得到样本中男女生的人数，根据分层抽样原理，得出总体中男女人数之比． 【详解】（Ⅰ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为
(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=，分数在区间[40,50)内的人数为
1001000.955-⨯-=．
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为5
40020100
⨯
=． （Ⅱ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.020.04)1010060+⨯⨯=， 所以样本中分数不小于70的男生人数为1
60302
⨯
=． 所以样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=，男生和女生人数的比例
为60:403:2=．
所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2． 【点睛】本题考查频率分布直方图中相关量的计算问题，属于基础题． 21.设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．
（Ⅰ）若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（Ⅱ）若a 是从区间[]0,3任取的一个数，b 是从区间[]0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 【答案】（Ⅰ）34
（Ⅱ）2
3
【
分析】
（1）本题是一个古典概型，可知基本事件共12个，方程2220x ax b ++=当0,0a b ≥≥时有实根的充要条件为a b ≥，满足条件的事件中包含9个基本事件，由古典概型公式得到事件A 发生的概率．
（2）本题是一个几何概型，试验的全部约束所构成的区域为{(,)|03a b a 剟
，02}b 剟．构成事件A 的区域为{(,)|03a b a 剟
，02b 剟，}a b …．根据几何概型公式得到结果． 【详解】解：设事件A 为“方程2220x ax b ++=有实数根”．当0,0a b ≥≥时，方程有实
数根的充要条件为a b ≥． （Ⅰ）基本事件共12个： (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)．
其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A
发生的概率为93()124
P A =
=． （Ⅱ）实验的全部结果所构成的区域为{(,)|03,02}a b a b ≤≤≤≤．构成事件A 的区域为
{(,)|03,02,}a b a b a b ≤≤≤≤≥，所求的概率为132422()323
P A ⨯-⨯==⨯ 【点睛】本题考查几何概型和古典概型，放在一起的目的是把两种概型加以比较，属于基础
题．
22.（Ⅰ）计算：
①若12,A A 是椭圆22
194x y +=长轴的两个端点，(0,2)P ，则12PA PA k k ⋅=______；
②若12,A A 是椭圆22
194
x y +=长轴的两个端点，4()3P ，则12PA PA k k ⋅=______；
③若12,A A 是椭圆22194x y +=长轴的两个端点，(1,3P -，则12PA PA k k ⋅=______．
（Ⅱ）观察①②③，由此可得到：若12,A A 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>长轴的两个端点，
P 为椭圆上任意一点，则12PA PA k k ⋅=？并证明你的结论．
【答案】（Ⅰ）①、②、③均为49-．（Ⅱ）12
2
2PA PA b K K a
⋅=-,证明见解+析
【分析】
（Ⅰ）根据题意分别计算出1PA k 、2PA k 从而得出12PA PA k k ⋅的值．
（Ⅱ）首先不妨设0(P x ，0)y ，再由直线的斜率公式得到12PA PA k k ⋅的表达式；根据椭圆的标准方程得到0y 关于0x 的表达式，进而得出最终答案．
【详解】（Ⅰ）①由题意12,A A 是椭圆22
194
x y +=长轴的两个端点
则取()()123,0,3,0A A -
(0,2)P Q
()1202
033PA k ∴-=
=--，2202033
PA k -==--
124
9
PA PA k k ⋅=-∴
②同①取()()123,0,3,0A A -
4
()
3
P
Q
1
4
PA
k
-
==
∴
，
(
1
4
03
3
PA
k
---
==
∴
12
4
9
PA PA
k k⋅=-
∴
③同①取()()
12
3,0,3,0
A A
-
(1,
P
Q
(
)
1
13
3
PA
k
-
--
==
∴
，
13
3
13
PA
k
∴
-
==
-
12
4
9
PA PA
k k⋅=-
∴
∴①、②、③均为
4
9
-．
（Ⅱ）若12
,
A A是椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>长轴的两个端点，P为椭圆上任意一点，则12
2
2
PA PA
b
k k
a
⋅=-．证明如下：设P点的坐标为()
00
,
P x y则由题意：
12
00
00
00
,
PA PA
y y
k k
x a x a
--
==
+-，则12
2
000
22
000
00
PA PA
y y y
k k
x a x a x a
--
⋅=⋅=
+--
．又P为椭圆上任意一点，满足
22
00
22
1
x y
a b
+=，得
2
220
02
(1)
x
y b
a
=-，代入
12
2
20
2
2
222
(1)
PA PA
x
b b
a
k k
x a a
-
⋅==-
-
，得证．【点睛】本题考查椭圆的相关性质，由特殊得到一般性的结论，属于一般题．。