高二数学上学期期中试题含解析_1 3

效实中学2021-2021学年高二数学上学期期中试题〔含解析〕
说明：本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部，一共100分．
第一卷〔选择题一共30分〕
参考公式：
柱体的体积公式 V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
锥体的体积公式1
3
V Sh =
其中S 表示锥体的底面积，表示h 锥体的高 球的外表积公式2=4S R π，球的体积公式3
43
V R π=，其中R 表示球的半径
台体的体积公式121
()3
V S S h =，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高
一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题3分，一共30分．在每一小题给出的四个选项里面只有一项是哪一项符合题目要求的．
1.在空间中，,a b 是直线，,αβ是平面，且,,a b αβαβ⊂⊂，那么,a b 的位置关系是
〔 〕 A. 平行 B. 相交
C. 异面
D. 平行或
者异面 【答案】D 【解析】 试题分析：由于αβ,所以两条直线是平行或者异面.可以用了两支笔在桌面上摆放一下确
定答案.
考点：两条直线的位置关系.
2213x y m +=的焦点在x ，那么m 的值是〔 〕
A. B. 6
D.
2
【答案】B 【解析】 【分析】
椭圆22
13
x y m +=的焦点在x 轴上，可知2a m =，23b =，利用公式222c a b =-求出2c ，
代入离心率公式即可求出m 的值.
【详解】解：椭圆2213x y m +=的焦点在x 轴上，那么3m >，又离心率为
2，即2231
2
c m a m -==，解得：6m =. 应选：B.
【点睛】此题考察椭圆求离心率，利用2
22c e a
=是常用的方法，属于根底题.
3.以下命题不正确的选项是〔 〕 A. 假设P α
β∈，且=l αβ，那么P l ∈
B. 假设,A l B l ∈∈，且,A B αα∈∈，那么l α⊆
C. 假设直线a ⋂直线b A =，那么直线a 与直线b 确定一个平面
D. 三点,,A B C 确定一个平面. 【答案】D 【解析】 【分析】
A. 由公理3：假如两个平面有一个公一共点，那么它们有且只有一条过该点的直线.可判断A 正确；
B. 由公理1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线也在此平面内.可判断B 正确；
C. 由两条相交直线确定一个平面可知，C 正确.
D. ,,A B C 三点一共线时不能确定一个平面，所以D 错误.
【详解】解：对于A ：由公理3：假如两个平面有一个公一共点，那么它们有且只有一条过该点的直线.A 中，平面α与平面β有一个交点P ，那么有一条交线，且P 在交线上.所以A 正确.
对于B ：由公理1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线也在此平面内.所以B 真确.
对于C ：由两条相交直线确定一个平面可知，C 正确.
对于D ：由公理2：不一共线的三点确定一个平面可知，,,A B C 三点一共线时不能确定一个平面，所以D 错误. 应选：D
【点睛】此题考察点、线、面的位置关系，解题的关键是熟记公理并且掌握公理的符号表示，属于根底题.
6cm 的圆形铁皮，剪去1
6
后，余下局部卷成一个圆锥的侧面，那么此圆锥的体积为〔 〕
A.
325
3
cm π B.
33
cm C. 3cm
D.
350cm π
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可得剩下的扇形是整个圆的
5
6
，设卷成的圆锥的底面半径为r ，利用扇形的弧长就等于圆锥的底面的周长求得r 的值，可得圆锥的高，从而求得圆锥的体积． 【详解】解：由题意可得剩下的扇形是整个圆的5
6
，设卷成的圆锥的底面半径为r ， 根据2πr ＝
5
6
×2π×6，求得r ＝5，那么圆锥的高为h ＝226r -＝11， 故圆锥的体积为
13•πr 2
•h ＝13×π×25•11＝25113
π， 应选：B.
【点睛】此题主要考察求圆锥的体积，注意利用扇形的弧长就等于圆锥的底面的周长，属于根底题．
111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，那么异
面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为
A.
3
4
B.
54
C.
74
D.
34
【答案】D 【解析】
试题分析：设BC 的中点为D ，连接11,,A D AD A B ，易知1A AB θ=∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角，设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长为1，那么
11312
,,222
AD A D A B ===，由余弦定理，得11132cos 24
θ+-==，应选D. 考点：异面直线所成的角.
6.如下图，三棱台111ABC A B C -的体积为V ，其中112AB A B =，截去三棱锥1A ABC -，那么剩余局部的体积为〔 〕
A. 14
V
B. 23
V
C. 37
V
D. 35
V
【答案】C 【解析】 【分析】
设三棱台的高为h ，上底面111A B C 的面积为S 上，下底面ABC 的面积为S 下.通过
112AB A B =，可知三棱=4S S 下上，所以三棱台的体积可用S 上和h 表示出来. 截去三棱锥
1A ABC -与三棱台下底一样，高一样，根据上下底的面积关系，三棱锥的体积也可以用S 上
和h 表示出来，做差求出剩余局部的体积，做比即可求出答案.
【详解】解：设三棱台的高为h ，上底面111A B C 的面积为S 上，下底面ABC 的面积为S 下. 因为
112AB A B =，所以=4S S 下上，那么三棱台的体积为：
((2117
++=5+4=333
V S S S S h S S h S h =
⋅⋅下下上上上上上. 截去三棱锥1A ABC -的体积为：114
33
V S h S h =⋅=下上，所以剩余局部的体积为
274
=-=33V S h S h S h 上上上，所以剩余局部的体积为37V .
应选：C.
【点睛】此题考察三棱台与三棱锥的体积公式，解题的关键是把所求的体积转化，属于中档
题.
7.有以下说法：
①假设p xa yb =+，那么p 与a ，b 一共面；②假设p 与a ，b 一共面，那么p xa yb =+； ③假设MP xMA yMB =+，那么,,,P M A B 一共面；④假设,,,P M A B 一共面， 那么MP xMA yMB =+.其中正确的选项是〔 〕 A. ①②③④ B. ①③④
C. ①③
D. ②④
【答案】C 【解析】 【分析】
①p xa yb =+，那么根据平面向量根本定理知p 必与a ，b 一共面，③同①；②假设a b ， 那么p 不一定能用a ，b 表示，④同②，那么可判断结果.
【详解】解：①假设a ，b 中有一个为0，那么p 与a ，b 一共面；假设a ，b 均不为为0，那么根据平面向量根本定理可知，p 与a ，b 一共面，所以①正确；②假设a b ， 那么p 不一定能用a ，b 表示，所以②不正确；③与①等同，根据平面向量根本定理可知，③正确；④与②类似，当,,M A B 三点一共线时，点P 不在此直线上，那么MP xMA yMB =+就不成立； 应选：C.
【点睛】此题考察平面向量根本定理的正用和逆用，解题的关键是把握住平面向量根本定理中向量12,e e 不一共线的前提，属于根底题.
ABCD 中，,2,1AB CD AB AD BC CD ====,沿对角线AC 将平面ACD 折起，折叠
过程中，AD 与BC 夹角的取值范围为〔 〕 A. 62
ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
B. 32
ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
C. 63
ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
D.
43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， 【答案】B 【解析】 【分析】
AD 与BC 夹角的范围为02π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，，所以只需探寻夹角的最小和最大值即可，当未折起时，
夹角最小，求出夹角即可，然后只需验证垂直的情况是否成立即可得出答案.
【详解】解：等腰梯形ABCD 中，,2,1AB CD AB AD BC CD ====,那么由平面几何可知，在等腰梯形ABCD 中，AD 与BC 夹角为
3
π
，在折起过程中，夹角逐渐增大，当平面ACD 与平面ACB 垂直时，AD 与BC 垂直，夹角为2
π. 应选：B.
【点睛】此题考察求线线角的取值范围，考察立体几何中的翻折问题，考察学生的直观想象才能和特殊值的运算，属于根底题.
n 条射线，使得任意两条射线构成的角均为钝角，n 最多为〔 〕
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B 【解析】 【分析】
利用空间中两条射线角平分线的性质，想要空间中存在射线与原来的两条射线所成的角为钝角，在两条射线所构成平面的一侧只能有一条射线同时与这两条射线所成的角为钝角，所以两侧有两条，一一共有4条，那么可得出答案.
【详解】解：在同一个平面中，最多有3条射线，使得任意两条射线构成的角均为钝角，但
是平面外不存在直线与这3条射线构成的角均为钝角，假设平面内有2条射线构成的角为钝角，那么在空间中，在两条射线所构成平面的一侧只能有一条射线同时与这两条射线所成的角为钝角，平面两侧一一共存在2条射线，此时一共有4条射线.
应选：B.
【点睛】此题考察两条射线所构成的角，考察学生的空间想象才能，属于中档题.
24
y x
＝的焦点F的直线交该抛物线于,A B两点,中点为C，假设直线7
x=-与直线AB的中
垂线交于点M，当AB
CM
最大时点C的横坐标为〔〕
A. 5
B. 1
C. 4
D.
1
【答案】A
【解析】
【分析】
直线,A B的方程为1
x my
=+，联立直线与抛物线，可求出()
2
21,2
C m m
+，利用中点和垂直求出直线AB的中垂线，与7
x=-联立，求出M的坐标；应用两点间的间隔公式分别求出AB和CM，利用不等式即可求出最大时点C的横坐标.
【详解】解：设()()
1122
,,,
A x y
B x y，因为抛物线24
y x
＝的焦点F()
1,0，所以设直线,A B 的方程为1
x my
=+，那么联立
24
1
y x
x my
⎧
⎨
=+
⎩
＝
得：2440
y my
--=，1212
4,4
y y m y y
+=⋅=-.
那么()
2
21,2
C m m
+，那么直线AB的中垂线为()
2
212
y m x m m
=---+，
联立()
2
7
212
x
y m x m m
=-
⎧⎪
⎨
=---+
⎪⎩
解得：()
3
7,210
M m m
-+.
()2
12
41
AB y m
=-==+
CM=
()
42
2
642
1621
()
4369664
m m
AB
CM m m m
++
=
+++
=
()
()()
2
2
2
22
41
14
m
m m
+
++
()
()
2
2
2
41
4
m
m
+
=
+
()
()()
2
2
22
41
1619
m
m m
+
=
++++22
4
9
16
1
m
m
=
+++
+
2
2
9
16612
1
m
m
+++≥=
+
，
所以当且仅当213
m
+=，即m=
AB
CM
，此时C点的横坐标为5. 应选：A.
【点睛】此题考察直线与抛物线的位置关系，考察直线与直线的位置关系，考察两点间的间隔公式，考察学生的计算才能，属于中档题.
第二卷〔非选择题一共70分〕
二、填空题：本大题一一共7小题，多空题每一小题4分，单空题每一小题3分，一共25分．
1111
ABCD A B C D
-中，
111
1
4
A E AC
=，假设
1
()
AE xAA y AB AD
=++，那么x=____，
y=____．
【答案】 (1). 1 (2).
1
4
；
【解析】
【分析】
因为
111
1
4
A E AC
=，所以根据向量的线性运算，
11111
1
()
4
AE AA A B A D
=++，又因为1111
,
A B AB A D AD
==，所以把
1111
A B A D
+转化为AB AD
+，系数对应相等，即可求出,x y
的值.
【详解】解：1111
4A E AC =，
11111111()=+()44AE AA A B A D AA AB AD =+++，所以1x =，14
y =. 故答案为：1，
1
4
. 【点睛】此题考察向量的线性运算，考察向量相等的应用，属于根底题.
24cm π，那么它的半径等于____cm ，它的内接长方体的外表积的最大值为_____2cm .
【答案】 (1). 1 (2). 8； 【解析】 【分析】
(1)列出球的外表积公式即可根据面积求出球的半径；〔2〕设内接长方体的长、宽、高分别为,,x y z ，那么有()2
2222x y z R ++=，又因为长方体的外表积222S xy yz xz =++，那么可根据根本不等式求出面积的最大值.
【详解】解：球的外表积为24cm π，即244S R ππ==，所以1R =.
设内接长方体的长、宽、高分别为,,x y z ，那么有()2
22224x y z R ++==，所求长方体的外表积为(
)()()22
2
2222228S xy yz xz x y
y
z x z =++≤+++++=，此时
3
x y z ===
. 故答案为：1,8.
【点睛】此题考察根据球的外表积公式求半径，考察球内接长方体边长与球的的半径的关系，考察根本不等式的应用，此题属于中档题.
13.一个几何体的三视图如下图，该几何体的俯视图的面积为____，体积为____．
【答案】 (1). 2+4π (2).
16+83
π
； 【解析】 【分析】
〔1〕由三视图可知，该几何体左半局部为三棱锥，右半局部为半圆锥.所以根据正视图可知俯视图中三角形的底和高以及半径，进而可求出俯视图的面积.〔2〕根据正视图可知几何体的高为4，结合第一问所求的底面积，即可求出该几何体的体积.
【详解】解：由三视图可知，该几何体左半局部为三棱锥，右半局部为半圆锥.
在俯视图中，以半圆的直径为底，那么三角形的高为2，半圆的直径为4，所以俯视图的面积为211
4224222
S ππ=
⨯⨯+⨯⨯=+. 由正视图可知，该几何体的高为4，所以该几何体的体积
111684424333
V π
π+=⨯⨯+⨯⨯=.
故答案为：2+4π，
16+83
π
. 【点睛】此题考察由三视图复原几何体，考察三棱锥和圆锥的体积公式，属于根底题.
22:184
x y C +=的弦AB 的中点为点Q ()2,1，那么弦AB 所在的直线方程为____；点P 为椭
圆上的任意一点，F 为左焦点，那么OP FP 的取值范围为____．
【答案】 (1). 30x y +-= (2). 2,842⎡+⎣；
【解析】 【分析】
〔1〕设AB 两点的坐标为：()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得到
12121212
12y y x x
x x y y -+=--+， AB 的中点为点Q ()2,1，那么有
1212
2,122
x x y y ++==，将关系式代入结果可求得12
12
1y y x x -=--，即直线AB 的斜率，根据点斜式那么可求出直线方程.
〔2〕()2,0F -，设()00,P x y ，用坐标表示向量22000=2+y OP FP x x +，因为点P 在椭圆
上，有2
2
0082x y -=，代入OP FP 中，得到OP FP =()201222
x ++，根据0x 的取值范围
即可求出结果.
【详解】解：〔1〕设AB 两点的坐标为：()()1122,,,A x y B x y ，那么有：221122
22+2=8
+2=8
x y x y ⎧⎨⎩，即：22221212+22=0x x y y --，有()()()()121212122x x x x y y y y +-=-+-，变形为：12121212
12y y x x
x x y y -+=--+， AB 的中点为点Q ()2,1，那么有
1212
2,122
x x y y ++==，所以
12121y y x x -=--，即直线AB 的斜率为-1，又过点Q ()2,1，所以弦AB 所在的直线方程为()213y x x =--+=-+，即
30x y +-=.
〔2〕设()00,P x y ，()2,0F -，()00,OP x y =，()002,FP x y =+，
()()2222
0000000000=,2,=2+y 242x OP FP x y x y x x x x ⋅++=++-
=()201
222
x ++
0x -≤，所以当02x =-时，OP FP 有最小值2，
当0x =时，OP FP 有
最大值8+
2,8OP FP ⎡∴∈+⎣. 故答案为：(1)30x y +-=，
(2)2,8⎡+⎣.
【点睛】此题考察点差法求直线方程，考察坐标法求向量的范围，考察学生的计算才能和转
化才能，在圆锥曲线中，弦中点求直线方程，点差法是常用的方法，用坐标法求范围也是常用方法，属于根底题.
y b =与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右支分别交于,B C 两点，假设OB OC ⊥，O
为坐标原点，那么双曲线的渐近线方程为____．
【答案】y =； 【解析】 【分析】
直线y b =与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右支分别交于,B C 两点，联立即可求出
,B C 两点的坐标，又OB OC ⊥，所以0OB OC ⋅=，解出222a b =，即可求出双曲线的渐
近线方程.
【详解】解：直线y b =与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右支分别交于,B C 两点，联
立：22221y b
x y a b
=⎧⎪
⎨-=⎪⎩
，可得
)()
,,,B b C b =
.
OB OC ⊥，∴2220OB OC a b ⋅=-+=，即222a b =
，b =
所以双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±=.
故答案为：y =.
【点睛】此题考察求双曲线的渐近线方程，考察向量垂直的坐标运算，考察直线与双曲线联立求解，属于根底题.
α//平面β，直线,m n αβ∈∈，点,,A m B n AB ∈∈与面α夹角为4
π
，AB n ⊥，AB 与
m 的夹角为3
π，那么m 与n 的夹角为____.
【答案】45；
【解析】 【分析】
在平面α内过点A 作直线l //n ，过点B 作直线BC α⊥，交点为C ，过C 作直线CD m ⊥，交点为D ，根据垂直关系找出各个角的值，计算三角形的边长cos
4
AC AB π
=，
cos
3
AD AB π
=，可求出直线AB 的射影与直线m 的夹角，又直线m 与直线n 的夹角与直
线AB 的射影与直线m 的夹角互余，那么可求出结果.
【详解】解：在平面α内过点A 作直线l //n ，过点B 作直线BC α⊥，交点为C ，过C 作直线CD m ⊥，交点为D.
由条件可知， AC l ⊥，4
BAC π
∠=，3
BAD π∠=
.
在Rt ABC ∆中，cos
4
AC AB π
=.
,BC BC AD α⊥∴⊥，又CD AD ⊥，
cos
3
AD AB π
∴=，cos AD CAD AC ∠=
=
，4CAD π∴∠=，故直线m 与直线n 的夹角是
2
4
4
π
π
π
-
=
.
故答案为：45.
【点睛】此题考察求直线与直线所成角，涉及到线面角，考察学生的空间想象才能，属于中档题.
1111ABCD A B C D -的棱长为1，以顶点A 为球心，3
为半径作一个球，那么球面与正方
体的外表相交所得到的曲线的长等于______．
【答案】
6
． 【解析】 【详解】如图，
球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B 、面ABCD 和面11AA D D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C 、面11CC D D 和面1111D C B A 上．在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为
123
1AE AA =
=，那么16A AE π∠=．
同理6
BAF π
∠=
，所以6
EAF π
∠=
，故弧EF 的长为
233369
ππ
=
，而这样的弧一共有三条．
在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小
圆的圆心为B ，半径为
3
3，所以弧FG 332π=．这样的弧也有三条． 于是，所得的曲线长335333966
πππ
⨯
+⨯=
， 53π． 三、解答题：本大题一一共5小题，一共45分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．
()22
2210x y a b a b
+=>>焦点为()()122,0,2,0F F -，且过点()2,3Q -，椭圆第一象限上的一点P 到两焦点12,F F 的间隔 之差为2.
〔1〕求椭圆的HY 方程；
〔2〕求12PF F ∆的内切圆方程.
【答案】〔1〕2211612
x y +=〔2〕()()22
11 1.x y -+-=
【解析】 【分析】
〔1〕椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>过点()2,3Q -，且焦点为()()122,0,2,0F F -，可以列出
方程222224914
a b
c a b ⎧+=⎪⎨⎪=-=⎩，求解即可求出22
,a b 的值，进而求出椭圆的方程. 〔2〕P 到两焦点12,F F 的间隔 之差为2，又P 到两焦点12,F F 的间隔 之和为2a ，联立可
求出11=5
=3PF PF ，，又21=4,F F 那么可得出三角形为直角三角形，那么可求出圆心和半径，进而可求出圆的方程.
【详解】〔1〕椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>过点()2,3Q -，且焦点为()()122,0,2,0F F -，
那么2222249
14
a b c a b ⎧+=⎪⎨⎪=-=⎩，解得：22
16,12a b ==，所以椭圆方程为：2211612x y +=.
〔2〕由121121221
22,=5=3=4,8PF PF PF PF F F PF F F PF PF ⎧-=⎪
∴⊥⎨
+=⎪⎩得：，，又
，
故内切圆半径()()22111
1,11
2
r PF F F PF C =
+-=圆心为，， 所以内切圆方程为：()()2
2
11 1.x y -+
-=
【点睛】此题考察根据椭圆过定点求椭圆的方程，考察直角三角形求内切圆，涉及到直角三角形内切圆半径的求法，属于根底题.
2的三棱柱111ABC A B C -中，160B BC ∠=，1AB =.
〔1〕求证：1AB BC ⊥；
〔2〕求二面角1B AB C --的正切值. 【答案】〔1〕证明见解析〔2〕23 【解析】 【分析】
〔1〕取BC 中点D ，1,ABC B BC ∆∆均为等边三角形，那么有1,,BC AD BC B D ⊥⊥根据线面垂直的断定定理可得1BC AB D ⊥面，根据线面垂直的定义即可证出结果. 〔2〕由〔1〕可知1,BC AB D ⊥面所以有1ABC ,AB D ⊥面面故由1B O AD ⊥可知
1B O ABC ⊥面，由O 作AB 的垂线，连1,B E 即可得到1B E AB ⊥，进而可找到1B EO ∠为
二面角1B AB C --的平面角，利用数据解三角形即可求出正切值. 【详解】〔1〕取BC 中点D ，由题设得1,ABC B BC ∆∆均为等边三角形，
1,,
BC AD BC B D ∴⊥⊥1AD
B D D =，
11,.BC AB D BC AB ∴⊥∴⊥面
〔2〕
12,3,AB AD B D =∴== 又13,AB =所以三角形1ADB 为等边三角形.
取AD 中点O ，得1B O AD ⊥
又1B O BC ⊥，1B O ABC ∴⊥面，作OE AB ⊥，连1,B E 可得1B E AB ⊥
1B EO ∴∠为二面角1B AB C --的平面角，11tan 2 3.B O
B EO EO
∠=
= 【点睛】此题考察线线垂直的证明，考察求二面角所成角，熟记定理和性质是解题的关键，属于根底题.
20.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为43．点
,,,G E F H 分别是棱,,,PB AB CD PC 上一共面的四点，//BC 平面GEFH ．
〔1〕证明：//;GH EF
〔2〕假设2EB =，且二面角E GH B --大小为45,求GB 与平面GEFH 所成角的正弦值．
【答案】〔1〕证明见解析〔23
【解析】 【分析】
〔1〕//BC 平面GEFH ，那么由线面平行的性质可以证明,BC GH ,BC EF 从而证出
.GH EF
〔2〕二面角E GH B --大小为45,取BC ,AD 的中点M ,N ，设
,MN EF I PM
GH J ==，那么可证明45.
MJI E GH B ∠=--为二面角的平面角
通过计算可知,MIJ ∆为等腰直角三角形可以求出23,GB =且,EB GEFH ⊥面可得
BGE ∠是直线GB 与平面GEFH 所成的角，计算可求出结果.
【详解】〔1〕
//BC 平面GEFH ，,,PBC GEFH GH BC GH =∴面面
同理：由D ,,.ABC GEFH EF BC EF GH EF =∴面面得
〔2〕取BC ,AD 的中点M ,N ，设,MN EF I PM GH J ==,
,,,,BC MN BC PM GH BC GH MN ⊥⊥∴⊥且 ,GH PM GH PMN ⊥∴⊥面
,45.GH IJ MJI E GH B ∴⊥∴∠=--即为二面角的平面角
又2242,8,PN PM PB BM MN =-==
222PM PN MN ∴+=
45,,PMN PNM MIJ ∴∠=∠=∆为等腰直角三角形
1
222
JM PM ==
且 故,,3,G H PB PC GB ∴=分别为的中点，
,,,,,IM IJ EB IM EB IJ EB EF EB GEFH ⊥∴⊥⊥∴⊥又面 BGE GB GEFH ∴∠是直线与平面所成的角，
3
sin EB BGE GB ∴∠=
= 【点睛】此题考察线线平行的证明，以及求线面角的正弦值，解题的关键是灵敏运用线面平行的性质，以及数据的处理，属于中档题.
的四条高交于一点，那么该点称为四面体的垂心，该四面体称为垂心四面体.
〔1〕证明：假如四面体的对棱互相垂直，那么该四面体是垂心四面体；反之亦然. 〔2〕给出以下四面体 ①正三棱锥； ②三条侧棱两两垂直；
③高在各面的射影过所在面的垂心； ④对棱的平方和相等.
其中是垂心四面体的序号为 . 【答案】〔1〕证明见解析〔2〕①②③④ 【解析】 【分析】
〔1〕首先证明四面体的两条高线交于一点，再证过另一顶点和这一点的直线为另一条高线，即可证明结论成立.〔2〕①②③可通过证明对棱垂直证明是垂心四面体，④假设四面体为垂心四面体，那么可证明有对棱的平方和相等，逆推仍然成立，所以④也成立. 【详解】〔1〕先证对棱互相垂直的四面体是垂心四面体. 作11,AH BCD H ⊥面垂足为，那么
11,CD AH CD AB CD ABH ⊥⊥⊥已知，故面，
12,BH CD E ABE BH AE ⊥延长交于在面内作，
212,H AH BH H =垂足为设
121CD ABH BH ABH ⊥⊆已有面，面
22,.BH CD BH ACD ∴⊥⊥故面
此时两条高线12.AH BH H 和已交于点
连接CH ，下证.CH ABD ⊥面
111,,,,.BD AH BD AC BD ACH CH ACH CH BD ⊥⊥∴⊥⊆⊥面而面故
222,,,,.AD BH AD BC AD BCH CH BCH CH AD ⊥⊥∴⊥⊆⊥又面而面故 CH ABD ∴⊥面.连接,.DH DH ABC ⊥同理可证面
综上可知，四条高线交于点H ，故该四面体为垂心四面体；
反之，假设该四面体为垂心四面体，即四条高线交于点H .,AH BCD ⊥面 AH CD ∴⊥,,BH ACD ⊥又面BH CD ∴⊥,CD ABH ∴⊥面，故CD AB ⊥, 同理可证,.BC AD BD AC ⊥⊥
〔2〕①正三棱锥底面为正三角形，侧面为全等的等腰三角形，可证明三组对棱两两垂直，所以①符合要求.②三条侧棱两两垂直，任一条侧棱垂直另外两条侧棱所在的平面，也可证明对棱垂直，所以②符合要求.③高垂直于底面棱，在侧面的射影垂直于此面的底面棱，所以底面棱垂直于高和射影所在的平面，即垂直于对棱，所以③符合要求.④假设四面体
A BCD -为垂心四面体，设BF 交CD 于E ，那么AC 2﹣AD 2＝CF 2﹣DF 2＝CE 2﹣DE 2＝BC 2﹣BD 2，即AC 2+BD 2＝AD 2+BC 2，反之，假设故AC 2+BD 2＝AD 2+BC 2，那么有C 2﹣AD 2＝CF 2﹣DF 2＝CE 2﹣DE 2
＝BC 2﹣BD 2成立，即BE CD ⊥同理可证其他，故④符合要求．
①②③④均符合要求.
【点睛】此题为立体几何新定义题型，解题的关键是反复利用线面垂直的断定和性质，属于难题.
xOy 中，椭圆C ：2215
x y +=，抛物线E ：22x py =的焦点F 是C 的一个顶点，设()00,P x y 是E 上的动点，且位于第一象限，记E 在点P 处的切线为l .
〔1〕求p 的值和切线l 的方程〔用00,x y 表示〕
〔2〕设l 与C 交于不同的两点,A B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .
〔i 〕求证：点M 在定直线上;
〔ii 〕设l 与y 轴交于点G ，记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求12
S S 的最大值. 【答案】〔1〕2p =，切线l 方程为002()y y xx +=〔2〕〔ⅰ〕证明见解析〔ⅱ〕
12
S S 的最大值为83 【解析】
【分析】
〔1〕根据椭圆的方程可求出过的定点，按照抛物线的HY 方程即可求出P 的值；利用在点()00,P x y 处的导数可求出直线的斜率，利用点斜式即可求出直线方程.〔2〕〔i 〕利用点差法求出0
25OD k x =-，写出直线OD 的方程，代入0x x =，可求出y 为定值，即可证明. 〔ii 〕PFG ∆中，FG 为底，P 点的横坐标为高，用00,x y 表示三角形的面积，PDM ∆中，PM 为底，D 到PM 的间隔 为高，仍然用00,x y 表示三角形的面积，换元求最值即可.
【详解】解：〔I 〕
由题意可得c e a ==1b =，所以抛物线的焦点F 为(0,1)，那么2p =，24E x y =：.
直线l 的斜率为02x y =，所以切线方程()0002
x y x x y =-+，利用2004x y =化简可得：002()y y xx +=.
〔2〕〔i 〕证明：设00(,)P x y ，1122(,),(,)A x y B x y
由点差法可得15
OD AB k k ⋅=-，012AB k x =，即有025OD k x =-， 直线OD 的方程为025y x x =-
，当0x x =时，可得25y =-即有点M 在定直线25y =-上；〔ii 〕直线l 的方程为0012
y x x y =-，令0x =，可得0(0,)G y -， 那么10001112()2S FG x x y ==+，2002000022()115522222255y y S PM x x y y +
+=⋅=⋅++ 那么0012202(2)(1)52()5
y y S S y ++=+令022()55y t t +=≥， 那么2212222233521322()()2(3)()24855335533
3335t t t t t t S t S t t t t ⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪--⋅⎝⎭==≤=+=++ 当35
t =，即015y =时，12S S 获得最大值83 【点睛】此题考察求抛物线的HY 方程，考察直线与椭圆的位置关系，考察点差法的应用，考察学生的计算才能与转化才能，属于难题.。