正态分布的若干问题及应用

编号：***********
南阳师范学院2012届毕业生
毕业论文（设计）
题目：正态分布的若干问题及应用
完成人：xxx
班级：2008-01
学制： 4 年
专业：数学与应用数学
指导教师：***
完成日期： 2012-03-31
目录
摘要 (1)
0引言 (1)
1正态分布的定义及特征 (1)
1.1正态分布的定义及密度函数 (1)
1.2正态分布的特征 (2)
1.3参数μ和σ的作用 (3)
1.4标准正态分布 (4)
1.4.1标准正态分布的定义 (4)
1.4.2标准正态分布的分布函数 (4)
2正态分布概率的计算 (5)
2.1标准正态分布概率的计算 (5)
ξμσ概率的计算 (5)
2.2一般正态分布(,)
N
3正态分布概率的应用 (6)
3.1在理论方面的应用 (6)
3.2在实际方面的应用 (8)
参考文献 (10)
Abstract (10)
正态分布的若干问题及应用
作者：赵强强
指导教师：葛玉丽
摘要：介绍正态分布的定义、特征、用途及其在现实生活中的重要意义，并对其适用范围进行探讨，从而揭示正态分布较好的性质，单独突出标准正态分布用特殊到一般的方法说明正态分布的特征，并列举若干正态分布应用实例以揭露其本质突出其在不同领域的应用.
关键字：正态分布；标准正态分布；函数；概率
0引言
正态分布是十九世纪处有德国著名数学家高斯（Gauss）在研究测量误差理论时正式引进，虽然隶莫弗（de Moirre）及拉普拉斯(laplace)早在高斯之前就通过隶莫弗——拉普拉斯极限定理用过正态分布函数，但是，高斯对正态分布的研究卓有成效，因此又成为高斯分布或误差分布，考虑到正态分布是我们常见的一种分布，所以又称为常态分布.正态分布是概率论中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力.生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述.从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等.
１正态分布的定义及特征
1.1正态分布的定义及密度函数
若存在非负可积函数)(x
f，⎰+∞∞-)(x f dx∞<，使随机变量ξ取值于任一空间)
a的概率为=
(b
,
Pξ⎰+∞∞-)(x f dx，则称ξ具有连续型分布或
{b
a
<
<}
称ξ为连续性随机变量.)
f称为ξ的分布密度函数，有时简称为分布
(x
函数或密度函数.
设连续型随机变量的的密度函数为：
2
2
()
2
()()
x
f x x R
μ
σ
-
-
= ∈（1）式（1）中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差，x是正态分布随机抽取的样本值.则称随机变量ξ服从参数为μ，σ的正态分
布记作(,)
N
ξμσ.
1.2正态分布的特征
对（1）式做全x轴的积分：
()1
f x dx
+∞
-∞
=
⎰
对（1）式求导：
2
2
()
2()
x
df
x
dx
μ
σμ
-
-
=-（2）显然()
f x在xμ
=
处取最大值，且
max
()
f x=.
在对式（2）求导：
2
2
()
2
22
2
2
()
x u
d f
x
dx
σμσ
-
-
⎡⎤
=--
⎣⎦（3）由式（3）可知()
f x在xμσ
=±有两个拐点.
若令0,1
μσ
==，画出其图像：
综上可以得到正态分布密度函数的几个特性：
1) 函数以x μ=为对称轴，且在x μ=处取最大值，并且max 1
()2f x σπ
=
；
2) x μ-值越大其函数值越小；
3) 曲线总在x 轴上方，且曲线与x 轴之间的面积为1； 4) 曲线在x μσ=±处有两个拐点. 1.3参数μ和σ的作用
取定σ=0，分别取0,1,4μμμ===画出他们的图像：
μ是位置参数，它的取值决定正态曲线在x 轴上的位置；
取定0μ=分别取0.5,1,3σσσ===画出他们的图像：
σ是形状参数，σ越大曲线越显得矮胖平缓，σ越小曲线越显得高瘦
陡峭.
1.4标准正态分布 1.4.1标准正态分布的定义
称0,1μσ==的正态分布为标准正态分布.其密度函数为：
()22
()2x f x x R π
-=
∈
（4） 随机变量ξ服从标准正态分布，记为(0,1)N ξ.
1.4.2标准正态分布的分布函数
22
()()2t x
x
F x f t dt e dt π
-
-∞
==⎰
⎰
（5） 其表示随机变量ξ的取值在(,)x -∞的概率.其几何意义是密度函数从-∞到x 与x 轴所围成的面积.记正态分布的分布函数为()x Φ.把x 取不同的值时的()x Φ的函数值，就得到标准正态分布表. 由正态曲线的性质立即可以得出：
()1()1()P x P x x ξξ>=-≤=-Φ （6） ()1()x x Φ-=-Φ （7）
2正态分布概率的计算
2.1标准正态分布概率的计算
有正态分布的定义中可知其密度函数为
2
2
()
2
()()
x
f x x R
μ
σ
-
-
= ∈，有此密度函数可推出一般正态分布的概率计算公式：
2
22
2
22
()
)
()()
t
b
a
t t
b a
P a b e dt
e dt e dt
b a
ξ-
--
-∞-∞
<<=
=-
=Φ-Φ
⎰
⎰⎰
再通过查标准正态分布表计算结果.
2.2一般正态分布(,)
N
ξμσ概率的计算
()()
()()
b
a
b a
P a b f t dt
f t dt f t dt
ξ
-∞-∞
<<=
=-
⎰
⎰⎰
（8）令x
y
μ
σ
-
=
则（8）式()()
a b
μμ
σσ
--
=Φ-Φ
此时边转化成标准正态分布的问题了，可通过查标准正态分布表，计算结果.
例1 随机变量()
,
ξμσ，求()
P k
ξμσ
-<.
解
()()
()
()()
()()2()1
P k P k k
P k k
k k
k k k
ξμσσξμσ
μσξμσ
μσμμσμ
σσ
-<=-<-<
=-<<+
+---
=Φ-Φ
=Φ-Φ-=Φ-
当1
k=时，()2(1)120.841310.6826
Pξμσ
-<=Φ-=⨯-=
当2k =时，(2)2(2)120.9772510.9545P ξμσ-<=Φ-=⨯-= 当3k =时，(3)2(3)120.998650.9973P ξμσ-<=Φ-=⨯= 当4k =时，(4)2(4)120.998650.99993666P ξμσ-<=Φ-=⨯=
上例说明随机变量ξ落在(,)μσμσ-+内的概率是0.6826；落在
(2,2)μσμσ-+内的概率是0.9545；落在(3,3)μσμσ-+内的概率是
0.9973；落在(4,4)μσμσ-+内的概率是0.99993666.
实际生活中常说的3σ原则就是因为落在3ξσ±范围内的点的概率为0.9973，几乎包含了所有观测值，所以可以将3ξσ±作为一个界限值.这一结论在实际生活中有重要作用.
3正态分布概率的应用
3.1在理论方面的应用
正态分布在理论方面的应用最主要的还是在概率论与数理统计的发展中的所起到的作用，可以归纳为两个方面： （1）正态分布是一些重要分布的极限.
例如泊松分布（Poisson ）
,0,0,1,!
k
k P e k k λλλ-=
>
=
可以证明：
22
()2lim x k P λλλ--→+∞
=
再例如二项分布
2
()
2(1)
(1)
x np
n
k k n k np p
n p
P C p p
-
-
→+∞
--
→
=-−−−
还有一些分布可以用二项分布和泊松（Poisson）分布来逼近，这就造就了正态分布的特殊地位.概率论中有关随机变量和的分布的极限是正态分布的定理统称为中心极限定理.
设随机变量
1
,,
n
X X它们的期望和方差都存在
()
2
(),()1,2
k k k k
E x D x k
μσ
===.
令()
2
1
1
(),
1,2
.
n
n k
k
n
k k
n
k n
B D x
n
x
B
μ
η
=
=
⎫
=⎪
⎪
=
⎬
-⎪
=
⎪⎭
∑
∑
，
若对于z R
∈一致地有
2
1
2
lim{}
z
t
n
n
P z e dt
η-
→+∞
<=⎰，（9）
则称随机变量序列
1
,,
n
X X服从中心极限定理.
中心极限定理阐明了正态分布与微小因素作用的关系，不但给予正态分布极其深刻的理论意义，并且说明了正态分布在统计学中的普遍代表性.
（2）正态分布作为其他分布推到的前提而出现.例如在概率论与数理统计中有非常重要作用的2χ分布、t分布和F分布.
例2对于“非参数性”的统计方法也存在着类似的情况，例如两总体的秩和检验法.设其使用的统计量为T，当n→+∞时，趋向于正
态分布，参数是121
t
(1)
=
2
n n n
μ
++
以及
t
σ=所以当显著水
平是α时，T的双侧临界值是
(1,)(2,)
,
t t t t
T T
αααα
μμσμμσ
=-=+.
α
μ是双侧分
位数.
例3对于符号检验，设A,B两个总体，它们的分布分别记为A
（x ）和B （x ），要检验()()A x B x =.
分别取A 、B 的n 个样品，即得到n 对数据：()()()1122,,,n n a b a b a b ，若()()A x B x =成立，则k k a b <和k k a b >()1,2k =应具有相同的概率，即起概率为1
2
.
令：
()
()1,2,1,()0,k k k k k a b b k a ξ>⎧⎪
=⎨
<⎪⎩=
则1
n
i i ξξ==∑遵从二项分布.当n 较大时，根据极限定理可知ξ收敛
于正态分布(,)24
n n
N ，所以在样本比较大的情况下可以用正态分布的性质检验()()A x B x =. 3.2在实际方面的应用
正态分布在实际生活中有很重要的作用，例如测量误差ξ服从正态()0,N σ，σ的大小，反映了密度函数的峰值两旁的陡峭或者平坛，亦即反映了测量的精度是高还是低.其他的例如人的身高；海洋的波浪的高度；材料的疲劳应力等等，也都相当准确的服从正态分布.由中心极限定理，便可得知，这种具有许多独立微小的随机因素作用的总后果的随机变量，一般可以认为近似地服从正态分布.
例4 如果公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1%一下设计，假设成年男子身高()175,6N ξ(单位：cm ），则该地的汽车门的高度应设计为多高？
解析：假设所求汽车门的高度是x （cm ）则提议所求则为满足
()1%P x ξ≥<的最小值，又因()175,6N ξ
，所以
175
()1()1(
)1%6
x P x P x ξξ-≥=-<=-Φ< 查表可得
175
2.336
x ->， 即188.98189x >≈，所以当地的公共汽车门的高度应该设在189cm
以上.
例5一种螺纹量规平均可使用5年，其标准差为0.8年.假设螺纹量规的使用寿命服从正态分布，试求以下概率：1）试用期不到四年；2）试用期超过六年.
解析：设量规使用期为随机变量ξ，则(5,0.8)N ξ
.所求概率可表示为(4)P ξ<和(6)P ξ>.
4(4)(4)(
)45()( 1.25)0.8
0.1056P P μξξσ-<=-∞<<=Φ-=Φ=Φ-=
65(6)1(6)1(
)0.81(1.25)10.89440.1056P P ξξ->=-≤=-Φ=-Φ=-=
例6 用某量具测量(5.26)d mm ±这一尺寸.已知测量值平均数为
5.26mm ，标准差为0.02mm ，测量值服从正态分布.要测量值的95%都在公差范围内，问d 值应定为多少？
解析：设测得值为随机变量ξ，则(5.26,0.02)N ξ
.
由题意得
(5.26 5.26)
5.26 5.26 5.26 5.26()()0.020.02
()()0.020.02
2()10.02
0.95P d d d d d d d ξ-<<++---=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-= 反查标准正态分布表可得：
1.960.02
d = 故有d =0.0392mm . 综上，数学和经验都证明: 受大量、独立、均匀小效应影响的随
机变量服从正态分布.在数理统计中用统计推断的许多统计量, 不管资料的原分布是什么,只要样本容量n 充分地大, 它都近似于正态分布.某些统计量即使偏离了正态分布, 只要偏离量不大,也可以按正态分布处理.因此, 正态分布的应用是十分广阔的.
参考文献
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2009:111-115.
[2] 王志福, 苏再兴.关于正态分布的重要结论及注记[J].渤海大学学报，2011,
（2）：97-99.
[3] 苏岩.正态分布与统计应用[J].保定师范专科学校学报，2003，（04）：5-8.
[4] 武坤.正态分布的又一个刻画[J].中南工业大学学报，1996，
（01）:125-126.
[5] 熊令纯.正态分布的若干性质[J].数学理论与应用，2000，（02）：103-105.
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[7] 田铮，肖华勇等.随机数学基础[M].高等教育出版社.2005:47-52.
[8] 郝文贵,孙圣舜等.正态分布和方差的一个实例应用[J].山东科学，
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[9] 夏利民,成福伟.概率统计中的正态分布[J].承德民族师专学报，2007,
（02）；8-10.
[10] 盛骤.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2002.
Normal distribution problems and Applications
Zhao Qiangqiang
Abstract: the article introduces the definition of normal distribution, the features, the use and the important significance in real life, and the applicable scope were discussed, which reveals the normal distribution better properties, alone outstanding standard normal distribution with special instructions to the general characteristics of normal distribution, and lists some normal distribution to reveal its essence application examples in different fields highlighted its application.
Keywords:normal distribution standard normal distribution probability function;。