交汇高考数学中平面向识的量与其它知识的

高考数学中平面向量与其它知识的交汇
山东省 尚林涛
向量由于具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介。

向量与平面解析几何，特别是其中直线部分保持着天然的联系，同时平面向量是处理其它问题的重要方法，通过将元素间的关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，是一种重要的解决问题的手段和方法。

平面向量的高考考查要求，其一是主要考查平面向量的性质和运算法则，向量的坐标表示及运算。

其三是和其他数学内容结合在一起，如可以和曲线、数列等基础知识结合，考查逻辑推理和运算能力等综合运用数学知识解决问题的能力。

本文例析高考数学中平面向量与其它知识的交汇及解题策略. 一、平面向量与不等式的交汇
例1 设a 、b 为不相等的正数，求证：2332244)())((b a b a b a +>++ 证明： 设m =(a,b), n =(a 2,b 2), 利用向量的数量积不等式有|m | |n |≥|m·n | , 由于a ≠b ，故ab 2-a 2b ≠0，也即向量m 与n 不是平行向量，故|m | |n |>|m·n |, |m |2 |n |2＞|m·n |2 即 2332244)())((b a b a b a +>++成立.
金点子：从整体结构上发现不等式与向量不等式有相似之处，避免了取差比
较的繁琐。

二、平面向量与函数的交汇
例 2 已知平面向量),1,3(-=→
a ),2
3
,21(=→
b 若存在实数x 和k,使
,)3(2
→→
→
-+=b x a c ,→→→+-=b x a k d .→
→⊥d c 且
(1)试求函数关系式k=f(x);
(2)讨论函数k=f(x)的单调性并求出极大值与极小值.
解：(1) 0,1,42
2=⋅==→→→→b a b a . ,0=⋅⇒⊥→
→→→d c d c
,0)3(2
2
2=-+-∴→→b x x a k ,0)3(42
=-+-∴x x k ).(4
)
3(2R x x x k ∈-=
∴ (2) ).1)(1(
3)1(32'-+=-=
x x x k 当x 变化时，'k , k 的变化情况如下表：
∴k=f(x)在（-∞，-1）及（1，+∞）上是增函数，在（-1，1）上是减函数. 当x=-1时，k=f(x)有极大值0.5，当x=1时，k=f(x)有极小值-0.5
金点子：第（1）小题关键是发现0=⋅→
→b a ，以简化计算，利用0=⋅→
→d c ，建
立函数表达式；第（2）小题利用导数不难解决.
三、平面向量和三角函数的交汇
例3 平面直角坐标系内有点P(1,cosx),Q(cosx,1), ]4
,4[π
π-
∈x , (1)求向量
OP OQ
与的夹角θ的余弦用x 表示的函数f(x); (2)求θ的最值.
解：（1）,OP OQ == O P O Q ⋅ 2c o s ,x = .c o s 1c o s 2c o s 2
x
x +=∴θ （2）,cos 1
cos 2cos x
x +
=
θ ],4,4[π
π-
∈∴x ,1c o s 2
2
≤≤∴x ,223c o s 1c o s 2≤+
≤∴x x ,1c o s 232≤≤∴θ .23
2
a r c c o s 0≤≤∴θ
.4,232a r c c o s ;0,0m a x m i n π
θθθ±====∴此时此时x
金点子：第（1）小题利用向量夹角公式,cos →
→→
→⋅=
b
a b a θ 问题便可解决；第（2）
题注意到0≤θ≤π，要求出θ的最值，只需求出cos θ的最值. 四、平面向量与解析几何中的交汇
例4 已知椭圆
,116
242
2=+y x 直线,1812:=+y x l P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于R ，又Q 在OP 上且满足
,2
OR OP OQ =⋅ 当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是
什么曲线.
解：如下图不妨设(,),OQ x y = (,),P P OP x y = (,).R R OR x y = 因为OP OQ
、同方向，
且,2
OR OP OQ =⋅ 所以22
.OP OR OP OQ OQ OQ OQ
=⋅=⋅
所以，有,,2
22
2y OQ
OR y x OQ
OR x P P ⋅=
⋅= 并将其代入直线l 方程，得
,1)812(2
2
=+y
x OQ
OR
…① 同理，OR OQ 、同方向， 所以知有,,y OQ OR
y x OQ OR
x R R ⋅=⋅=代入椭圆方程，得,1)16
24(2
22
2
=+y x OQ OR
…② 由①、②得）不全为，（0,812162422y x y x y x +=+ 所以点Q 的轨迹方程为椭圆 原点除外）.(13
5)1(25)1(2
2=-+-y x 金点子：利用两个非零向量a 与b 共线的充要条件是有且只有一实数λ，使得
b =λa .当a 与b 同方向时，有b =λa ；当a 与b 反方向时，有b =-λa .
五、平面向量在物理中的应用
例5一重物m 用绳悬起如下图，绳的另一端系在天花板上，绳长l =0.5m ，重物经推动后，在一水平面内作匀速圆周运动，转速n=1转/秒，求这时绳和竖直方向所成的角度（g 取10米/秒2）.
解：重物作匀速圆周运动时，加速度是向心加速度，由牛顿第二定律知：在竖直
方向上，|T |cosθ=|G |=mg(其中为绳与竖直方向所成的角)①，在
水平面内，重力所受合力大小|f |=|T |sinθ,即|T |sinθ=|f |=m|a | (其中a 为向心加速度)，…② 由①②得g
a =
θtan …③ 圆半径
R=l sinθ,圆周长为2πl sinθ，故重物在圆周上的速度大小为
|v |=|2πl nsinθ| 而θπsin 422l n R ==2
v a …④ 把④代入③ 得l
n g 2
24cos πθ=
…⑤ 代入已知数字得cos =0.5,故θ=60o
由⑤可知，物体转速n 愈大，θ也愈大.
金点子：本题是利用向量求解物理问题，物理中力的合成，速度的合成等都与向
量有关.
六、平面向量与其它知识的综合交汇
例6（2002年江西、山西、天津高考试题）已知两点M （-1，0），N （1，0），
且点P 使,,MP MN PM PN NM NP ⋅⋅⋅
成公差小于零的等差数列。

（1）点P 的轨迹
是什么曲线？（2）若点P 坐标为（x 0,y 0）,记为PM 与PN
的夹角，求tanθ
解(1)记P(x,y),由M(-1,0),N(1,0)得PM =MP -
=（-1-x,-y ）, PN =NP - =(1-x,-y)
(2,0)
MN NM =-=
∴
2(1)MP MN x ⋅=+
221
PM PN x y ⋅=+-
.,
2(1).NM NP x ⋅=-
MP MN ⋅ ,PM PN ⋅ ,NM NP ⋅ 是公差小于零的等差数列，
等价于⎪⎩
⎪⎨⎧<+---++=-+0)1(2)1(2)]
1(2)1(2[2
1122
x x x x y x ， ⎩⎨⎧>=+0322x y x 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆.
(2) 点P 坐标为（x 0,y 0）, 2212PM PN x y ⋅=+-=
2P M P N y ⋅ 200042)24)(24(x x x -=-+=
∴
cos PM PN PM PN θ⋅==
⋅
300≤<x ,30,1cos 21πθθ<≤≤<∴2
2411cos 1sin x --
=-=θθ,02
020
2
0341
411cos sin tan y x x x =-=---
==
θ
θ
θ
金点子: 此小题以二次曲线为背景，以向量的数量积为工具，综合考察了等差数
列、轨迹方程等基础知识，真正体现了高考在知识的交汇处出题的新动向。

综上所述，以平面向量为工具把其它问题化归为简单的向量计算，变抽象的
逻辑推理为具体的向量运算，实现了数与形的结合，所以平面向量为载体的数学试题与其它数学知识联系紧密，具有很强的时代气息，因此倍受命题老师的青睐.。