山东省临清市高中数学全套教案必修2：4.2.1 直线与圆的位置关系

4.2.1 直线与圆的位置关系
【教学目标】
１．能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．
２．通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．
３．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．
【教学重难点】
教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法． 教学难点：用坐标法判直线与圆的位置关系． 【教学过程】
㈠情景导入、展示目标 问题：
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km 处，受影响的范围是半径长为30km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
运用平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下. ㈡检查预习、交流展示
1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？ 2．怎样判断直线与圆的位置关系呢？ ㈢合作探究、精讲精练
探究一：用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系？
教师：利用坐标法，需要建立直角坐标系，为使直线与圆的方程应用起来简便，在这个实际问题中如何建立直角坐标系？
学生：以台风中心为原点O ，东西方向为x 轴，建立直角坐标系，其中，取10km 为单位长度.则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为O 的圆的方程为
922=+y x
轮船航线所在直线 l 的方程为
082=-+y x .
教师：请同学们运用已有的知识，从方程的角度来研究一下直线与圆的位置关系. 让学生自主探究，互相讨论，探究知识之间的内在联系。

教师对学生在知识上进行适当
的补遗，思维上的启迪，方法上点拨，鼓励学生积极、主动的探究. 由学生回答并补充,总结出以下两种解决方法： 方法一：代数法
由直线与圆的方程，得：⎩⎨⎧=-+=+0
82922y x y x 消去y ，得0,74x 2x 2
=+-
因为040724(-4)2
＜△-=⨯⨯-= 所以，直线与圆相离，航线不受台风影响。

方法二：几何法
圆心（0，0）到直线082=-+y x 的距离
35585
8218
0201d 2
2〉==
+-⨯+⨯=
所以，直线与圆相离，航线不受台风影响.
探究二:判断直线与圆的位置关系有几种方法？ 让学生通过实际问题的解决，对比总结，掌握方法. ①代数法：
由方程组⎩⎨⎧=-+-=++2
22)()(0
r
b y a x C By Ax ， 得)0(02
2
≠=++m p nx mx ，
mp n 42-=∆
0>∆,则方程组有两解,直线与圆相交；0=∆，则方程组有一解，直线与圆相切；0<∆，
则方程组无解，直线与圆相离. ②几何法：
直线与圆相交 ,则r d <；直线与圆相切 ,则r d =；直线与圆相离 ,则r d >.
例1 已知直线l ：x ＋y －5=0和圆Ｃ：
012642
2
=-+-+
y x y
x ，判断直线和圆的位
置关系.
解析：方法一，判断直线与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系.
解:(法一)
联立方程组,消y 得
0432022
=+-x x
因为
()021********>=⨯⨯-=
∆-
所以直线与圆相交.
(法二)
将圆的方程化为
()()
5322
2
2
=+
+-y x .
可得圆心Ｃ(2,-3),半径r=5. 因为圆心到直线的距离d=23<5,
所以直线与圆相交.
点评:巩固用方程判断直线与圆位置关系的两种方法. 变式1.判断直线x －y ＋5=0和圆Ｃ：012642
2=-+-+y x y
x 的位置关系.
解:将圆的方程化为
()()5322
2
2
=+
+-y x .
可得圆心Ｃ(2,-3),半径r=5. 因为圆心到直线的距离d=25>5, 所以直线与圆相离.
例2．求直线l ：3x-y-6=0被圆Ｃ：
0422
2
=--+y x y
x 截得的弦ＡＢ的长．
解析:可以引导学生画图分析几何性质. 解:(法一) 将圆的方程化为
()()5212
2
=+
--y x .
可得圆心Ｃ(1,2),半径r=5. 圆心到直线的距离
2
1010
623=
--=
d . 弦ＡＢ的长102
5
52=-=AB . (法二)
联立方程组,消y 得
0652
=+-x x
得
3,22
1
==x
x ,
则
3,02
1
==y
y ,
所以直线l 被圆Ｃ截得的弦ＡＢ的长
()()1030322
2
=
+
=
--AB .
(法三)
联立方程组,消y 得
0652
=+-x x
根据一元二次方程根与系数的关系,有.6,5212
1
==+x x x
x
直线l 被圆Ｃ截得的弦ＡＢ的长
()()()()
10
6414211532
2
2
1
2
2
=⨯-+=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+x x x x k AB 点评:强调图形在解题中的辅助作用,加强了形与数的结合.
㈣反馈测试
导学案当堂检测
㈤总结反思、共同提高
【板书设计】
（2）直线与圆的位置关系 (1)相交，两个交点；
(2)相切，一个交点； (3)相离，无交点. 二.实例的解决 方法一 方法二
三.判断直线与圆位置关系的方法 四.例题 例1 变式1 例2
【作业布置】
导学案课后练习与提高。