高三物理万有引力理论的成就

第13讲 万有引力理论的成就
考点l 天体质量的计算
要求解某中心天体的质量，只需知道该中心天体某一卫星环绕中心天体的运动参量T ，r ，v 中的任意两个，即可由万有引力和牛顿第二定律结合来求解。

基本思路：根据行星(或卫星)运动的情况，把行星(或卫星)的运动视为匀速圆周运动，由观测得到卫星的运行周期及轨道半径，根据向心力由万有引力提供，可列出求中心天体质量的方程。

例如太阳质量的估算：设太阳(中心天体)的质量是M ，某个行星的质量是m ，它们之间的距离是r ，行星绕太阳公转的周期是T.则
22)2(T mr r Mm G π=．得：2
324GT r M π=
估算地球质量的方法：
利用地球的卫星——月球的某些运动参量求解：
①已知月球绕地球运转的周期T 和轨道半径r ，可计算地球的质量2
324GT
r M π=地
； ②若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v 和半径r ，根据
r v m r m M G 22
月月
地=。

得：G
rv M 2
=地
③若已知月球运行的线速度v 和周期T ，根据T
v m r m M G
π
22
⋅
=月月
地及T r v π2=得：G
Tv M π23=地
【考题1 】已知万有引力常量为G ，现在给出下列各组数据，可以计算出地球质量的是( )．
A ．地球绕太阳运行的周期T 和地球离太阳中心的距离R B. 月球绕地球运行的周期T 和月球离地球中心的距离R C. 人造地球卫星在地面附近运行的速度v 和运动周期T D ．地球的自转周期T 和地球的平均密度ρ
【解析】地球绕太阳运行时，万有引力提供向心力，对地球应用牛顿第二定律有:
22
)2(T R M R M M G π地地
日=，解得:2
3
24GT R M π=日．可见只能求出太阳的
质量，无法求出地球的质量，选项A 错误； 同理，对月球应用牛顿第二定律有2
2
)2(
m T
m R R M G
π=地，解得2
324GT
R M π=地
．可见能求出地球的质量，选项B 正确；
对人造地球卫星应用牛顿第二定律有 2
2
)2(
m T
m R R M G
π=地，又T
R
v π2=。

联立解得 G
Tv M π23
=地．选项C 正确；
将地球看成圆球形，其体积3
3
4R V π=
．则地球的质量33
4
R V M πρρ==地，
又地球自转周期v R T π2=
，从而解得3
234）（地π
πρTv M =．可以看出要求出地球的质量还必须知道地球自转的线速度，所以选项D 错误．
【答案】 B 、C
【变式1一1】利用下列数据，可以计算出地球的质量的是（ ）.
A ．已知地球的半径R 和地面的重力加速度g
B ．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r 和周期T
C ．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r 和线速度v
D ．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v 和周期T
【变式1—2】为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M 已知地球半径R ＝6．4×106m ，地球质量m ＝6×1024 kg ，日地中心的距离r ＝1．5×1011m ，地球表面处的重力加速度g 取10m ／s 2，1年约为3．2×107 s ，试估算目前太阳的质量M(保留一位有效数字，引力常量未知)．
考点2 天体密度的计算
求解天体密度的两种思路：
(1)已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的周期为T ．半径为r ，根据
22)2(T mr r Mm G π=得2
324GT r M π=．倘若再知道中心天体的半径R ，则天体的密度3
23
3R GT r πρ=
当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径R ，则：
2
3GT π
ρ=
． (2)已知天体表面上的重力加速度为g ，则mg r Mm G
=2
．得rG g
πρ43=
天体密度的这几个表达式经常用到，要能推导、理解其中各物理
量的意义．
【考题2】已知万有引力常量G ，那么在下列给出的情景中，能根据测量的数据求出月球密度的是( )．
A ．在月球表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H 和时间t
B ．发射一颗贴近月球表面绕月球做圆周运动的飞船，测出飞船运行的周期T
C ．观察月球绕地球的圆周运动，测出月球的直径
D 和月球绕地球运行的周期T
D ．发射一颗绕月球做圆周运动的卫星，测出卫星离月球表面的高度H 和卫星的周期T
【解析】根据选项A 的条件，可以算出月球上的重力加速度g ．由
mg r Mm G
=2可以求出月球质量和月球半径的平方比，G
g
r M =2，无法求出密度，选项A 不正确；
根据选项B 的条件，由2
2
)2(T mr r
Mm G
π=，可求出月球质量和月球半径的立方比2
2
34GT r M π=，得月球密度为23GT πρ=，选项B 正确； 根据选项D 的条件，由2
2
)2)(()
(T h r m h r Mm G π+=+，可求出GT h r M 2
3
4)
(π=+．虽然知道H 的大小，但仍然无法求出月球质量和月球半径的立方比，故选项D 不正确．
【答案】 B
【变式2—1】一个登月的宇航员，能否用一个弹簧测力计和一个质量为m 的砝码，估测出月球的质量和密度?如果能，说明估测方法并写出表达式．(已知月球的半径为R)
若本题给的不是弹簧测力计和砝码，而是一把刻度尺和一只秒表，能否测量出月球的质量和密度?
考点3 黄金代换式的理解与运用
若已知星球表面的重力加速度g 和星球的半径R ．当忽略星球的自转影响时，可认为星球对其表面物体的万有引力等于物体的重力，则mg R
Mm G
=2.则有：2
gR GM =.这就是在许多计算中常用到的替换关系，被称为“黄金代换”． 注意在利用mg R
Mm
G
=2时易出错。

若R 为地球半径，则g 为地球表面处的重力加速度。

若R 不是地球半径(物体距离地面高度为h)，
则g 应为物体所在处(距地面h 高处)的重力加速度值，物体离地面越高，g 值越小．此时轨道半径r ＝R ＋h ，则该替换式可写成GM ＝(R ＋h)2ｇ． 【考题3】一人造地球卫星距地球表面的高度是地球半径的l5倍．试估算此卫星的线速度(已知地球半径R=6400km)．
【解析】人造地球卫星绕地球做圆周运动时，满足关系式
R v m R
Mm G 161622
= ① 式中：m 为卫星质量，M 为地球质量，l6R 为卫星的轨道半径． 由于地球质量M 未知，所以应设法用其他已知常数代换，在地球表面mg R
Mm
G
=2． ② 由①②两式消去GM ，解得s m s m gR v /100.2/16
104.68.91636
⨯=⨯⨯==
【变式3—1】GPS 是全球卫星定位系统的简称，它由距地球表面
约2万千米处的24颗高轨道测距卫星和地面的一些科技设备组成。

测距卫星轨道为圆形，分布在6个轨道上，形成了一个包围地球的GPS 卫星网络。

地面设备包括1个主控站、l 个注入站和4个监控站，以及分布在世界各地的GPS 接收机。

GPS 卫星定位系统比雷达定位系统具有明显的技术优势，它具有的三维定位能力几乎不受天气、地域和其他电磁波的影响，且定位准确、迅速。

随着科学技术的发展，GPS 地面接收设备的成本进一步降低，促使其应用范围扩大到国民经济的各个领域。

比如，在汽车上装备GPS 接收器，车辆管理中心就可以对车辆实行智能化跟踪，随时测出车辆的方位、车速。

若车上再配置GPS 电子地图，只要将目的地输入地图，车辆运行时地图上的光标会为驾驶员指示最佳的行驶路线，这样不但可以大幅度提高公路的通行能力，而且对加强车辆的动态管理和分流具有重大意义。

试估算测距卫星每天绕地球运行约多少圈。

(已知地球半径R ＝6400km ，g 取lOm ／s 2)
考点4 多星系统运动问题
所谓“双星”问题，是指在宇宙空间中有两颗相距较近的天体，它们靠相互吸引的力提供向心力做匀速圆周运动。

两者有共同的圆心，且间距不变，则向心力大小也不变。

其他天体距它们很远，其影响可以忽略不计。

多星系统问题的求解方法仍然是建立万有引力方程和牛顿第二定律方程，并结多星运动系统几何上和运动参量上的特有关系求解。

在图14—2中，“双星”m l 与m 2的连线一定过圆轨道的圆心O ．由于万有引力提供向心力，故有
2
2222111ωωr m r m F ==
“双星”的周期一定相同，角速度ω也相同，故天体质量与轨道半径成反比，即1
2
21r r m m = 又因为r v ω=，
则有2211v m v m =，故有
1
2
21v v m m = 三星系统的求解方法与之类似，实际上多星系统中各星体在运转中均有相同的角速度，否则系统不能稳定存在。

这类考题所设置的一般是理想化的对称模型，求解时应注意旋转中心到各星体的半径可能不同。

在三星或更多星组成的系统中还需注意其他各星体对某待研究星体的吸引力的合力才是该星体运转所需的向心力。

双星系统具有如下特点：
(1)它们以相互间的万有引力来提供向心力。

(2)它们共同绕它们连线上某点做圆周运动。

(3)它们的周期、角速度相同。

【考题4】宇宙中存在一些离其他恒星较远的、质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。

已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。

设每个星体的质量均为m ．
(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．
(2)假设两种形式下星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少?
【解析】(1)对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，
根据牛顿第二定律和万有引力定律有 22
1R
Gm F =,
2
2
2)2(R Gm F =
． R v m F F 221=+ 解得运动星体的线速度 R Gm v 45=, 周期为Gm
R T 543
π=． ①
(2)设第二种形式星体之间的距离为r ．则三个星
体做圆周运动的半径为： 030
cos 2r
R =' ②
由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供．由力的合成和牛顿运动定律有
022
30cos 2r m G F =合． ③
2)2(T
R m F π
'=合. ④
由①②③④式得，R r 35
12
=
【变式4—1】宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起。

设二者的质量分别为m 1和m 2，两者相距为L ．求： (1)双星的轨道半径之比； (2)双星的线速度之比； (3)双星的角速度．
考点5 天体运动的综合问题
天体运动的综合问题的求解方法仍是万有引力定律与牛顿运动定律的结合，另外在数学计算上应适当借用黄金代换。

解决天体运动问题的两条基本思路：
(1)将行星绕恒星的运动、卫星绕行星的运动均视为匀速圆周运动，所需向心力是由万有引力提供的。

根据圆周运动的知识和牛顿第二定律列式求解有关天体运动的一些物理量，有如下关系：
ωπ
ωmv T mr mr r v m r
Mm G ====2222)2(
(2)重力近似等于其所受的万有引力，即 2
R Mm
G
mg = (m 在M 的表面上)．
注意：轨道向心加速度与天体表面重力加速度是不同的。

在轨道上，轨道向心加速度2
r M
G a =向 (r 为轨道半径)也称为轨道处的重力加速度，故：
2r
M
G
g a ==轨向 在天体表面上，表面重力加速度：2
R M
G
g = (R 为天体半径)．
【考题5】如图l4—3所示，A 、B 两行星在同一平面内绕一恒星做匀速圆周运动，运行方向相同，A 的轨道半径为r 1，B 的轨道半径为r 2．已
知恒星质量为M ，恒星对行星的引力远大于行星间的引力，两行星的轨道半径r 1＜r 2，若在某一时刻两行星相距最近，试求： (1)再经过多少时间两行星距离又最近? (2)再经过多少时间两行星距离最远?
【解析】图示时刻相距最近，这时A 、B 与恒星在同一条圆半径上。

A 、B 运动方向相同。

A 靠近恒星，角速度大、周期短。

(1)设A 、B 的角速度分别为ω1、ω2，经过时间t ，A 转过的角度为ω1t ，B 转过的角度为ω2t ．A 、B 距离最近的条件是 πωω221⨯=-n t t (n ＝1，2，3，…)． ① 恒星对行星的引力提供向心力，则
2
2ωmr r Mm G
=． 即：3r
GM =ω 由此得出311r GM =ω 3
2
2r GM
=ω． 求得 3
2312r GM r GM n t -=
π（n ＝l,2,3，…)． ②
(2)如果经过时间t’，A 、B 转过的角度相差π，则A 、B 相距最
远．即
πωω)12(21-='-'n t t ． ③ 求得3
231)12(r GM
r GM n t --=
'π (n ＝1，2，3，…)．
【变式5-1】两个行星质量分别为m 1和m 2，绕太阳运行的轨道半
径分别是r 1和r 2．求：
(1)它们与太阳间的万有引力之比． (2)它们的公转周期之比
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1．[考点l 、2]一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要( )．
A ．测定飞船的运行周期 B. 测定飞船的环绕半径 C ．测定行星的体积 D. 测定飞船的运动速度 2．[考点5]行星绕恒星运动的轨道如果是圆，那么它的运行周期T
的平方与轨道半径r 的三次方的比为常数，设k r
T 32
，则常数k 的大
小( )．
A ．只与行星的质量有关
B ．只与恒星的质量有关
C ．与恒星的质量及行星的质量有关
D ．与恒量的质量及行星的速度有关
3．[考点l]地球公转的轨道半径是R 1，周期是T l ；月球绕地球运转的轨道半径是R 2，周期是T 2．则太阳质量与地球质量之比是( )．
A ．22322131T R T R B. 21
322231T R T R C. 22222121T R T R D ．21222221T R T R
4．[考点l 、2]若知道太阳的某一颗行星绕太阳运转的轨道半径为r ，
周期为T ，引力常量为G ，则可求得 ( )．
A ．该行星的质量
B ．太阳的质量
C ．该行星的平均密度
D ．太阳的平均密度
5．[考点5]1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为l6km ．若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球的相同。

已知地球半径R ＝6400km ．地球表面重力加速度为g ．这个小行星表面的重力加速度为 ( )．
A ．400g B. g/400 C. 20g D. g/20
6．[考点l 、2]科学家们推测，太阳系的另一未发现的行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息我们可推知( )．
A ．这颗行星的公转周期与地球相等
B ．这颗行星的自转周期与地球相等
C ．这颗行星的质量等于地球的质量
D ．这颗行星的密度等于地球的密度 7．[考点5]某行星的平均密度是ρ，靠近行星表面的卫星的周期是T ，试证明ρT 2为一个常数．
8．[考点5]某星球的半径是地球半径R 的0．5倍(即R’＝0．5R)，该星球的质量m ’是地球质量m 的4倍(即m ’＝4m)．已知在地球表面上以初速度v 0竖直上抛物体能达到的最大高度为H ，问在该星球表面上以同样大小的初速度竖直上抛物体能达到的最大高度H’为多大?
9．[考点l 、5]已知海王星的直径为地球直径的4倍，海王星表面的重力加速度与地球表面的大致相等，试估算海王星的质量．(已知地球质量M 地＝6．0×1024kg)
高考水平测试
1．[考点１]天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期。

由此可推算出( )．
A ．行星的质量
B ．行星的半径
C ．恒星的质量
D ．恒星的半径
2．[考点3]组成星球的物质是靠引力吸引在一起的。

这样的星球有一个最大的自转速率，如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动，由此可得出半径R 、密度ρ、质量M 的均匀分布的星球的最小自转周期T.下列表达式中正确的是( )．
A. GM R T 32π=
B. GM R T 332π=
C. ρ
π
πG T 2= D.
ρ
ππ
G T 32= 3．[考点1]太阳由于辐射，质量在不断减少，地球由于接受太阳辐射和吸收宇宙中的尘埃，其质量在增加。

假定地球增加的质量等于太阳减少的质量，且地球的轨道半径不变，则( )． A ．太阳对地球的引力增大 B. 太阳对地球的引力减小
C ．地球运行的周期变长
D ．地球运行的周期变短
4．[考点5]我国绕月探测工程的预先研究和工程实施已取得重要进展。

设地球、月球的质量分别为M 1、M 2，半径分别为R 1、R 2，人造地球卫星的第一宇宙速度为v ，对应的环绕周期为T ，则环绕月球表面附近圆轨道飞行的探测器的速度和周期分别为( )．
A ．,2112v R M R M ,3123
21T R M R M B. ,1221v R M R M ,3
2
13
1
2T R M R M
C. ,2112v R M R M ,3
2
13
1
2T R M R M D. ,1221v R M R M ,3123
21T R M R M 5．[考点4]我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星。

某双星由
质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动。

由天文观察测得其运动周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2的距离为r ，已知引力常量为G ，由此可求出S 2的质量为( )．
A.2122)(4GT r r r -π
B. 23
24GT r π C. 2
3
124GT
r π D. 21224GT r r π 6．[考点5]地球赤道上的物体重力加速度为g ，物体在赤道上随地球
自转的向心加速度为a ，要使赤道上物体“飘”起来，则地球的转速应为原来转速的( )． A ．a
g 倍 B ．
a a g +倍 C ．a a g -倍 D ．a
g
倍 7．[考点l 、2]最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一
行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍。

假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有 ( )．
A ．恒星质量与太阳质量之比
B ．恒星密度与太阳密度之比
C ．行星质量与地球质量之比
D ．行星运行速度与地球公转速度之比
8．[考点l 、2、3]中子星是恒星演化过程中的一种可能结果，它的密度很大。

现有一中子星，观测到它的自转周期T ＝(1/30)s.该中子星的密度最小应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解?(计算时星体可视为均匀球体，引力常量G ＝6．67×10-11N·m 2／kg 2)
9．[考点l 、2、5]土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动，其中有两个岩石颗粒A 和B 与土星中心的距离分别为r A ＝8．0×104km 和r B ＝1．2×105km ，忽略所有岩石颗粒间的相互作用。

(结果可用根式表示)
(1)求岩石颗粒A 和B 的线速度之比．
(2)求岩石颗粒A和B的周期之比．
(3)土星探测器上有一物体，在地球上重为10N，推算出它在距土星中心3．2×105km处受到土星的引力为0．38N．已知地球半径为6．4×103km，请估算土星质量是地球质量的多少倍?
10．[考点4、5]如图所示，在天文学上把两个相距较近，由于彼此
的引力作用而沿轨道互相环绕的恒星系统称为双星。

例如天上明亮的天狼星就是双星系统的一颗子星，另一颗子星是已不再发光的白矮星．它们的环绕周期为50．1年．现α星和β星组成的双星系统其“晃动”(实际上是环绕转动，不过人们往往只看到它们在晃动)周期为T，α星的晃动范围为D
α，β星的晃动范围为Dβ．试求α星和β星的质量．。