推理与证明练习题

推理与证明
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．用反证法证明“如果a >b ”假设内容应是( )
解析：. 答案：D
图1
2．如图1，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝a ，CD ＝b (a >b )．若EF ∥AB ，
EF 到CD 与AB 的距离之比为m n ，则可推算出：EF ＝ma ＋nb
m ＋n
，试用类比的
方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD 、BC 相交于O 点，设△OAB 、△OCD 的面积分别为S 1、S 2，EF ∥AB ，且EF 到CD 与AB 的距离之比为m n ，则△OEF 的面积S 0与S 1、S 2的关系是( )
A ．S 0＝mS 1＋nS 2
m ＋n
B ．S 0＝nS 1＋mS 2
m ＋n
C.S 0＝m S 1＋n S 2
m ＋n D.S 0＝n S 1＋m S 2
m ＋n
解析：面积比等于相似比的平方． 答案：C
3．从1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，归纳出( )
A ．1－4＋9－…＋(－n )2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2
B ．1－4＋9－…＋(－1)n ＋1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2
C ．1－4＋9－…＋(－1)n ·n 2＝(－1)n －1·n (n －1)2
D ．1－4＋9－…＋(－1)
n －1
·n 2
＝(－1)n ·
n (n －1)
2
解析：观察所给等式，等式左边各式是正整数的平方，且奇数项为正，偶数项为负，故等式左边为1－4＋9－…＋(－1)n ＋1·n 2；等式右边是正整数的和或
其相反数，加数的个数与左边相同，故等式右边为(－1)n －1·n (n ＋1)2
.
答案：B
4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”； ②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；
⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a
b
”．
以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解析：只有①、②对，其余错误，故选B. 答案：B 5．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )
A ．△A 1
B 1
C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形
C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形
D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形
解析：∵△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，
∴sin A 2＝cos A 1，sin B 2＝cos B 1，sin C 2＝cos C 1. ∵三角形内角A 1，B 1，C 1∈(0，π)，
∴sin A 2，sin B 2，sin C 2>0，cos A 1，cos B 1，cos C 1>0. ∴△A 1B 1C 1必为锐角三角形． ①当△A 2B 2C 2为锐角三角形时，
sin A 2＝sin(π2－A 1)⇒A 1＋A 2＝π
2，
sin B 2＝sin(π2－B 1)⇒B 1＋B 2＝π
2
，
sin C 2＝sin(π2－C 1)⇒C 1＋C 2＝π
2
，
则(A 1＋B 1＋C 1)＋(A 2＋B 2＋C 2)＝3π
2
，
与(A 1＋B 1＋C 1)＋(A 2＋B 2＋C 2)＝2π矛盾， ∴△A 2B 2C 2不可能为锐角三角形．
②当△A 2B 2C 2为钝角三角形时，假设C 2为钝角，则
由①知A 1＋A 2＝π2，B 1＋B 2＝π2，C 2＋π
2－C 1＝π，
即C 2－C 1＝π
2
，
∴△A 2B 2C 2是钝角三角形．
③当△A 2B 2C 2为直角三角形时，假设C 2为直角，则cos C 1＝sin C 2＝1 ∴C 1＝0.不合题意． 答案：D
6．已知整数的数对列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是( )
A ．(3,8)
B ．(4,7)
C ．(4,8)
D ．(5,7) 解析：观察可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依此类推和为n ＋1的数对有
n 个，多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由n (n ＋1)
2
＝60⇒
n (n ＋1)＝120，n ∈N *
，n ＝10时，n (n ＋1)2
＝55个数对，还差5个数对，且这5
个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，
∴第60个数对是(5,7)． 答案：D
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．已知命题：椭圆x 225y 29＝1与双曲线x 211－y 2
5
＝1的焦距相等．试将此命题
推广到一般情形，使已知命题成为推广后命题的一个特例：________.
答案：椭圆x 2a 2＋y 2a 2－16＝1(a 2>16)与双曲线x 2b 2－y 2
16－b
2＝1(0<b 2
<16)的焦距相等；或椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与双曲线x 2c 2－y
2d 2＝1(a 2－b 2＝c 2＋d 2)的焦距相等．
8．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的
侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则________．”
图2
解析：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S 2△ABC ＋S 2
△ACD ＋
S 2△ADB ＝S 2
△BCD .
答案：S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB ＝S 2
△BCD
9．观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋1
3
＋…＋
115>2,1＋12＋13＋…＋131>5
2
，…，由此猜想第n 个不等式为________． 解析：由1>12，1＋12＋122－1>2
2
，
1＋12＋13＋…＋123－1>32 1＋12＋13＋…＋124－1>42 1＋12＋13＋…＋125－1>52
可猜想第n 个不等式为1＋12＋13＋…＋12n －1>n
2
.
答案：1＋12＋13＋…＋12n －1>n
2
三、解答题(共计40分)
10．(10分)已知a >0，求证：a 2
＋1a
2－2≥a ＋1a －2.
证明：要证a 2
＋1a
2－2≥a ＋1a －2，
只要证a 2
＋1a
2＋2≥a ＋1a ＋ 2.
∵a >0，故只要证(a 2＋1a
2＋2)2≥(a ＋1
a ＋2)2，
即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a
2＋22(a ＋1
a )＋2，
从而只要证2a 2
＋1a
2≥2(a ＋1a )，
只要证4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋2＋1
a 2)，
即a 2
＋1a
2≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．
11．(15分)观察下列三角形数表
假设第n 行的第二个数为a n (n ≥2，n ∈N *
)， (1)依次写出第六行的所有6个数字；
(2)归纳出a n ＋1与a n 的关系式并求出a n 的通项公式． 解：(1)第六行的所有6个数字分别是6,16,25,25,16,6. (2)依题意a n ＋1＝a n ＋n (n ≥2)，a 2＝2， a n ＝a 2＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋2＋3＋…＋(n －1)
＝2＋(n －2)(n ＋1)2，
所以a n ＝12n 2－1
2
n ＋1(n ≥2.)
12．(15分)已知各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＋1＝2a 2
n ＋a n a n ＋1，且a 2＋a 4
＝2a 3＋4，其中n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，令b n ＝a 2n ，其中n ∈N *
，试比较T n ＋1＋124T n
与
2log 2b n ＋1＋2
2log 2b n －1
的大小，并加以证明．
解：(1)因为a 2n ＋1＝2a 2
n ＋a n a n ＋1， 即(a n ＋1＋a n )(2a n －a n ＋1)＝0.
又a n >0，所以有2a n －a n ＋1＝0， 所以2a n ＝a n ＋1.
所以数列{a n }是公比为2的等比数列，由a 2＋a 4＝2a 3＋4，得2a 1＋8a 1＝8a 1
＋4，解得a 1＝2，
故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)．
(2)因b n ＝a 2n
＝22n ＝4n
， 所以b 1＝4，b n ＋1
b n
＝4，
即数列{b n }是首项为4，公比是4的等比数列．
所以T n ＝43
(4n
－1)．
则T n ＋1＋124T n ＝4n ＋1＋84(4n －1)＝1＋34n －1，
又2log 2b n ＋1＋22log 2b n －1＝4n ＋64n －1＝1＋74n －1， T n ＋1＋124T n －2log 2b n ＋1＋22log 2b n －1＝34n －1－7
4n －1＝4(3n ＋1－7·4n －1)(4n －1)(4n －1). 猜想：7·4n －1>3n ＋1. ①当n ＝1时，7·40＝7>3×1＋1＝4，上面不等式显然成立； ②假设当n ＝k 时，不等式7·4k －1>3k ＋1成立，则当n ＝k ＋1时， 7×4k ＝4×7×4k －1>4(3k ＋1)＝12k ＋4>3k ＋4＝3(k ＋1)＋1， 综上①②对任意的n ∈N *均有7·4n －1>3n ＋1. 又4n －1>0,4n －1>0， ∴T n ＋1＋124T n －2log 2b n ＋1＋22log 2b n －1
<0.
∴对n ∈N *
，T n ＋1＋124T n <2log 2b n ＋1＋22log 2b n －1
.。