2019年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)及解析

湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的■ 1.
（ 5分）设复数Z i , Z 2在复平面内的对应点关于实轴对称，Z i = 1+i ，则Z i Z 2=（ ）
A . 2
B.- 2
C. 1+i D . 1 - i
2. （5分）设全集U=R,函数f （x ）=lg （| x+1| - 1）的定义域为A,集合B={x| sin n x=0 则（？U A ）G B 的子集个数为f ） A . 7
B. 3
C. 8
D . 9
3. （5分）函数f f x ） =sin （3X©）（3> 0，Ov X n ）的图象中相邻对称轴的距 离为…，若角©的终边经过点’「，则丄〕的值为f ）
2 4 A .比 B.乙 C. 2 D ..乙
2 4.
（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班
50名学生的化学考试成绩，
图（二）的算法框图中输入的a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的 m ，n 分别是 （ ）
367 X
()1233 689 001344667889 0 1224 566678 899 00244569 0 I 68
开始 王
结柬 图1 用二即土
i=i+l
/输岀冊川/
图一
A. m=38，n=12
B. m=26，n=12 C m=12，n=12 D. m=24，n=10
yCs
5. （5分）设不等式组3y>x表示的平面区域为Q i,不等式（x+2）2+ （y-2）
x+yC4
L
2<2表示的平面区域为他,对于Q中的任意一点M和他中的任意一点N,|MN| 的最小值为（）
A.二
B. -
C. -
D. -
2 4
6. （5分）若函数f （x）'的图象如图所示，贝U m 的范围为（）
A. （-X,- 1）
B. （- 1, 2）
C. （0, 2）
D. （1, 2）
7. （
正视图吋视订
5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）
1 1 —
^1
t
II
/
俯视图
A. 11 B•匚C : D.二
8. （5分）设等差数列｛a n｝的前n项和为S，且满足S zo14>0, S2015V 0,对任意正整数n,都有|&| >|釦，则k的值为（）
A. 1006
B. 1007
C. 1008
D. 1009
■,满足| — J =| J =4, ( | - ) ? ( ■
9. （5分）已知非零向量|,
)=0,
若对每一个确定的■■, | |的最大值和最小值分别为m, n，则m - n的值为（）
A.随•增大而增大
B.随•增大而减小
C.是2
D.是4
10. （5分）已知如图所示的三棱锥D-ABC的四个顶点均在球0的球面上，△
ABC和厶DBC所在平面相互垂直，AB=3, AC=二，BC=CD=BD二牙，则球0的表
A. 4 n
B. 12 n
C. 16 n
D. 36 n
2 2
11. （5分）已知双曲线C:」•一_i （a>0，b>0）的右顶点为A，O为坐标a2
原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q,若/PAQ=60,且「，则双曲线C的离心率为（）
A. 一
B. 一
C. —
D.-
4 3 2
12. （5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x€ [0，1]，总存在唯一的y € [ - 1，1]，使得x+y2e y- a=0成立，则实数a的取值范围是（）
A. [ 1，e]
B. | - .1
C. （1，e]
D. I -—.:」
e e
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13 . （5分）已知a > 0 , |丄「展开式的常数项为15，则
I : •-，「■■- -... ------- ■：：■= .
14. （5分）设a，b € R，关于x，y的不等式| x|+| y| v 1和ax+4by>8无公共解，则ab的取值范围是_______ .
15. （5分）正项数列｛a n｝的前n项和为S，且2兀二％S弧（n€ N*），设
2a n+l
--，则数列｛C n｝的前2016项的和为__________________ .
16. （5分）已知F是椭圆C: ' +［ =1的右焦点，P是C上一点，A （- 2, 1）,
当厶APF周长最小时，其面积为_______ .
三、解答题（本大题共5小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
17. （12分）△ ABC中，已知点D在BC边上，且匸八二.一 |H」［二，
U1
AB=3」h 一‘ 迁
（I）求AD的长；
（U）求cosC.
18. （12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ ADE △ BCF 均为等边三角形，EF// AB，EF=AD=AB.
2
（1）过BD作截面与线段FC交于点N,使得AF/平面BDN,试确定点N的位置，并予以证明；
（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值.
19. （12分）2015年7月9日21时15分，台风莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元.距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造
成的经济损失，将收集的数据分成［0，2000］，（2000，4000］，（4000，6000］，
（6000, 8000］，（8000，10000］五组，并作出如下频率分布直方图：
（I）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数
据用该组区间的中点值作代表）；
（U ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款•现从损失超过 4000元的 居
民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过 8000元的居民为E 户，求 E 的分布列和数学期望；
（川）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的 50户居民捐 款情况如表，根据表格中所给数据，分别求 b ，c ，a+b ，c+d ，a+c ，b+d ，a+b+c+d 的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于 500元和自身经济 损失
是否到4000元有关？
经济损失不超过 4000 元
经济损失超过 4000 元
合计
捐款超过
500元 a=30
b
捐款不超 过500元
c d=6
合计
20. （12分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ） （c >0）到直线I : x -y - 2=0的距离为—•，设P 为直线I 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线
P (K 2》k )
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
10.828
n(ad-bc)2
附：临界值表参考公式:
PA PB,其中A，B为切点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)当点P (X o, y o)为直线I上的定点时，求直线AB的方程；
(3)当点P在直线I上移动时，求|AF?|BF的最小值.
21. ( 12 分)已知函数f (x)+be「x,点M (0, 1)在曲线y=f (x) 上,
c x+l
且曲线在点M处的切线与直线2x- y=0垂直.
(1)求a, b的值；
(2)如果当X M 0时，都有f (x)> ' +ke「x,求k的取值范围.
e x-l
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.［选修4-4 :坐标系与参数方程］
22. (10分)选修4 - 4;坐标系与参数方程
已知曲线G的参数方程是，：'■ ! ( ^为参数),以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是p =2正方形ABCD的顶点都在C2上，且A, B, C, D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2, ).
(1)求点A, B, C, D的直角坐标；
(2)设P为C上任意一点，求I PA 2+| PB2+| pq 2+l PD 2的取值范围.
［选修4-5:不等式选讲］
23. 设f (x) =|x| - |2x- 1|，记f (x)>- 1 的解集为M .
(1)求集合M ；
(2)已知a€ M，比较a2- a+1与■'的大小.
2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的■
1.
( 5分)设复数Z1 , Z2在复平面内的对应点关于实轴对称，Z i = 1+i，则Z i Z2=( ) A. 2 B.- 2 C. 1+i D. 1 - i
【解答】解：复数Z1，Z2在复平面内的对应点关于实轴对称，Z1 = 1+i，所以Z2=1 - i，
二Z1Z2= (1+i) (1 - i) =2.
故选：A.
2. (5分)设全集U=R,函数f(x)=lg(| x+1| - 1)的定义域为A,集合B={x| sin n x=0
则(？U A)G B的子集个数为( )
A. 7
B. 3
C. 8
D. 9
【解答】解：由|x+1| - 1 >0,得|x+1| > 1,即x v- 2或x>0.
••• A={x| x v - 2 或x> 0}，则?U A={x| - 2<x< 0};
由sin n x=0得：n x=k,n k€ Z，.°. x=k，k€ 乙
则B={x| sin n x=0={x| x=k，k€ Z，
则(？U A)G B={x| - 2<x<0} n {x|x=k, k€ Z}={ - 2，- 1，0}.
•( ?u A)n B的元素个数为3.
•( ?u A)n B的子集个数为：23=8.
故选：C.
3. (5分)函数f (x) =sin(3X©)(3> 0, 0v X n)的图象中相邻对称轴的距
离为三，若角©的终边经过点’「，则•的值为( ) A.二B.二C. 2 D. 二
【解答】解：由题意相邻对称轴的距离为2L,可得周期T=n 那么s =2
2
角©的终边经过点
• 「，在第一象限. 即 tan ©=-,
3 6
故得 f (x ) =sin (2x+
) 6 贝——=sin(——+
) =cos =•. 门 4 ' 2
6 6 2
故选：A 4. （5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班 50名学生的化学考试成绩,
图（二）的算法框图中输入的 a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的
m , n 分别是 6
7
8
9
否
367 X
() 1 233 689
001344667889
0 1224 566678 899
00244569
0 I 68
图—
A. m=38, n=12
B. m=26, n=12 C m=12, n=12 D. m=24, n=10
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成
绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80, 80, 81, 84, 84, 85, 86, 89, 90, 91 , 96, 98,共12 人，故n=12,
由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43, 46, 47, 48, 50, 51, 52, 53, 53, 56, 58, 59,共12 人，
则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50 - 12- 12=26, 故m=26
故选：B.
5. （5分）设不等式组• 3yX表示的平面区域为01,不等式（X+2）2+ （y-2）
2<2表示的平面区域为对于0中的任意一点M和①中的任意一点N,|MN|
的最小值为（）
A. 一
B. 一
C.匚
D. 匚
【解答】解：不等式组3y>z表示的平面区域为0,不等式（x+2）2+ （y-2）2< 2
表示的平面区域为02,如图：
对于0中的任意一点M和02中的任意一点N, |MN|的最小值就是可行域内的点O与圆的圆心连线减去半径，
所以，| MN|的最小值为：「- 7= "■.
故选：C.
6. (5分)若函数f (x) =1―的图象如图所示，贝U m的范围为( )
A. (-X,- 1)
B. (- 1, 2)
C. (0, 2)
D. (1, 2)
【解答】解：•••当x>0 时，f (x)> 0,二2- m>0，故m v2.
=二i 〕II
(K2+IO)2
T f (x)有两个绝对值大于1的极值点，••• m - /=0有两个绝对值大于1的解,
则该多面体各面的面积中最大的是
二m> 1. 故选：D.
俯视用
A. 11
B. J
C. J
D.-
【解答】解：由多面体的三视图得: 该多面体为如图所示的四棱锥P- ABCD
其中底面ABCD是边长为1的正方形，平面PAD丄平面ABCD
点P到平面ABCD的距离为1,
••• AB 丄平面PAD,：AB 丄PA
••• PA二 -「:
•••该多面体各面的面积中最大的是△ PAB的面积:
& PAf | = •
故选：C.
8. (5分)设等差数列｛a n｝的前n项和为S，且满足&oi4>0, S2015V 0,对任意正整数n,都有佝| >|比|，则k的值为( )
A. 1006
B. 1007
C. 1008
D. 1009
【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得S2014
2014 ( Bi + annij )
= 「■=1007 (a1007+a1008)> 0,
--&1007+&1008> 0
同理由S?015< 0 可得2015a1008< 0,可得a1008< 0,
二a1007>0, a1008<0,且| a1007| >| a1008|
•••对任意正整数n,都有|a n| >|Ok| ,
••• k的值为1008
故选：C.
9. (5 分)已知非零向量',',满足| —J=| J=4, (1- ) ? ( ■- ) =0,
若对每一个确定的',1 I的最大值和最小值分别为m, n，则m - n的值为( ) A.随| ：|增大而增大B.随|二|增大而减小
C.是2
D.是4
【解答】解：假设；=（4, 0）、b = （2, 2^5）、c = （x, y）,
T（二-）? （b - ）=0,
■'■（ 4 - x,- y）? （2 - x, 2 : - y）=x2+y2- 6x- 2Cy+8=0,
即（x- 3）2+ （y- ：）2=4,
•••满足条件的向量•的终点在以（3,二）为圆心、半径等于2的圆上，| |的最大值与最小值分别为m=2+2二，n=2二-2,
• m - n=4,
故选：D.
10. （5分）已知如图所示的三棱锥D-ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和厶DBC所在平面相互垂直，AB=3, AC=二,BC=CD=BD二牙，则球O的表面积为（）
A. 4 n
B. 12 n
C. 16 n
D. 36 n
【解答】解：：AB=3 AC=「, BC=2「,
•AB2+AC2=BC2，
•AC丄AB,
•△ ABC的外接圆的半径为 =,
•••△ ABC和△ DBC所在平面相互垂直，
•球心在BC边的高上，
设球心到平面ABC的距离为h,则h2+3=R2=（汇y仁-h）2,
• h=1, R=2,
•••球0的表面积为4nR =16n.
故选：C.
2 2
11. (5分)已知双曲线C :」•一 _i (a >0, b >0)的右顶点为A , 0为坐标
a 2
原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ,
Q ,若/PAQ=60,且 L- ■，则双曲线C 的离心率为( )
A .二 B.二 C.二 D.- 4 3 2
【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程
为 y=i\, A (a , 0),
P (m ,——),(m >0), a
由 n .：=3 I ：,可得 Q (3m ，二),
PQ 的中点为H (2m ,'"),
解得 m=「. , r=—
2c 2 c
则 |PQ=2「「=r , 即为d=「，即有-■? ■ ' 圆的半径为r=| PQ| =
-=2m ?,
由AH 丄PQ,可得 "
A 到渐近线的距离为d
可得h=--
e==:
故选C.
12. （5分）已知e 为自然对数的底数，若对任意的 x € [0,1]，总存在唯一的y € [ - 1,1]，使得x+y 2e y - a=0成立，则实数a 的取值范围是（
）
A . [1, e]
B . ： •丄二」
C . （1, e]
D . - 丄 J
E E 【解答】解：由x+y 2e y - a=0成立，解得/e y =a- x ，
•••对任意的x € [0，1]，总存在唯一的y € [ - 1，1]，使得x+y 2e y - a=0成立， ••• a - 1> （- 1） 2e - J 且 a - 0< 12x e 1，
解得•丄w a < e ，其中a=1+时，y 存在两个不同的实数，因此舍去，a 的取值 e e
范围是I .-. e
故选：B.
、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
令二二=0，求得r=2,故常数项为：｛亠\,可得a=1, 因 此 原 式 为 T 1J C x 2+x-h/4-K^) dx=2 f 証*"p/D)旳=2( J S 討4-/dx)
故答案为 13.（5分）已知 a >0,
-:■:展开式的常数项为15,则丨_ ；：：,=
：
—. 【解答】 解:
—■的展开式的通项公式为 y x 3r-6_ T r +1 = "? (- 1) r ?a 6-
r ?:.- >
+
14. (5分)设a, b € R,关于x, y的不等式| x|+| y| v 1和ax+4by>8无公共解, 则ab 的取值范围是[-16, 16].
【解答】解：关于x, y的不等式|x|+| y| v 1表示的可行域如图的阴影部分：可行域与坐标轴的交点坐标(1, 0), (0, 1), (0,- 1) , (- 1, 0),
关于x , y的不等式| x|+| y| v 1和ax+4by> 8无公共解，贝U ax+4by>8表示的范
围在可行域外侧，
当a>0 , b>0时满足题意,可得 > 1, ' > 1,可得0v ab< 16 ,
b a
当a>0 , b v0时满足题意,可得-<-1,二二卜,可得：-2<b v0 , 0v a<8
b a
可得-16< ab v 0 ,
当a v 0 , b>0时满足题意,可得打，E .;/-i ,可得：0v b< 2, - 8< a v 0
b a
可得-16< ab v 0 ,
当a v 0 , b v 0时满足题意，可得人'可得：-2w b v 0, —8w a
b a
v 0, ••• 0v ab< 16 ,
当ab=0时,不等式| x|+| y| v 1和ax+4by> 8无公共解；
故ab的取值范围是：[-16 , 16];
故答案为：[-16 , 16].
15. (5分)正项数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且2S 2 + a (n € N*),设
J"
xi
【解答】解：正项数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且.…
_
(n € N*)①,
整理得：an +1 - a n =1, 当n =1 时，•. |_ •「’，, 解得：a 1=1, 所以：数列｛外｝是以1为首项，1为公差的等差数列.
贝U a n =1+ n — 1=n ,
数列｛cn ｝的前2016项的和为：丁□厂_ J 書「一一…—匚亠打； =—1+ ,
2017 二 2016 =.
故答案为：：丄
2017
2 2
16. (5分)已知F 是椭圆C: +[ =1的右焦点，P 是C 上一点，A ( — 2, 1),
当厶APF 周长最小时，其面积为 4 .
2 2
【解答】解：椭圆C :于+1 =1的a=2 ", b=2, c=4, 设左焦点为F' ( — 4, 0),右焦点为F (4, 0).
△ APF 周长为 | AF|+| AP+I PF| =| AF|+| AP|+ (2a — | PF'| ) =| AF|+| AP| - | PF[+ 2a > | AF| - | AF'|+ 2a ,
则数列g ｝的前2016项的和为—「一
则:
2S
n+l = a n+l
2
+a
n+1
②,
②—①得: 2 a n+l = a n+l
则:
c =(-l )n£Vl 曲 ' 1J
2S n
所以:
1 nfl
当且仅当A, P, F'三点共线，即P位于x轴上方时，三角形周长最小.
此时直线AF'的方程为yJ（x+4）,代入x2+5y2=20中，可求得P（0，2）,
2
故S\APF=S PF'F—S^AF'F^ X 2 X 8—丄X 1 X 8=4.
2 2
三、解答题（本大题共5小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
17. （12分）△ ABC中，已知点D在BC边上，且石I Ln. F.-.-:，
■.-1 AB=3 • 尸
（I）求AD的长；
【解答】解：（I）由「・得到：AD丄AC,
所以zlil：< ' ' ■ I 1 I ' 「汀，
所以11-/1'. = " . ' . （2分）
在厶ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2—2AB?AD?cosBAD 即AD2-
8AD+15=0, （4分）
解之得AD=5或AD=3,
由于AB>AD,
所以AD=3. （6分）
“）在厶ABD中，由正弦定理可知，一二'■
sinBAD sinADB
又由11-："
可知二O1. （8分）
所以，（10分）
因为_:,
即! 1-1 - （ 12分）
18. （12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ ADE △ BCF
均为等边三角形，EF// AB，EF=AD=AB.
2
（1）过BD作截面与线段FC交于点N,使得AF/平面BDN,试确定点N的位置，并予以证明；
（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值.
【解答】解：（1）当N为CF的中点时，AF/平面BDN. 证明：连结AC交BD于M，连结MN .
•••四边形ABCD是矩形，二M是AC的中点，
••• N是CF的中点，
••• MN // AF,又AF?平面BDN，MN?平面BDN,
••• AF//平面BDN.
（2）过F作F0丄平面ABCD垂足为0,过0作x轴丄AB,作y轴丄BC于P, 则P
为BC的中点.
以0为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
,••• EF= ：.=1,A 0P= （AB- EF =,
••• AQ ,-色，0）, B （丄，丄,0）, C （-丄,
丄，0）, F （ 0, 0,返），N （-丄, 2 2 2 2
2 2 2 4
右弊
粧（0, 2, 0）, 7F =（-丄，丄，返），丽（-丄，-丄，返）.
2 2 2 4 4 4
设平面ABF 的法向量为& （x , y , z ）,贝讣丁呼°,
AF 二 0 '2y=0
•••” _1 卜3屮伍 _o ,令 z ^2得时=（2, 0,心j ）, •••・:匸-1, | ,|=乙 | *|| 二丰. •••COS—> 二-=-—•
|n||BN|
3
•直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值为|cos v 「，【1>| =-.
3
19. (12分)2015年7月9日21时15分，台风莲花”在我国广东省陆丰市甲东 镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌， 46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元.距离陆丰市222千米的梅州也 受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的
50户居民由于台风造
成的经济损失，将收集的数据分成 [0, 2000] , (2000, 4000] , ( 4000, 6000], (6000, 8000] , (8000, 10000]五组，并作出如下频率分布直方图：
(I)试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失
(同一组中的数
据用该组区间的中点值作代表)；
(U)小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款.现从损失超过
4000元的
居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过 8000元的居民为E 户，求
E
y
设 AD=1，贝U BF=1,
E 的分布列和数学期望；
(川)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的 50户居民捐 款情况如表，根据表格中所给数据，分别求 b ，c ，a+b ，c+d ，a+c ，b+d ，a+b+c+d 的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于 500元和自身经济 损失是否到4000元有关？
经济损失不超过 4000 元
经济损失超过 4000 元
合计
捐款超过 500元
a=30 b
捐款不超 过500元
c d=6
合计
【解答】解：
(I)记每户居
民的平均损
失为：，元，
贝■ = (1000X
0.00015+3000
X 0.0002+5000X 0.00009+7000 X 0.00003+9000X 0.00003)X 2000=3360 …(2 分) (U)由频率分布直方图，得：
损失超过4000元的居民有：
(0.00009+0.00003+0.00003)X 2000 X 50=15 户， ••• E 的可能取值为0, 1, 2，
P (K 2》k )
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
n(ad-bc)2
附：临界值表参考公式：，「
—)% 22 仁=)=■-=,
(C =)=〔’ = ：：,
% 35
匚2
仁=)=7，
V15
••• C的分布列为：
EC g'x =■■
(川)如图：
2 = ；「4.046> 3.841,
所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是
否4000元有关.…(12分)
20. (12分)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F (0, c) (c>0)到直线I: x -y- 2=0的距离为二设P为直线I上的点，过点P作抛物线C的两条切线
PA PB,其中A, B为切点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)当点P (x0, y0)为直线I上的定点时，求直线AB的方程；
(3)当点P在直线I上移动时，求|AF?|BF的最小值.
【解答】 解：(1)焦点F ( 0 , c ) ( c > 0)到直线I : x - y - 2=0的距离 ：
，解得c=1,
V2 V2 2 所以抛物线C 的方程为x 2=4y .
(2)设.11 .・.•，「「，•・• 由(1)得抛物线C 的方程为，.
:■，即…-
，'.，
2
又因为切线PA 的斜率为.-，整理得丁 =二...丄」
1 2丄2
j K 1 ^T X 2 K i
K n
直线AB 的斜率「-
K I£
4
2
所以直线AB 的方程为7— r ,,・：，：，：：，
整理得…一「….+匸，即
「■「： ^，
因为点P (X o ，y o )为直线I : X - y - 2=0上的点，所以x o - y °- 2=0，即y o =x o - 2, 所以直线AB 的方程为x o x - 2y - 2y o =o .
(
3)根据抛物线的定义，有|,「
^・.|，11 “ | ^「|，
所
以
L." I ■ ■ ■ ：1 ■： ■ I ,
| I ： T ・：
=
由(2) 得 x i +X 2=2x o ，x i x 2=4y o ， x o =y o +2， 所
以
1 2、
丁2)'
1 2
4 x 1
所以
切线所以 PA: 丁―..；-亠「：.①PB:
+ Xn 联立①②可得点P 的坐标为'1 1 ■丄几即
I.. ' I ■' ' I : I ■：I :' ■丁■ ■■ 11 ■■■ | - :
I v ■■■ | : = 所以当坯二丄时，|AF?|BF的最小值为2.
2 2
21. (12 分)已知函数f (x) =7 +be「x,点M (0, 1)在曲线y=f (x)上, e K+l
且曲线在点M处的切线与直线2x- y=0垂直.
(1)求a, b的值；
(2)如果当X M 0时，都有f (x)>—-—+ke「x,求k的取值范围.
J-1
【解答】解：(1) f (x) =「：+be「x的导数为
e x+l
f (x)= "
Ce x+1)2
由切线与直线2x- y=0垂直，可得
f (0) =1, f(0) =- i ,
即有b=1, —a - b=- - ,
2 2
解得a=b=1；
(2)当X M0 时，都有 f (x)>—+ke-x,
e x-l
即为+e-x>_^+ke- x,
1+J e x-l
即有(1 - k) e-x> J ，即 1 - k> —
e -1 e -e
可令g (x) =「：’十，g (-x) = _「.广g(x),
/-已花 e x-e x
即有g (x)为偶函数，只要考虑x>0的情况.
由g( x)- 1= • ；,
e x
x>0 时，e x>e x,
由h (x) =2x- e x+e- x, h' (x) =2-( e x+e- x)< 2- 2 =0,
则h (x)在x>0 递减，即有h (x)v h (0) =0,
即有g (x)v 1.
故 1 - k > 1,解得 k < 0. 则k 的取值范围为（-K ,
0］.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .［选
修4-4 :坐标系与参数方程］
22. （10分）选修4 - 4;坐标系与参数方程
已知曲线G 的参数方程是（x=2cos0 （ ©为参数）,以坐标原点为极点，x 轴的 I y=3sin0 正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C 2的坐标系方程是P =2正方形ABCD 的顶点都 在C 2上，且A ，B c, D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2,中. （1） 求点A , B, C, D 的直角坐标；
（2） 设P 为C 上任意一点，求I PA 2+| PB 2+| pq 2+l PD 2的取值范围.
（2,手），（2,誓），（2,弓），（2,弓）
3 6 3 6 点A , B , C , D 的直角坐标为1
'■-厂.|-- 1
x n =2cos0
(2)设P (x o , y o ),贝,
水(©为参数)
y (p3sinT
t=| PA 2+| PB 2+| PC 2+I PD| 2=4x 2+4y 2+16=32+20sin 2 © 2 ••• sin 2
©€ [0, 1] ••• t € [32, 52]
［选修4-5:不等式选讲］
23. 设 f (x ) =|x| - |2x - 1|，记 f (x )>- 1 的解集为 M . （1）求集合M ;
（2）已知a € M ，比较a 2- a+1与丨的大小.
a
旷1,
(1) f (X )= |l | -|2X-1 X 弘 1 ”
一工+1 »
【解答】解：（1 ）点 A , B , C , D 的极坐标为
【解答】
解:
>f sr —1 V I I 77畀l v —1 玮 M H X 0 A X A . (2)>( 1)a O A a A N S R 口r m +l —H %—％盂—1 “(a —l )lr 昇一)〉 M O A a A 二严 金—一)
1?昇一) <
戸 淳壬 ％—口+一八一 一 a a M a A 胃〉lp —1 二卜1
】o 淳壬 a r a +l H l-; a 口 M 」八艮2于(气一二九+匚V P 淳壬％—a+lvl. a 口 ^k ^K i M o A a A I H ^^l n +l A H j □ M
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+l M H s 口 氐」八3八2于备—0+1V L。