2020届陕西省宝鸡市金台区高三教学质量检测数学(文)试题(解析版)

2020届陕西省宝鸡市金台区高三教学质量检测数学（文）试
题
一、单选题
1．已知集合{}|2A x x =>-，1|2⎧
⎫=<⎨⎬⎩
⎭B x x ，则A B =I （ ）
A ．1,
2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．(2,)-+∞
C ．∅
D ．12,
2⎛⎫- ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】根据交集定义求解. 【详解】
{}1|22,21|2A x x B x x ⎧
⎛⎫=>-⎫<=⎨⎬⎩
-⎭⎭ ⎪⎝I I
故选：D 【点睛】
本题考查交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．设i 是虚数单位，复数(2)z i i =-，则z =（ ） A ．12i + B ．12i -
C ．12i -+
D ．12i --
【答案】B
【解析】先化简复数，再根据共轭复数概念得结果. 【详解】
(2)1212z i i i z i =-=+∴=-Q
故选：B 【点睛】
本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
3．已知向量(1,2),(2,2)=-=-r r a b ，则||a b -=r
r （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
【答案】D
【解析】先求a b -r
r
，再根据模的坐标表示得结果. 【详解】
|||(3,4)|5a b -=-==r
r
故选：D 【点睛】
本题考查向量的模，考查基本分析求解能力，属基础题.
4．某英语初学者在拼写单词“steak ”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a ”、“e ”、“k ”三个字母组成并且“k ”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为（ ）. A ．
16
B ．
14
C ．
13
D ．
12
【答案】B
【解析】根据题意列举出满足题意的字母组合，即可求出结果. 【详解】
满足题意的字母组合有四种，分别是eka ，ake ，eak ，aek ，拼写正确的组合只有一种eak ，所以概率为1
4
p =. 故选B. 【点睛】
本题主要考查古典概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.
5．从A 地到B 地有三条路线：1号路线，2号路线，3号路线.小王想自驾从A 地到B 地，因担心堵车，于是向三位司机咨询，司机甲说:“2号路线不堵车，3号路线不堵车，”司机乙说:“1号路线不堵车，2号路线不堵车，”司机丙说:“1号路线堵车，2号路线不堵车.”如果三位司机只有一位说法是完全正确的，那么小王最应该选择的路线是（） A ．1号路线 B ．2号路线
C ．3号路线
D ．2号路线或3
号路线 【答案】B
【解析】分别假设甲、乙、丙说得对，分析出有矛盾的说法，由此得出正确结论. 【详解】
①若甲说得对，则2号路线，3号路线都不堵，由于乙是错误的，所以1号路线堵车，这样丙也说得对，这与只有一人说法正确矛盾；
②若乙说得对，则1号路线，2号路线都不堵，由于甲是错误的，所以3号路线堵车，此时丙也是错误的，符合条件；
③若丙说得对，则1号路线堵车，2号路线不堵，由于甲是错误的，所以3号路线堵车，此时乙也是错误的，符合条件综上所述，由于②③中都有2号路线不堵，所以小王最应
该选择2号路线. 故选B. 【点睛】
本题考查逻辑与推理，考查推理论证能力和创新意识，属于基础题. 6．设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a b c ＜＜ B ．
a c
b ＜＜ C ．b a
c ＜＜
D ．b c a ＜＜
【答案】C
【解析】由0.6x y =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又
0.61.51>，故选C .
【考点】1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.
7．下列命题正确的是（ ）．
A ．过平面外一点有无数条直线与这个平面垂直
B ．过平面外一点有无数个平面与这个平面平行
C ．过平面外一点有无数个平面与这个平面垂直
D ．过平面外一点只有一条直线与这个平面平行 【答案】C
【解析】根据线面位置关系逐一验证 【详解】
过平面外一点有一条直线与这个平面垂直，所以A 错误； 过平面外一点有一个平面与这个平面平行，所以B 错误； 过平面外一点有无数条条直线与这个平面平行，所以D 错误； 过平面外一点有无数个平面与这个平面垂直，所以C 正确， 选C. 【点睛】
本题考查线面平行与垂直关系判断，考查基本分析论证判断能力，属中档题
8．已知函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪
⎝⎭的一个零点是4π，且在0,4π⎛⎫
⎪⎝⎭
内有且只有两个极值点，则（ ） A ．()sin 4f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
B ．()sin 34f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
C ．()sin 74f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
D ．()sin 114f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
【答案】C
【解析】根据正弦函数的单调性，逐项判断函数的单调性，求出极值点，即可得出结果. 【详解】
A 选项，因为()sin 4f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
在0,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
内为增函数，无极值点；不满足题意； B 选项，由232,2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈得
22,43123k k x k Z π
πππ
-
+
≤≤+∈；
由3232,242k x k k Z πππππ+≤+≤
+∈得252,123123k k x k Z ππππ
+≤≤+∈； 所以函数()sin 34f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
在0,
12π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,124ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减； 故()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭在04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，内有一个极值点12π
；不满足题意；
C 选项，由272,2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈得
322,287287k k x k Z ππππ
-
+≤≤+∈； 由3272,242k x k k Z πππππ+≤+≤
+∈得252,287287k k x k Z ππππ
+≤≤+∈； 所以函数()sin 74f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
在0,
28π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增，在5,2828ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，在,284ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增； ()sin 74f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭在04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，内有极大值点28π，极小值点为528π，满足题意；
D 选项，由2112,2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈得
322,44114411k k x k Z ππππ
-
+≤≤+∈； 由32112,242k x k k Z πππππ+≤+≤
+∈得252,44114411k k x k Z ππππ
+≤≤+∈； 所以函数()sin 114f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
在0,
44π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增；在5,4444ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，在
59,4444ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，在9,444ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减， 所以()sin 114f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
在04π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，内有三个极值点
44
π
，
544π，944
π，不满足题意. 故选C 【点睛】
本题主要考查三角函数的性质，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.
9．若抛物线2
4(0)=>y px p 的焦点是双曲线
22
13-=x y p p
的一个焦点，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8
【答案】C
【解析】先求抛物线焦点，再根据双曲线焦点列方程，解得结果. 【详解】
因为2
4(0)=>y px p 的焦点是(,0)p ，双曲线
22
13-=x y p p
的焦点是(
所以4p p == 故选：C 【点睛】
本题考查抛物线焦点以及双曲线焦点，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．已知曲线()cos 3f x x x x =+在点()()
0,0f 处的切线与直线210ax y ++=垂直，则实数a 的值为（ ） A ．-4 B ．-1
C ．
1
2
D ．4
【答案】C
【解析】先求导数得切线斜率，再根据切线方程列等量关系，解得结果. 【详解】
()()()''cos 3cos sin 304f x x x x f x x x x f =+⇒=-+⇒=.
因为曲线()cos 3f x x x x =+在点()()
0,0f 处的切线与直线210ax y ++=垂直， 所以14()122
a a ⨯-=-∴= 故选：C 【点睛】
本题考查导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 11．已知0,
,2⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
πα 1cos 22sin 2,-=αα则sin α=（ ）
A ．
B C ．
15
D 【答案】A
【解析】根据二倍角正余弦公式化简,再根据平方关系求得结果. 【详解】
21cos 22sin 2,2sin 4sin cos ααααα-=∴=Q 0,,sin 2cos 2πααα⎛⎫
∈∴= ⎪⎝⎭
Q
2224sin cos 1sin ,0,sin 525πααααα⎛⎫+=∴=∈∴= ⎪⎝⎭
Q Q 故选：A 【点睛】
本题考查二倍角正余弦公式以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
12．已知1F 、2F 是双曲线222:14y x M m -=的焦点，y x =是双曲线M 的一条
渐近线，离心率等于
3
4
的椭圆E 与双曲线M 的焦点相同，P 是椭圆E 与双曲线M 的一个公共点，则12PF PF ⋅=（ ） A ．8 B ．6 C ．10 D ．12
【答案】D
【解析】利用1F 、2F 是双曲线222:14y x M m -=的焦点, y x =是双曲线M 的一
条渐近线，离心率等于
3
4
的椭圆E 与双曲线M 的焦点相同，求出椭圆的长轴长，再利用椭圆、双曲线的定义，即可得出结论． 【详解】
解：由题意，2m m =∴=∴双曲线22:
145y x M -=∴1F （0，−3），2F （0，
3）， ∵离心率等于
3
4
的椭圆E 与双曲线M 的焦点相同，∴3,4,7c a b ===, ∵P 是椭圆E 与双曲线M 的一个公共点，12128,4PF PF PF PF ∴+=-=,
1212,PF PF ∴⋅= 故选：D ．
【点睛】
本题考查椭圆、双曲线的定义，考查学生的计算能力，确定椭圆的长轴长是关键．
二、填空题
13．如图，ABC ∆及其内部的点组成的集合记为D ,(,)P x y 为D 中任意一点，则34z x y =+的最大值为________．
【答案】10
【解析】视D 为可行域，则根据目标函数所表示直线，结合图形确定最优解，代入求得结果. 【详解】
D 为可行域，则34z x y =+表示直线，当此直线过点A 时截距最大，即z 取最大值：324110⨯+⨯=，
故答案为：10 【点睛】
本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是________．
【答案】③
【解析】根据对立事件定义逐一判断选择. 【详解】
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数不是互斥事件，也不是对立事件； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数不是互斥事件，也不是对立事件； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数是互斥事件，也是对立事件； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数不是互斥事件，也不是对立事件； 故答案为：③ 【点睛】
本题考查对立事件定义，考查基本分析判断能力，属基础题.
15．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为60A =o ，
2c b =，则a =________．
【答案】6
【解析】先根据三角形面积公式求得,b c 关系，与2c b =联立解得,b c ，最后根据余弦定理求结果. 【详解】
因为ABC ∆的面积为，所以
1sin 2423
bc bc π
==
2c b c b =∴==Q
2221
2cos
124823663
2
a b c bc a π
∴=+-=+-⨯=∴= 故答案为：6 【点睛】
本题考查三角形面积公式以及余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.
16．如下图所示，用一个边长为的正方形硬纸板，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为________．
【答案】
312
+ 【解析】先确定蛋巢四个小三角形直角顶点所形成平面到球心距离，再加上此平面到底面距离即可. 【详解】
由题意得蛋巢四个小三角形直角顶点围成一个正方形，对角线长为1，
因为表面积为4π的球半径为1，所以球心到蛋巢四个小三角形直角顶点所形成平面距离为213
1()2-=
又小三角形直角顶点到底面距离为
1
2
，所以鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为312
+ 故答案为：3122
+ 【点睛】
本题考查球表面积以及球截面，考查基本分析求解能力，属基础题.
三、解答题
17．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等，AC BD O =I ，
11111A C B D O ⋂=，四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形．
（1）证明：1O O ⊥底面ABCD ；
（2）设四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长为a ，若60CBA ∠=o ，求四棱锥11O BCC B -的体积．
【答案】（1）证明见解析 （2）
3
12
a 【解析】（1）先根据矩形性质得线线垂直，再根据线面垂直判定定理得结果； （2）先确定四棱锥11O BCC B -的高，再根据锥体体积公式求结果. 【详解】
解：（1）证明：因为四边形ACC 1A 1为矩形，所以CC 1⊥AC .同理DD 1⊥BD . 因为CC 1∥DD 1，所以CC 1⊥BD . 而AC ∩BD ＝O ，因此CC 1⊥底面ABCD . 由题设知，O 1O ∥C 1C ，故O 1O ⊥底面ABCD .
（2）由（1）知四边形11BCC B 为正方形，其面积为2a ，
点O 到平面11BCC B 的距离为12d =
=，
故1123
1133O BCC B V Sh a -==⨯= 【点睛】
本题考查线面垂直判定定理以及锥体体积公式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.
18．在等差数列{}n a 中，1617a a +=-，2723a a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}2n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S .
【答案】（1）32n a n =-+（2）()1312n
n S n n =--+
【解析】（1）根据条件列关于首项与公差的方程，解得结果代入等差数列通项公式得结果；
（2）先根据等比数列通项公式得1
22n n n a b -+=，解得{}n b 通项公式，再根据分组求
和公式得结果. 【详解】
解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()271626a a a a d +-
+==-，
∴3d =-.
∴2712723a a a d +=+=-，解得11a =- ∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+；
（2）∵数列{}2n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，
∴122n n n a b -+=，即1642n n n b --++=. ∴1
642n n b n -=-+.
∴()(
)2
1
2814641222
n n S n -⎡⎤=++++-+++++⎣⎦L L
()()
21311222n n n -=-+++++L . ∴()()123131212
1n n n S n n n n -=-+=-+--.
【点睛】
本题考查等差数列通项公式、等比数列通项公式以及分组求和公式，考查综合分析求解能力，属中档题.
19．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(195，210]内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图 图1：乙流水线样本频率分布直方图
表1：甲流水线样本频数分布表 质量指标值 频数 (190，195] 9 (195，200]
10
（1）根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数和平均数（估算平均数时，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出的不合格品约多少件？ 【答案】(1)中位数
3900
19
，平均数204.5 (2)1500,1000 【解析】（1）根据中位数定义列式求解，再根据组中值求平均数；
（2）先根据古典概型概率分别求甲、乙不合格品概率，再根据概率估计不合格品件数. 【详解】
解：（1）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ，
因为0.48＝(0.012＋0.032＋0.052)×
5<0．5<(0．012＋0．032＋0．052＋0．076)×5＝0.86， 则(0.012＋0.032＋0.052)×
5＋0.076×(x －205)＝0.5，解得x ＝3900
19
． 平均数估计为：0.012×5×192.5＋0.032×5×197.5＋0.052×5×202.5+0.076×5×207.5＋0.028×5×212.5=204.5
（2）由甲、乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件， 则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为 P 甲＝
15
50＝310
， 乙流水线生产的产品为不合格品的概率为 P 乙＝(0．012＋0．028)×
5＝1
5
， 于是，若某个月内甲、乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲、乙两条流水线生产的不合格品件数分别约为：5000×3
10＝1500，5000×15
＝1000． 【点睛】
本题考查根据频率分布直方图求中位数、平均数及概率，考查基本分析求解能力，属基础题.
20．已知点(1,2
A -在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，O 为坐标原点，直线l ：
22
12x a b
-=的斜率与直线OA 的斜率乘积为14- （1）求椭圆C 的方程； （2）不经过点A 的直线l
：y x t =
+（0t ≠且t R ∈）与椭圆C 交于P ，Q 两点，P 关于原点的对称点为R （与点A 不重合）
，直线AQ ，AR 与y 轴分别交于两点M ，N ，求证：AM AN =.
【答案】（Ⅰ）2
214
x y +=（Ⅱ）见解析
【解析】（Ⅰ）根据椭圆的中点弦所在直线的斜率的性质，得到221
4
OA l b k k a ⋅=-=-，
得到224a b =，再结合椭圆所过的点的坐标满足椭圆方程，联立方程组，求得
2,1a b ==，进而求得椭圆的方程；
（Ⅱ）将直线方程与椭圆方程联立，消元，利用韦达定理得到两根和与两根积，将证明结果转化为证明直线AQ ，AR 的斜率互为相反数，列式，可证. 【详解】
（Ⅰ
）由题意，22121
24OA b k k a ⋅=-=-=-， 即224a b =① 又
221314a b
+=② 联立①①解得21a b =⎧⎨=⎩
所以，椭圆C 的方程为：2
214
x y +=.
（Ⅱ）设()11,P x y ，()22,Q x y ，()11,R x y --
，由222
14
y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，
得2210x t +-=，
所以240t ∆=->，即22t -<<， 又因为0t ≠，所以，()()2,00,2t ∈-⋃，
12x x +=，2
121x x t ⋅=-，
解法一：要证明AM AN =，可转化为证明直线AQ ，AR 的斜率互为相反数，只需证明0AM AN k k +=，即证明0AQ AR k k +=
.
12122211AQ AR
y y k k x x +
+=++-
(
)()()()
1221121111y x y x x x ⎛⎛-+++ ⎝⎭⎝⎭=
+-
∴(
)()()()
122
1121111x t x x t x x x +--+++⎝⎭⎝⎭=
+-
(
)()()
12121211x t x x x x ++=
+-
)(
)
()()
2121011t t x x -+=
=+-
∴0AM AN k k +=，∴AM AN =.
解法二：要证明AM AN =，可转化为证明直线AQ ，AR 与y 轴交点M 、N 连线中点S
的纵坐标为AS 垂直平分MN 即可. 直线AQ 与AR 的方程分别为：
()222:11AQ y l y x x +
+=--
，()112:11
AR y l y x x -+
=---， 分别令0x =
，得
2221M y y x --
=
-
1121N
y y x -+
=+
而
21212211
M N y y y y x x --
-++=
+--+
M N y y +=
2M N S y y y +=
=，即AS 垂直平分MN . 所以，AM AN =. 【点睛】
该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，用到的结论有椭圆中点弦所在直线的斜率的特征，再者就是直线与椭圆相交的综合题，认真审题是正确解题的关键，注意正确的等价转化.
21．已知函数2()ln ||f x x x =．
（1）判断函数()f x 的奇偶性并求当0x >时函数()f x 的单调区间；
（2）若关于x 的方程(x)kx 1f =-在0x >范围内有实数解，求实数k 的取值范围． 【答案】(1) 偶函数．递增区间是12
(,)e -+∞，递减区间是12
(0,)e
-．(2) )1,⎡
+∞⎣ 【解析】（1）先求定义域，再根据偶函数定义进行判断；求导数，再求导函数零点，根据零点确定导函数符合即得函数单调区间；
（2）先分离变量，转化为求对应函数值域，利用导数研究新函数单调性，确定函数值域，即得结果. 【详解】
解：（1）Q 函数()f x 的定义域为{|x x R ∈且0}x ≠，且
22()()ln ()ln f x x x x x f x -=--==，
()f x ∴为偶函数．
当0x >时，2
1
()2ln (2ln 1)f x x x x x x x
'⋅
=+=⋅+． 若1
20x e -<<，则()0f x '<，()f x 递减； 若1
2x e ->，则()0f x '>，()f x 递增．
得()f x 的递增区间是1
2(,)e -+∞，递减区间是1
2(0,)e -． （2）由(x)kx 1f =-，得：1
ln x x k x
+=(0)x >． 令1
()ln g x x x x
=+
(0)x >． 当0x >，22211
()ln 1ln x g x x x x x
-'=+-=+，显然g '（1）0=．
当01x <<时，()0g x '<，()g x 为减函数；当0x >时，()0g x '>，()g x 为增函数．
0x ∴>时，()min g x g =（1）1=．
()g x ∴的值域为)1,⎡+∞⎣．
∴若方程(x)kx 1f =-在0x >范围内有实数解，则实数k 的取值范围是)1,⎡+∞⎣ ．
【点睛】
本题考查函数奇偶性、利用导数求函数单调性以及利用导数研究函数有解问题，考
查综合分析求解能力，属较难题.
22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>；直线l
的参数方程为
22x y ⎧=-+
⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）若点P 的极坐标为(2,)π
，||||PM PN +=a 的值．
【答案】(1) 曲线C 的直角坐标方程为即()()2
2
211x a y a -+-=+，直线l 的普通
方程为2y x =+；（2）2a =.
【解析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线l 的普通方程，极坐标方程两边同乘以ρ利用2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 即可得曲线C 的直角坐标方
程；（2）直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果. 【详解】
（1）由()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>，得()2
2sin 2cos 0a a ρρθρθ=+>，
所以曲线C 的直角坐标方程为22
22x y y ax +=+，
即()()2
2
211x a y a -+-=+， 直线l 的普通方程为2y x =+.
(2)将直线l
的参数方程2,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入22
22x y y ax +=+并化简、整理，
得()
2
440t t a -++=. 因为直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．
所以()
()2
Δ4440a =-+>，解得1a ≠.
由根与系数的关系，得12t t +=，1244t t a =+. 因为点P 的直角坐标为()2,0-，在直线l 上.
所以
12PM PN t t +=+==
解得2a =，此时满足0a >.且1a ≠，故2a =.． 【点睛】
参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式
cos sin x y ρθρθ=⎧⎨
=⎩，222
tan x y y x
ρθ⎧+=⎪
⎨=⎪
⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题． 23．已知函数()12()f x x x m m R =-++∈. （1）若2m =时，解不等式()3f x ≤；
（2）若关于x 的不等式()23f x x ≤-在[0,1]x ∈上有解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）4
{|0}3
x x -
≤≤；（2）32m -≤≤. 【解析】试题分析：
（1）当2m =时，不等式为1223x x -++≤，根据分类讨论解不等式即可．（2）由题意可得当[]0,1x ∈时，22x m x +≤-有解，即[]
2230,1x m x x 在--≤≤-∈上有解，故只需（()min max 2)23x m x --≤≤-，由此可得结论． 试题解析：
（1）当2m =时，不等式为1223x x -++≤，
若1x ≤-，则原不等式可化为412233x x x -+--≤≥-
，解得，所以4
13
x -≤≤-； 若11x -<<，则原不等式可化为12230x x x -++≤≤，解得，所以10x -<≤； 若1x ≥，则原不等式可化为2
12233
x x x -++≤≤，解得，所以x ∈Φ． 综上不等式的解集为4
{|0}3
x x -
≤≤． （2）当[]
0,1x ∈时，由()23f x x ≤-，得1232x x m x -++≤- 即22x m x +≤-
故222223x x m x x m x -≤+≤---≤≤-，解得， 又由题意知（()min max 2)23x m x --≤≤-，
所以32m -≤≤．
故实数m 的取值范围为[]
3,2-．。