线性代数课件 矩阵理论基础2

1 1 , C 2 3 3
3 0 , 1
求矩阵 X 使其满足
AXB C .
1 A 2 3
A
1
2 2 4
1
3 1 2 0, 3
B
2 5
1 3
1 0,
,B
都存在 .
-12-
A
1
2 1 3 2 2
6 6 2
它的逆矩阵存在吗？
假设A 的逆矩阵存在记作B ,则
AB BA E2 | AB || E2 | 1
而由已知得
| A | 0 | A || B || AB | 0
故矛盾,所以A的逆矩阵不存在.
-5-
定理2.3.1
A 可逆 A 0 ，且当A可逆时，
A
1

1 | A|
A
A
1
A23 A24
0 0 0 0 0 0
A34
0 0 0 0

0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0

0 0

-10-
kc
3
1 0 0 0 1 0 0 0 1
推论1
设 A , B 为方阵 , 如 AB E （或 BA E ）, 则 B A
1
证
AB E A 0 A
AB E 两边左乘 A
1
1
存在
即得证 .
推论表明的含义（P.49）
-11-
例4
设
1 A 2 3
2 2 4
3 2 1 , B 5 3
A
1
BA
1 2 2 1
1 . 2
-4-
1 1 0 0
0 , 1
所以
0 1
事实上， 设B、C都是A的逆，则
AB=BA=E AC=CA=E
逆矩阵是 唯一的
从而，
思考 解
B=BE=BAC=EC=C
1 A 2 2 4
E
k ri
E ( i ( k ))
j
E
r i kr
E ( i , j ( k ))
-25-
1 0 0
0 1 0
0 0 1
r1 r 3
0 0 1
1 1 0 0 0 E (1,3) 0
c1 c 3
1 0 0
0 1 0
3 5 . 1
-14-
例5
设方阵B为幂等矩阵，
（即 B 2 B ，从而对正整数k， k B ） B
A E B , 证明：A是可逆矩阵，且 1 1 A 3E A 2 证明 A 1 3 E A 1 E B 3E A 2 2 1 1 E B 3E E B E B 2E B 2 2 1 1 2 2E B 2B B 2E B 2B B E 2 2 1 1 A 3E A 2
2
(C 2 E ) (C 2 E ) 2 E 0
1 4 ( A 2 E )(3 E A) E
1
C (5 E C ) E
(A 2E )

1 4
(3 E A)
-17-
例7
设 A , B 和 A+B 均可逆 ,
B
1
证明 A 1 证
也可逆,并求其逆.
1
( 1 ) A 可逆 A
可逆 , 且 ( A
1 1
)
A
1
( 2 ) A 可逆 , k 0 kA 可逆 , 且 ( kA )
( 3 ) A , B 同阶可逆
T

1
1 k
A
1
AB 可逆 , 且 ( AB )
T
B
1
A
1
( 4 ) A 可逆 A 可逆 , 且 ( A
12424矩阵的秩与矩阵的等价标准形矩阵的秩与矩阵的等价标准形23可逆矩阵2222n阶阶方阵的方阵的行列式行列式2121矩阵的运算矩阵的运算25分块矩阵26线性方程组解的存在性定理cramer法则鼻粘膜细胞上有很多微细绒毛因此大大增大了药物吸收的有效面积粘膜细胞下有着丰富的血管和淋巴管药物通过粘膜吸收后可以直接进入体循环减少了药物发挥功效的时间
2 A , C 可逆， A C 0
0 可逆，但 1
A
1
C
1
(A C )
1
-22-
例8 解
设A为3阶方阵 ,
A

A
1
1 2
, 求
(2 A)
1
5A

A A
1
1


1 2
A
1 2
(2 A)
5A

A
1

5 2
A
1
2A
1
(2)
A ad bc 0
A可逆
A
1
1 A 11 A A 12
2 A 1 0 1
A 21 1 d A 22 ad bc c
1
A
1
1 0 2 1
例 设
1 A 1 1 1 2 , B 1 1 2 1 2 , 1 2
.
AB BA E ,
B 是 A 的一个逆矩阵
例
设
2 A 0
0 3
A
1
1/ 2 0
0 1 / 3
-2-
例
设
2 A 1
第二章 矩阵理论基础
§2.1 矩阵的运算 §2.2 n阶(方阵的)行列式
§2.3 可逆矩阵
§2.4 矩阵的秩与矩阵的等价标准形
§2.5 分块矩阵
§2.6 线性方程组解的存在性定理· Cramer法则
-1-
§2.3 可逆矩阵
定义 对于n阶矩阵A, 如果有一个n阶矩阵B, 使得
AB BA E
则说矩阵A是可逆的, 并把矩阵B称为A的逆矩阵.
-3-
2a c 2b d a b
1, 0, 0, 1,
a 0, b 1, c 1, d 2.
又因为
AB
2 1 1 0 0 1 1 0 2 1
E (A
)
1 A
A
(A )
1
(A
1
)
-21-
注：
例如：
(A B)
1
A
1
B
1
1 A 0
0 1 ， B 1 0
0 1 ， C 1 0 0 不可逆 0
0 2
A , B 可逆，但
2 A B 0
*
证 ( )
设 AB
E
, 由行列式乘法定理
A B E 1 A 0
( )
设
得
A 0
，由
A
1
A( 1 A
1 A
A )(


1 A
A )A E

A
当
A 0
时,A称为奇异矩阵,否则称为非奇异矩阵.
-6-
该定理也给出了求逆矩阵的方法之一。
例1
a A c
b d
0 0 1
1 0 0 1 0 0
0 1 0
0 0 1 0 0 1
kr 3
1 0 0 0 1 0 0 0 k E ( 3( k )) 1 0 k 0 1 0 0 0 1
)
1
(A
1 T
)
( 5 ) A 可逆 A
( 6 ) A 可逆 A
1

1 A

可逆 , ( A )
1
(A
1
)
-20-
(A )
1
(A
1
)
证
A 可逆 A

A A
1
可逆
(A )
1
1

1 A
A
1 1
(A
)( A
1
) A
3 3 0 5 1
1 0 0
1 3 2 5 2
2 1 10 2 10
1 4 4
-13-
例
解矩阵方程
1 1 1
1 1 0 2 1 0 2 0 1 1 1 2


-15-
例6
设方阵 A 满足
A
2
A 2E O,
证明 A 和 A+2E 都可逆 , 并求其逆.
证
A
2
A 2 E O A( A E ) 2 E
1 1 1 A ( A E ) E A (A E) 2 2
A
2
A 2E O A
1
A B A( E A A
1 1
B ) A(B
1 1 1
A
1
)B
B
1
A )
1
( A B )B
(A
B
1 1
B(A B)
A
3
例(08年考研)设 A 为n阶非零矩阵，若 A
0
,则问
E－A和E+A是否可逆？
-18-
性质
(P.49)
A 0 A

0
)
A 0
(2) 如果
AA

A 0

, 由(1)结论成立. 如果
n
,
AE A A
A
A

A
n1
-24-
用初等变换求逆矩阵
定义 把单位矩阵分别作第一、第二、第三种初等
行变换得到的矩阵分别称为第一、第二、第三种初等 矩阵。 记号
E
ri r j
E (i, j)
1 , 0
求 A 的逆阵 .
解
a b 利用待定系数法 A 的逆矩阵, 设 B 是 c d 2 AB 1 1 a 0 c b 1 d 0 0 1 0 1
则
2a c a
2b d 1 b 0
A
1
2 1 3 2 2
6 6 2
4 5 2
-8-
例3
a1 A
a2
an
A 可逆 A 0 a i 0 ( i 1 , , n )
a1 1
A
3
1 A
16
-23-
例9
设 A 为 n 方阵 , 证明
(1 ) A 0 A

0
(2)
A

A
n1
证 假设
(A )
(1) 如果 A=O, 则结论显然成立.如果A≠O, 反证:
A

0
,则 A 可逆,由 AA
AE O
两边右乘
1
得A=O , 矛盾.
(注:结合上例题
1
4 5 , 2
1
B
1
3 5
1
1 , 2

1 2
由 AXB C A
AXBB
6
A
4 5 2
CB
1
2 1 1 1 3 X A CB 2 2
6 2
1 2 3
2
2 A 3 A 6 E 4 E
A( A 2 E ) 3( A 2 E ) 4 E ( A 3 E )( A 2 E ) 4 E
(A 2E )
1

1 4
(3 E A)
-16-
法二(待定系数法) 带入方程可得
1 4
令C A 2 E A C 2 E
5 3 X 4 1
3 4 ; 5 2 1 1
2 ; 4
1 2 X 1 2 1 3 1 2
1 1 1 1 1 1
1 0X 1
1 1 3
1 4 0 0 1 2
1 2
-7-
例2
求A的逆矩阵
1 A 2 3
2 2 4
3 1 3
1 A 2 3
2 2 4
3 1 2 0 3
A
1
存在 .
A 11
2 4
1 3
2,
A 12
2 3
1 3
3,
A 13 2 , A 21 6 , A 22 6 , A 23 2 , A 31 4 , A 32 5 , A 33 2 ,
1
a2
1

1 an
-9-
思考:上(下)三角矩阵的逆矩阵仍是上(下)三角矩阵.
A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A 11 1 A12 A A13 A14 A 21 A 22 A 31 A 32 A 33 A 41 A 42 A 43 A 44