高考数学压轴专题银川备战高考《平面解析几何》基础测试题附解析

【最新】数学《平面解析几何》高考知识点
一、选择题
1．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，
12AB F F ⊥于2F ，4AB =
，12F F = ）
A ．2
213x y +=
B ．22132x y +=
C ．22196x y +=
D ．22
1129
x y +=
【答案】C 【解析】 【分析】
利用椭圆的性质，根据4AB =
，12F F =
c =2
2 4b a
=，求解a ，b 然后
推出椭圆方程． 【详解】
椭圆22
22 10x y a b a b +=>>（）
的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上， 12AB F F ⊥于2F ，4AB =
，12F F =
c =
，2
2 4b a
=， 222c a b =-，解得3a =
，b =，
所以所求椭圆方程为：22
196
x y +=，故选C ．
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．
2．已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，其中4AB =，
2BC CD AD ===，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
A
B
C
D
．【答案】B 【解析】 【分析】
不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，将条件转化为坐标，代入解出p ，即得结果. 【详解】
不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>
，可设(1,),(2,C m B m ，
则1232242(pm p p m =⎧⎪∴==⎨=+⎪⎩
，即抛物线的焦点到其准线的距离是2，选
B. 【点睛】
本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题.
3．已知直线21y kx k =++与直线1
22
y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．1
2
k >
B ．16k <-
或1
2
k > C ．62k -<< D ．1162
k -
<< 【答案】D 【解析】 【分析】
联立21
1
22y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩
，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线1
22y x =-
+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩
，解得即可． 【详解】
解：联立211
22y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得2421
6121k x k k y k -⎧
=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线1
22
y x =-
+的交点位于第一象限， ∴24021610
21
k
k k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：11
62k -<<．
故选：D ． 【点睛】
本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．
4．已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过
2:2(0)C y px p =>的焦点，M 为C 上的一个动点，若点N 的坐标为()4,0，则MN 的
最小值为（ ） A
．B
C ．2
D
．【答案】A 【解析】
【分析】
联立直线与抛物线方程利用弦长公式列方程，结合直线过抛物线的焦点，解方程可得
2p =，再利用两点的距离公式，结合二次函数配方法即可得结果.
【详解】
由222
24(42)02y x b
x b p x b y px
=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 12122
2,24
b p b x x x x +=-=-，
因为直线:2l y x b =+被抛物线2
:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，
125x =-，
所以()222
2
2512424b p b ⎡⎤
-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
（1） 又直线l 经过C 的焦点，
则,22
b p
b p -=∴=- （2）
由（1）（2）解得2p =，故抛物线方程为2
4y x =.
设()2
0000,,4M x y y x ∴=.
则()()()222
22
00000||444212MN x y x x x =-+=-+=-+，
故当02x =时，min ||MN = 故选：A. 【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了弦长公式以及配方法的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
5．若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．)+∞
D ．)+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，双曲线与直线y x =±相交且有四个交点，由此得
1b
a
>．结合双曲线的基本量的平方关系和离心率的定义，化简整理即得该双曲线的离心率的取值范围． 【详解】
解：不妨设该双曲线方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，
由双曲线的对称性质可知，该四边形为正方形，
所以直线y x =与双曲线有交点， 所以其渐近线与x 轴的夹角大于45︒，即1b
a
>．
离心率e =
所以该双曲线的离心率的取值范围是)+∞． 故选：C ． 【点睛】
本题考查双曲线的离心率取值范围以及双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
6．已知直线(3)(0)y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点.若5FA FB =，则k 等于（ ）
A ．
3
B ．
12
C ．
23
D ．
2
【答案】B 【解析】 【分析】
由2(3)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，得()
22226490k x k x k +-+=，()
22464360k k ∆=-->，得21
3
k <，129x x =①，再利用抛物线的定义根据5FA FB =，得到1254x x =+②，从
而求得21x =，代入抛物线方程得到(1,2)B ，再代入直线方程求解. 【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y ，易知1 0x >，20x >，10y >，20y >， 由2
(3)4y k x y x
=+⎧⎨
=⎩，得()
22226490k x k x k +-+=，()
22
464360k k ∆=-->， 所以2
1
3
k <
，129x x =①. 因为1112p FA x x =+
=+，2212
p
FB x x =+=+，且5FA FB =， 所以1254x x =+②. 由①②及20x >得21x =， 所以(1,2)B ，代入(3)y k x =+， 得12
k =
.
故选：B 【点睛】
本题考查抛物线的定义，几何性质和直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
7．在矩形ABCD 中，已知3AB =，4=AD ，E 是边BC 上的点，1EC =，
EF CD ∥，将平面EFDC 绕EF 旋转90︒后记为平面α，直线AB 绕AE 旋转一周，则旋转过程中直线AB 与平面α相交形成的点的轨迹是（ ）
A ．圆
B ．双曲线
C ．椭圆
D ．抛物线
【答案】D 【解析】 【分析】
利用圆锥被平面截的轨迹特点求解 【详解】
由题将平面EFDC 绕EF 旋转90︒后记为平面α，则平面α⊥平面ABEF ,，又直线AB 绕AE 旋转一周，则AB 直线轨迹为以AE 为轴的圆锥，且轴截面为等腰直角三角形，且面AEF 始终与面EFDC 垂直，即圆锥母线AF ⊥平面EFDC 则 则与平面α相交形成的点的轨迹是抛物线 故选：D
【点睛】
本题考查立体轨迹，考查圆锥的几何特征，考查空间想象能力，是难题
8．过抛物线212x y =的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交抛物线的准线于点C ，若
3AF FB =uu u r uu r
，则BC =（ ）
A ．4
B ．43
C ．6
D ．8
【答案】D 【解析】 【分析】
作出图象，作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，设BF x =，根据抛物线的性质可得
BM BF HN x ===，3AN AF x ==，进而得到1
sin 2
ACN ∠=
，则可求出x 的值，进而得到BC 的值. 【详解】
作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，如图，
因为3AF FB =uu u r uu r
，不妨设BF x =，所以33AF BF x ==，4AB x =， 根据抛物线的定义可得BM BF HN x ===，3AN AF x ==，6FP p ==， 则32AH AN HN x x x =-=-=， 所以1
sin sin 2
AH ABH ACN AB ∠=∠=
=，则212CF FP ==，2CB x =， 则312CF CB BF x =+==，所以4x =，则28BC x ==， 故选：D ． 【点睛】
本题考查抛物线的性质，涉及抛物线定义的应用，考查数形结合思想，属于中档题．
9．如图，12,F F 是椭圆2
21:14
x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第
二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）
A 2
B 3
C ．
32
D ．
62
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a(其中2a 为双曲线的长轴长)，∴|AF 2|＝a ＋2，|AF 1|＝2－a ，又四边形AF 1BF 2是矩形，∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝32，∴a 2，∴e 32
6
考点：椭圆的几何性质．
10．若点O 和点F 分别为椭圆22
143
x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，
则OP FP →
→
g 的最大值为（ ） A ．4 B ．5
C ．6
D ．7
【答案】C 【解析】 【分析】
设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r
表示成为x 的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】
设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则
()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r
，则 22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r
，
因为点P 为椭圆上，所以有：22143
x y +=即2
2334y x =-，
所以()2222
23132244
x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r
又因为22x -≤≤，
所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r
的最大值为6 故选：C 【点睛】
本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.
11．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的右焦点()(),0F c c b >，O 为坐标原点，以
OF 为直径的圆交圆222x y b +=于P 、Q 两点，且PQ OF =，则椭圆C 的离心率为
（ ） A ．
3
B ．
12
C ．
22
D ．
6 【答案】D 【解析】 【分析】
设点P 为两圆在第一象限的交点，利用对称性以及条件PQ OF =可得出点P 的坐标为
,22c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，再将点P 的坐标代入圆222x y b +=的方程，可得出2
b 与2
c 的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值. 【详解】
如下图所示，设点P 为两圆在第一象限的交点，设OF 的中点为点M ，由于两圆均关于x 轴对称，则两圆的交点P 、Q 也关于x 轴对称，又PQ OF c ==，则PQ 为圆M 的一条直径，由下图可知，PM x ⊥轴，所以点P 的坐标为,22c c ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
将点P 的坐标代入圆2
2
2
x y b +=得22
222c c b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，可得2222222c b a c ==-，
所以，2
2
23a c =，因此，椭圆的离心率为22
26
3c c e a a ==== D. 【点睛】
本题考查椭圆离心率的计算，根据题意得出a 、b 、c 的等量关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.
12．已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，抛物线的对称轴与准线交于点Q ，P 为抛物线上的动点，PF m PQ =，当m 最小时，点P 恰好在以,F Q 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ） A ．322- B ．22-
C ．32-
D ．21-
【答案】D 【解析】
由已知，(01)(01)F Q ，
，，-，过点P 作PM 垂直于准线，则PM PF =．记PQM α∠=，则sin PF PM m PQ
PQ
α=
=
=，当α最小时，m 有最小值，此时直线PQ
与抛物线相切于点P ．设2
04x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，可得(21)P ，
±，所以222PQ PF ，==，则2PF PQ a +=，∴21a =+，1c =，∴21c
e a
==-，故选D ．
13．已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：
22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B 【解析】 【分析】
根据抛物线定义和三角形三边关系可知当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，根据圆的性质可知最小值为CP r -；根据抛物线方程和圆的方程可求得CP ，从而得到所求的最值. 【详解】
如图所示，利用抛物线的定义知：MP MF =
当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，且最小值为1CP r CP -=-
Q 抛物线的准线方程：1y =-，()1,4C
415CP ∴=+= ()min 514MA MF ∴+=-=
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.
14．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若
121
cos 4
F MF ∠=
,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( ) A
．y = B
．3
y x =±
C ．y x =±
D ．2y x =±
【答案】A 【解析】 【分析】
因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ∆使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案. 【详解】
Q 双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点 ∴ 1212
22MF MF a MF MF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得:14MF a =,22MF a = 在12F MF ∆中,根据余弦定理可得:
∴ 1212
122
2
122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-⋅⋅
可得:2
2
2
1
(2)(4)(2)2424
c a a a a =+-⋅⋅⋅ 化简可得:2c a =
由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-= 可得
:b =
Q 双曲线渐近线方程为:b y x a
=±
则双曲线渐近线方程为
: y = 故选:A. 【点睛】
本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分
析能力和计算能力,属于中档题.
15．若A ，B 分别是直线20x y --=与x 轴，y 轴的交点，圆C ：
()()
22448x y -++=上有任意一点M ，则AMB ∆的面积的最大值是（ ） A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
【答案】C
【解析】
【分析】 先求出AB ，再求出M 到直线的最大距离为点M 到直线20x y --=加上半径，进而可得面积最大值.
【详解】
由已知()2,0A ，()0,2B -
则AB ==，
又点M =
所以最大面积为
1102
⨯=. 故选：C.
【点睛】 本题考查圆上一点到直线的最大距离问题，是基础题.
16．过坐标轴上的点M 且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为
M 的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】
设出直线方程，根据弦长公式，转化为圆心到直线的距离建立等量关系求解.
【详解】
由直线的斜率为tan 60k ︒==y b =+.
圆2240x y y +-=可化为22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为2r =，
则由弦长公式得：
圆心(0,2)到直线y b =+的距离为1d ===，
即|2|12
b -+=，解得0b =，4b =，故直线的方程为y =或4y =+.
直线y =过坐标轴上的点(0,0)，
直线4y =+过坐标轴上的点()0,4与⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，故点M 的个数为3.
故选：C.
【点睛】
此题考查直线与圆的位置关系，根据弦长公式将弦长问题转化为圆心到直线的距离求解.
17．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在
2
4y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v （ ） A ．-16
B ．0
C ．16
D ．32
【答案】B
【解析】
【分析】 先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r
，再利用平面向量的数量积求解.
【详解】
∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点. 由24y x y x
⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，
∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r .
故选B
【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18．过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点F ，作渐近线b y x a =的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线离心率e 的取值范围为( )
A ．()1,2
B ．(
C ．)+∞
D ．()2,+∞
【答案】C
【解析】
【分析】
设过双曲线的右焦点F 与渐近线b y x a
=垂直的直线为AF ,根据垂线与双曲线左右两支都相交，得AF 的斜率要小于双曲线另一条渐近线的斜率 ,由此建立关于,a b 的不等式，解之可得22b a >，从而可得双曲线的离心率e 的取值范围 .
【详解】
过双曲线的右焦点F 作渐近线b y x a
=
垂线，设垂足为A ， Q 直线为AF 与双曲线左右两支都相交， ∴直线AF 与渐近线b y x a =-
必定有交点B ， 因此，直线b y x a =-的斜率要小于直线AF 的斜率， Q 渐近线b y x a =的斜率为b a
， ∴直线AF 的斜率a k b =-
，可得b a a b -<-， 即22,b a b a a b
>>，可得222c a >， 两边都除以2a ，得22e >，解得2e >
双曲线离心率e 的取值范围为
)
2,+∞，故选C. 【点睛】 本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围.
19．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经
过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：22
1169
x y +=，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的最短路程是（ ）.
A ．20
B ．18
C ．16
D ．以上均有可能
【答案】C
【解析】
【分析】 根据椭圆的光学性质可知，小球从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹到B 点继续前行碰椭圆壁后回到A 点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，进而根据椭圆的定义可求得答案．
【详解】
依题意可知小球经两次椭圆壁后反弹后回到A 点，根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×4=16
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的应用．解题的关键是利用了椭圆的第一定义,是基础题.
20．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是（ ）
A ．
125 B ．65
C ．2
D ．5 【答案】A
【解析】 试题分析：根据抛物线的定义可知抛物线24y x =上的点P 到抛物线的焦点距离1PF d =,所以122d d MF d +=+,其最小值为()1,0F 到直线3490x y -+=的距离，由点到直线的
距离公式可知()()122
min min 125
d d MF d +=+==，故选A. 考点：抛物线定义的应用.。