高中数学课时跟踪检测八正弦函数余弦函数的图象新人教A版必修

课时跟踪检测（八） 正弦函数、余弦函数的图象
层级一 学业水平达标
1．用“五点法”画函数y ＝2－3sin x 的图象时，首先应描出五点的横坐标是( ) A ．0，π4，π2，3π4，π B ．0，π2，π，3π
2，2π
C ．0，π，2π，3π，4π
D ．0，π6，π3，π2，2π
3
解析：选B 所描出的五点的横坐标与函数y ＝sin x 的五点的横坐标相同，即0，π
2，
π，3π
2
，2π，故选B.
2．下列函数图象相同的是( ) A ．f (x )＝sin x 与g (x )＝sin(π＋x )
B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2与g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－x
C ．f (x )＝sin x 与g (x )＝sin(－x )
D ．f (x )＝sin(2π＋x )与g (x )＝sin x
解析：选D A 、B 、C 中f (x )＝－g (x )，D 中f (x )＝g (x )． 3．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )
A ．在x ∈[2k π，2k π＋2π](k ∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同
B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间
C ．关于x 轴对称
D ．与y 轴仅有一个交点
解析：选C 函数y ＝sin x 的图象关于原点中心对称，并不关于x 轴对称． 4．不等式cos x <0，x ∈[0,2π]的解集为( )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2
C ．⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2 D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，2π 解析：选A 由y ＝cos x 的图象知，
在[0,2π]内使cos x <0的x 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
，3π2.
5．函数y ＝ln cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π
2
＜x ＜π2的图象是( )
解析：选A 首先y ＝ln cos x ＝ln cos(－x )，∴函数为偶函数，排除B 、D ，又∵－
π
2＜x ＜π
2
时，cos x ∈(0,1]，
∴y ＝ln x ≤0且图象左增右减，故选A. 6．方程sin x ＝lg x 的根的个数为________．
解析：作出y ＝sin x 及y ＝lg x 的部分图象如图，由图可以看出两图象有3个交点，即方程有3个不同根．
答案：3
7．函数y ＝2cos x －2的定义域是____________________________________． 解析：要使函数有意义，只需2cos x －2≥0， 即cos x ≥
2
2
.由余弦函数图象知(如图)，
所求定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z. 答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z 8．y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与y ＝3
2
的交点的个数是________．
解析：由y ＝sin x 的图象向上平移1个单位，得y ＝1＋sin x 的图象，故在[0,2π]上与y ＝3
2
交点的个数是2个．
答案：2
9．用“五点法”作出函数y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 解：列表：
在直角坐标系中描出五点(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，(π，1)，⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2，－1，(2π，1)，然后用
光滑曲线顺次连接起来，就得到y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的图象．
10．求函数y ＝
log 2
1
sin x
－1的定义域． 解：为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧
log 21sin x －1≥0，sin x >0，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
sin x ≤12，
sin x >0，
由正弦函数图象或单位圆，如图所示．
由图象知其定义域为：
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
2k π＜x ≤2k π＋π
6，k ∈Z
∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
2k π＋5π
6≤x <2k π＋π，k ∈Z
层级二 应试能力达标
1．用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A ．0，π2，π，3π
2，2π
B ．0，π4，π2，3π
4
，π
C ．0，π，2π，3π，4π
D ．0，π6，π3，π2，2π
3
解析：选B 由2x ＝0，π2，π，3π2，2π知五个点的横坐标是0，π4，π2，3π
4，π.
2．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )
A ．重合
B ．形状相同，位置不同
C ．关于y 轴对称
D ．形状不同，位置不同
解析：选B 根据正弦曲线的作法过程，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，
x ∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同.
3．在[0,2π]内，不等式sin x <－3
2
的解集是( ) A ．(0，π) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3
，4π3
C ．⎝
⎛⎭⎪⎫4π3，5π3
D ．⎝
⎛⎭
⎪
⎫5π3，2π
解析：选C 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下．
因为sin π3＝32，所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－32， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－32.即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的x ＝4π3或5π3.可知不等式
sin x <－
32的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3
，5π3.故选C.
4．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根
D ．有无穷多个根
解析：选C 求解方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数问题，
可转化为求解函数f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 的图象如右图，显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．
5．函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象和直线y ＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．
解析：如图所示，将余弦函数的图象在x 轴下方的部分补到x 轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.
答案：4π
6．当x ∈[－π，π]时，y ＝1
2x 与y ＝sin x 的图象交点的个数为________．
解析：如图，有3个交点．
答案：3
7．利用“五点法”作出函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2522x ππ⎛⎫
⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
，的图象．
解：列表如下：
8．画出函数y ＝1＋2cos 2x ，x ∈[0，π]的简图，并求使y ≥0成立的x 的取值范围． 解：按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．
令y ＝0，即1＋2cos 2x ＝0，则cos 2x ＝－1
2.
∵x ∈[0，π]，∴2x ∈[0,2π]． 从而2x ＝2π3或4π3，∴x ＝π3或2π
3
.
由图可知，使y ≥0成立的x 的取值范围是
⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2π3，π.。