2022年暑假初升高数学第22讲：奇偶性的概念

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函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1； (3)f(x)＝2xx2＋＋12x；
x－1，x<0，
(4)f(x)＝0，x＝0， x＋1，x>0.
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[解] (1)函数的定义域为R，关于原点对称．
(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)． (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(0,2)．
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奇偶性
偶函数
奇函数
条件
设函数 y＝f(x)的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x， 都有－x∈D
结论 图像特点
f(－x)＝f(x) 关于 y轴 对称
f(－x)＝－f(x) 关于 原点 对称
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思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？ 提示：定义域关于原点对称．
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1．下列函数是偶函数的是( )
点，易得b＝0.
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(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数， ∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3， ∴g(3)＝5. 又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.]
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利用奇偶性求参数的常见类型及策略 1定义域含参数：奇、偶函数fx的定义域为[a，b]，根据定义 域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数. 2解析式含参数：根据f－x＝－fx或f－x＝fx列式，比较系 数即可求解.
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2．函数f(x)＝|x|＋1是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
B [∵f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．]
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3．已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝______. 0 [∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0，∴2ax2＝0对任意x∈R恒 成立，所以a＝0.]
关于y轴对称，其图像如图所示．
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利用函数的奇偶性求值 [探究问题] 1．对于定义域内的任意 x，若 f(－x)＋f(x)＝0，则函数 f(x)是否具 有奇偶性？若 f(－x)－f(x)＝0 呢？ 提示：由 f(－x)＋f(x)＝0 得 f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 由 f(－x)－f(x)＝0 得 f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
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3．函数 y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则 a 等于( )
A．－1
B．0 C．1
D．无法确定
C [∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即 a＝1.]
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4．若 f(x)为 R 上的偶函数，且 f(2)＝3，则 f(－2)＝________. 3 [∵f(x)为 R 上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝3.]
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对于④，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－1x＝－ f(x)，则为奇函数；
对于⑤，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则 为非奇非偶函数．]
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奇偶函数的图像问题 【例2】 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的 图像如图所示．
(2)图像法：
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1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号) ①f(x)＝x3；②f(x)＝|x|＋1；③f(x)＝x12； ④f(x)＝x＋1x；⑤f(x)＝x2，x∈[－1,2]．
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②③ [对于①，f(－x)＝－x3＝－f(x)，则为奇函数； 对于②，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1，则为偶函数； 对于③，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－1x2＝x12＝ f(x)，则为偶函数；
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2．如图是函数 f(x)＝x2＋1 1在区间[0，＋∞)上的图像，请据此在 该坐标系中补全函数 f(x)在定义域内的图像，并说明你的作图依据．
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[解]
因为f(x)＝
1 x2＋1
，所以f(x)的定义域为R.又对任意x∈R，都
有f(－x)＝
1 －x2＋1
＝
1 x2＋1
＝f(x)，所以f(x)为偶函数．所以f(x)的图像
(2)已知 f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若 f(－3)＝－3，则 f(3)＝ ________.
[思路点拨]
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1 (1)3 0 (2)7
[(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a
－1＝－2a，解得a＝13.
又函数f(x)＝
1 3
x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图像的特
2022年暑假初升高数学第22讲
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学习目标
核心素养
1.理解奇函数、偶函数的定义． 1.借助奇(偶)函数的特征，培
2．了解奇函数、偶函数图像的 养直观想象素养．
特征．
2．借助函数奇、偶的判断
3．掌握判断函数奇偶性的方法. 方法，培养逻辑推理素养.
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自主预习 探新知
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函数的奇偶性
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(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称． －x－1，－x<0，
f(－x)＝0，－x＝0， －x＋1，－x>0， －x＋1，x>0，
即f(－x)＝0，x＝0， －x－1，x<0.
于是有f(－x)＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．
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判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法：
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当堂达标 固双基
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1．思考辨析 (1)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．( ) (2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x) 一定是奇函数．( ) (3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( ) (4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是 偶函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
A．y＝x
B．y＝2x2－3
C．y＝
1 x
D．y＝x2，x∈[0,1]
B [选项 C、D 中函数的定义域不关于原点对称，选项 A 中的函
数是奇函数，故选 B.]
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2．下列图像表示的函数具有奇偶性的是( )
A
B
C
D
B [B 选项的图像关于 y 轴对称，是偶函数，其余选项中的图像
都不具有奇偶性．]
又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，
因此函数f(x)是奇函数．
1－x2≥0， (2)由x2－1≥0
得x2＝1，即x＝±1.
Байду номын сангаас
因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．
又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
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(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(1)画出在区间[－5,0]上的图像； (2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
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[解] (1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图像关 于原点对称．
由y＝f(x)在[0,5]上的图像，可知它在[－5,0]上的图像，如图所 示．
(2)由图像知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．
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4．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝ x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像，如图所示．
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(1)请补充完整函数y＝f(x)的图像； (2)根据图像写出函数y＝f(x)的增区间； (3)根据图像写出使f(x)<0的x的取值集合．
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[解] (1)由题意作出函数图像如图：
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1．奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数f(x)定义域内的每一 个值x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇函数(或偶 函数)．
2．函数的奇偶性是其相应图像特殊对称性的反映，也体现了在 关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这 是对称思想的应用.
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3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________. 4 [法一：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f(－x)＝(－x＋ a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4. 法二：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函 数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4. 法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如f(x)＝ax2＋c的都是偶 函数，因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则a＝4.]
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2．若 f(x)是奇函数且在 x＝0 处有定义，则 f(0)的值可求吗？若 f(x) 为偶函数呢？
提示：若 f(x)为奇函数，则 f(0)＝0；若 f(x)为偶函数，无法求出 f(0) 的值．
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【例 3】 (1)若函数 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a]，则 a＝________，b＝________；
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(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问 题．
[解] (1)如图所示
(2)由(1)可知，使函数值y<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2,5)．
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巧用奇、偶函数的图像求解问题 1依据：奇函数⇔图像关于原点对称，偶函数⇔图像关于 y 轴对 称. 2求解：根据奇、偶函数图像的对称性可以解决诸如求函数值或 画出奇偶函数图像的问题.