福建初三初中数学期中考试带答案解析

福建初三初中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（）
A．B．C．D．任何实数
2.下列计算正确的是（）
A．
B．
C．
D．
3.方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）
A．2、4、－3B．2、－4、3
C．2、－4、－3D．－2、4、－3
4.用配方法解方程，下列配方正确的是（）
A．B．
C．D．
5.若则下列各式中不正确的是（）
A．B．C．D．
6.顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是（）
A．矩形B．菱形C．正方形D．不能确定7.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（）
二、填空题
1.若最简二次根式与是同类二次根式，则．
2.若，则．
3.已知1是关于的一元二次方程的一个根，那么．
4.已知、是方程的两个实数根，则______．
5.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的
取值范围是______．
6.某款手机连续两次降价，售价由原来的1100元降到了891元．设平均每次降价
的百分率为，则可列出方程_________________________________．
7.如图，在中，点是的中点，点为的重心，，则．
8.如图，已知△ABC∽△ADE，若AD=2，AB=5，AE=4，则AC＝____．
9.小芳和爸爸正在散步，爸爸的身高为1．8m，他在地面上的影长为2．1m．
若小芳比爸爸矮0．3m，则小芳的影长为_________m．
三、解答题
1.在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（）,（为自然数）
（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（）、P（）都是过点P的△ABC的相似线（其中
⊥BC，∥AC），此外还有_______条．
（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当_____时，P（）截得的三角形面积为△ABC面积的．
2.先化简，再求值：，其中．
3.解方程：
4.已知关于的一元二次方程的一根为2，求方程的另一根及的值
5.已知：△ABC中，∠A=36o，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：
△BDC∽△ABC．
6.如图所示，以△OAB的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，A、B的坐标分别为A（－2，－3）、B（2，－1），在网格图中将△OAB作下列变换，画出相应的图形，并写出三个对应顶点的坐标：
（1）将△OAB 沿轴向上平移5个单位，得△O 1A 1B 1；
（2）以点O 为位似中心，在轴的下方将△OAB 放大为原来的2倍，得△OA 2B 2．
7.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个．定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个。

因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个．
（1）商店若将准备获利2000元，则定价应增加多少元？
（2）若商店要获得最大利润，则应进货多少台？最大利润是多少？ 8.已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点、，点为边上的动点（点不与点、重合），经过点、折叠该纸片，得点和折痕，设． （1） 如图1，当时，求点的坐标； （2） 如图2，经过点再次折叠纸片，使点落在直线上，得点和折痕，若，试用含的式子表示；
（3） 在（2）的条件下，当点恰好落在边上时，求点的坐标（直接写出结果即可）
9.类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1） 概念理解： 如图1，在四边形中，添加一个条件，使得四边形是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件： ．
（2） 问题探究： 如图2，小红画了一个，其中，，，并将沿的平分线方向平移得到，连结、．小红要使平移后的四边形是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段
的长）？ （3） 应用拓展：
如图3，“等邻边四边形”中，，，、为对角线，．试探
究、、的数量关系．
四、计算题
计算：
福建初三初中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（）
A．B．C．D．任何实数
【答案】B．
【解析】根据二次根式意义得：x-2≥0,解得：x≥2,故选B．
【考点】二次根式意义．
2.下列计算正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A．
【解析】二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，故A选项正确；B选项不是同类二次根式不能合并，故B 错误；C选项化简之后是2，故C错误；D选项不是同类二次根式不能进行减法运算，故D错误，故本题选A．【考点】二次根式运算．
3.方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）
A．2、4、－3B．2、－4、3
C．2、－4、－3D．－2、4、－3
【答案】C．
【解析】二次项前面的数字因数是二次项系数，一次项前面的数字因数是一次项系数，单独的数字因数是常数项，注意符号，故给出的方程中，二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、－4、－3，故选C．
【考点】一元二次方程各部分名称．
4.用配方法解方程，下列配方正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C．
【解析】用配方法解时，把原方程先移项:x2-6x=-4,配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，x2-6x+9=-
4+9,写成完全平方形式：（x-3）2=5,故本题选C．
【考点】用配方法解一元二次方程．
5.若则下列各式中不正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】D．
【解析】由线段的合比性质及已知条件得：，故A正确；，所以，故B
正确；，所以，故C正确；，故D错误，所以本题选D．
【考点】比例线段中的合比性质．
6.顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是（）
A．矩形B．菱形C．正方形D．不能确定
【答案】B．
【解析】因为矩形的对角线相等，所以利用三角形中位线定理可证明中点四边形的对边平行且相等，且四条边都相等，四条边都相等的四边形是菱形．故选B．
【考点】特殊平行四边形的判定．
7.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（）
【答案】A．
【解析】满足对应角相等，对应边成比例的三角形是相似三角形，相似三角形的判定方法有：两角对应相等两三角形相似，两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似；三边对应成比例,两个三角形相似．已知的阴影三角形AC=，BC=2，∠ACB=135°，给出的选项中A选项较短的边分别为1，，其夹角是135度，因为：1=2：，满足两边对应成比例且夹角相等,所以两个三角形相似，故本题选A．其他选项的图形不与阴影三角形相似．【考点】相似三角形的判定．
二、填空题
1.若最简二次根式与是同类二次根式，则．
【答案】7．
【解析】化简后被开方数相同的二次根式是同类二次根式，所以a-2=5，解得：a=7．
【考点】同类二次根式意义．
2.若，则．
【答案】-2．
【解析】由平方数与二次根式的非负性得：x+2=0,y-1=0，解得：x=-2,y=1,所以xy=-2×1=-2．故结果为-2．
【考点】平方数与二次根式的非负性．
3.已知1是关于的一元二次方程的一个根，那么．
【答案】1．
【解析】将x=1代入此方程得：1-2+k=0,解得：k=1．
【考点】一元二次方程的根的意义．
4.已知、是方程的两个实数根，则______．
【答案】4．
【解析】由一元二次方程根与系数关系得：，故答案为4．
【考点】一元二次方程根与系数关系．
5.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的
取值范围是______．
【答案】k>-．
【解析】利用根的判别式，当△=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，所以b2-4ac=9+4k>0，解得k>-．故k的取值范围是k>-．
【考点】根的判别式的运用．
6.某款手机连续两次降价，售价由原来的1100元降到了891元．设平均每次降价
的百分率为，则可列出方程_________________________________．
【答案】1100（1-x）2=891．
【解析】根据平均降低率的公式：原来的售价×（1-x）2=现在的售价，故应列为1100（1-x）2=891．
【考点】一元二次方程的平均变化率问题．
7.如图，在中，点是的中点，点为的重心，，则．
【答案】6．
【解析】因为点G是△ABC的重心，所以连接AG并延长交BC于E，则BE=CE，连接DE，则DE是△ABC的中位线，因为DE∥AC，且DE:AC=1：2，所以DE:AC=DG:CG=1：2，DG=2，所以CG=4，所以
CD=DG+CG=2+4=6．故答案为6．
【考点】1．重心的意义；2．三角形中位线定理．
8.如图，已知△ABC∽△ADE，若AD=2，AB=5，AE=4，则AC＝____．
【答案】10．
【解析】因为△ABC∽△ADE，所以,若AD=2，AB=5，AE=4，则代入得：，解得：AC=10．【考点】相似三角形的性质．
9.小芳和爸爸正在散步，爸爸的身高为1．8m，他在地面上的影长为2．1m．
若小芳比爸爸矮0．3m，则小芳的影长为_________m．
【答案】1．75．
【解析】根据同一时刻，身高和影长成比例,设小芳的影长为xm,则有：1．8:2．1=（1．8-0．3）：x,解得：
x=1．75．故小芳的影长为1．75m．
【考点】相似三角形的性质．
三、解答题
1.在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（）,（为自然数）
（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（）、P（）都是过点P的△ABC的相似线（其中
⊥BC，∥AC），此外还有_______条．
（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当_____时，P（）截得的三角形面积为△ABC面积的．
【答案】（1）1；（2）或或．
【解析】（1）此外还有一条，如图：过P点作平行于BC的直线，此时截得的三角形与△ABC相似，直线为过点P的△ABC的相似线；
（2）若P（）截得的三角形面积为△ABC面积的．则截得的三角形与△ABC的相似比为，①截得的三角形BP与AB是对应边，AP与AB是对应边，即当P为AB的中点时，过P点分别作平行于AC,BC的直线，则这两条直线都满足条件，如图直线，，此时=；②截得的三角形BP与BC是对应边，如图直线，此时
=,即=,化简得：=×=；③截得的三角形BP与BC是对应边，如图直线，此时= ,即=,化简得：=×=；
综上所述，当=或或时P（）截得的三角形面积为△ABC面积的．
【考点】相似三角形的判定与性质．
2.先化简，再求值：，其中．
【答案】化简结果：2a2+4；值：8．
【解析】先把完全平方式展开，同时后面去括号，是同类项的合并，整理出最后结果，代值计算即可．
试题解析：先把完全平方式展开，同时后面去括号，原式==，当a=时，
原式==4+4=8．
【考点】多项式的化简求值．
3.解方程：
【答案】,．
【解析】原方程先移项，得到，然后可利用因式分解法，即，转换成解两个一元一次方程即可．
试题解析：原方程移项：，即，∴，解得：，．
【考点】解一元二次方程．
4.已知关于的一元二次方程的一根为2，求方程的另一根及的值
【答案】方程的另一根为4，k的值为8．
【解析】根据一元二次方程根与系数关系：，，已知一个根为2，且a,b是已知的，于是就可求出另一个根和k值．
试题解析：设方程的另一根为，由根与系数关系得：，，∴，，∴方程的
另一根为4，k 的值为8．
【考点】一元二次方程根与系数关系．
5.已知：△ABC 中，∠A=36o ，AB=AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，求证：
△BDC ∽△ABC ．
【答案】证明参见解析．
【解析】此题利用两个角对应相等的两个三角形相似来判断，由∠A ＝36°，AB ＝AC ，可算出∠ABC ＝∠C ＝72°，又由BD 平分∠ABC ，可算出∠DBC ＝36°，从而得到∠DBC ＝∠A ，∠C ＝∠C ，所以△BDC ∽△ABC ． 试题解析：此题利用两个角对应相等的两个三角形相似来判断，∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝（180°－∠A ）＝
（180°－36°）＝72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝
∠ABC ＝
×72°＝36°，∴∠DBC ＝
∠A ，又∵∠C ＝∠C ，∴△DBC ∽△ABC ． 【考点】相似三角形的判定．
6.如图所示，以△OAB 的顶点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，A 、B 的坐标分别为A （－2，－3）、B （2，－1），在网格图中将△OAB 作下列变换，画出相应的图形，并写出三个对应顶点的坐标：
（1）将△OAB 沿轴向上平移5个单位，得△O 1A 1B 1；
（2）以点O 为位似中心，在轴的下方将△OAB 放大为原来的2倍，得△OA 2B 2． 【答案】（1）作图参见解析；（2）作图参见解析．
【解析】（1）根据平移后的坐标规律，向上平移5个单位，图形各点横坐标不变，纵坐标加5，所以先写出平移后O 1，A 1，B 1，的坐标，然后描点，连线画出图形；（2）由题意可得，位似比为1:2，即相似比为1:2，分别延长OA,OB,使OA 2=2OA,OB 2=2OB,连接OA 2B 2即可．
试题解析：（1）根据平移后的坐标规律，向上平移5个单位，图形各点横坐标不变，纵坐标加5，所以平移后O 1，A 1，B 1，的坐标分别为O 1（0,5），A 1（-2,2），B 1（2,4），如下图：连接O 1A 1B 1, 则△O 1A 1B 1即为所求作的三角形；（2）由题意可得，位似比为1:2，即相似比为1:2，分别延长OA,OB,使OA 2=2OA,OB 2=2OB,连接OA 2B 2，
如下图：则△OA 2B 2即为所求作的三角形．
【考点】平移、位似作图．
7.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个．定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个。

因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个．
（1）商店若将准备获利2000元，则定价应增加多少元？
（2）若商店要获得最大利润，则应进货多少台？最大利润是多少？ 【答案】（1）8元；（2）150台；2250元．
【解析】（1）利润等于（售价-进价）乘以数量，设定价应增加x 元，则单个利润就是（52+x-40）元，所卖数量为（180-10x ）个，当利润为2000元时，建立一元二次方程求解即可；（2）设所获利润为W 元，定价应增加x 元，建立W 与x 的二次函数，讨论最大值问题，同时求出获得最大利润时应进货多少台即可．
试题解析：（1）设定价应增加x 元，则单个利润就是（52+x-40）元，所卖数量为（180-10x ）个，当利润为2000元时，建立一元二次方程得：（52+x-40）（180-10x ）=2000，化简得：x 2-6x-16=0,解得：x 1=8,x 2=-2,又因为180-10x≤180,所以x≥0,所以x=8,即定价应增加8元；（2）设所获利润为W 元，定价应增加x 元，建立W 与x 的二次函数，即W=（52+x-40）（180-10x ），化简得：W=-10x 2+60x+2160,写成顶点式：W=-10（x-3）2+2250，因为-10<0，所以当x=3时，W 有最大值是2250元．所以180-10x=180-30=150（台），即商店要获得最大利润，则应进货150台，最大利润是2250元．
【考点】1．一元二次方程的实际运用；2．二次函数的最大值问题．
8.已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点、，点为边上的动点（点不与点、重合），经过点、折叠该纸片，得点和折痕，设． （1） 如图1，当时，求点的坐标； （2） 如图2，经过点再次折叠纸片，使点落在直线上，得点和折痕，若，试用含的式子表示；
（3） 在（2）的条件下，当点恰好落在边上时，求点的坐标（直接写出结果即可）
【答案】（1）P （2
，6）；（2）m=
（0＜t ＜11）；（3）P （
，6）或（
，6）
【解析】（1）由∠BOP=30°，利用直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，因为BP=t ，所以OP=2t ．而OB=6，利用勾股定理即可求得P 点坐标；（2）由折叠性质可知：△OB′P ≌△OBP ，△QC′P ≌△QCP ，∠OPB′=∠OPB ，∠QPC′=∠QPC ，，可导出∠OPB+∠QPC=90°，利用同角的余角相等，可知∠BOP=∠CPQ ．从而得到△OBP ∽△PCQ ，所以
，转换成：
，于是即可用含t 的式子表示出m ；（3）过点P 作PE ⊥OA 于E ，可证出△PC′E ∽△C′QA ，∴
，表示出各线段长度，转换成：
，即
，约分化简：3（6﹣m ）2=（3﹣m ）（11﹣t ）2，再把m=
代入，整理成一般形式：3t 2﹣22t+36=0，求出t 值即可求出P 点坐标．
试题解析：（1）根据题意，∠OBP=90°，OB=6，在Rt △OBP 中，由∠BOP=30°，BP=t ，得
OP=2t ．∵OP 2=OB 2+BP 2，即（2t ）2=62+t 2
，解得：t 1=2，t 2=﹣2（舍去）∴点P 的坐标为（2，6）；（2）根据题意得：△OB′P 、△QC′P 分别是由△OBP 、△QCP 折叠得到的，∴△OB′P ≌△OBP ，△QC′P ≌△QCP ，∴∠OPB′=∠OPB ，∠QPC′=∠QPC ，∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°，∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ ．又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP ∽△PCQ ，∴
，由题意设BP=t ，AQ=m ，BC=11，AC=6，则PC=11﹣t ，CQ=6﹣m ．∴
．∴m=
（0＜t ＜11）；（3）过点P 作PE ⊥OA 于E ，∴∠PEA=∠QAC′=90°，∴∠PC′E+∠EPC′=90°，
∵∠PC′E+∠QC′A=90°，
∴∠EPC′=∠QC′A ，∴△PC′E ∽△C′QA ，∴，∵PC′=PC=11﹣t ，PE=OB=6，AQ=m ，C′Q=CQ=6﹣
m ，∴AC′==
，∴，∴
，∴3（6﹣m ）2=（3﹣m ）
（11﹣t ）2，∵m=，∴3（﹣t 2+t ）2=（3﹣t 2+
t ﹣6）（11﹣t ）2，∴
t 2（11﹣t ）2=（﹣
t 2+
t ﹣3）（11﹣t ）2，∴
t 2=﹣t 2+
t ﹣3，∴3t 2﹣22t+36=0，解得：t 1=，t 2=
，所以点
P 的坐标为（，6）或（，6）
【考点】1．轴对称性质；2．相似三角形的判定与性质；3．直角三角形性质．
9.类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1） 概念理解： 如图1，在四边形中，添加一个条件，使得四边形是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件： ．
（2） 问题探究： 如图2，小红画了一个，其中，，，并将沿的平分线方向平移得到，连结、．小红要使平移后的四边形是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段
的长）？ （3） 应用拓展：
如图3，“等邻边四边形”中，，，、为对角线，．试探
究、、的数量关系．
【答案】（1）DA=AB （答案不唯一）；（2）应平移2或
或
或
的距离；（3）BC 2+CD 2=2BD 2．
【解析】（1）由“等邻边四边形”的定义易得出结论；
（2）①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论；
②由平移的性质易得BB′=AA′，A′B′∥AB ，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论；
（3）由旋转的性质可得△ABF ≌△ADC ，由全等性质得∠ABF=∠ADC ，∠BAF=∠DAC ，AF=AC ，FB=CD ，利用相似三角形判定得△ACF ∽△ABD ，由相似的性质和四边形内角和得∠CBF=90°，利用勾股定理，等量代换得出结论．
解：（1）AB=BC 或BC=CD 或CD=AD 或AD=AB （任写一个即可）； （2）①正确，理由为：
∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形， ∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等， ∴这个“等邻边四边形”是菱形； ②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1， ∴AC=，
∵将Rt △ABC 平移得到△A′B′C′，
∴BB′=AA′，A′B′∥AB ，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，
（I ）如图1，当AA′=AB 时，BB′=AA′=AB=2；
（II ）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=；
（III ）当A′C′=BC′=时，
如图3，延长C′B′交AB 于点D ，则C′B′⊥AB ，
∵BB′平分∠ABC ，
∴∠ABB′=∠ABC=45°，
∴∠BB′D=′∠ABB′=45° ∴B′D=B ，
设B′D=BD=x ，
则C′D=x+1，BB′=x ，
∵在Rt △BC′D 中，BD 2+（C′D ）2=（BC′）2
∴x 2+（x+1）2=（）2，
解得：x 1=1，x 2=﹣2（不合题意，舍去），
∴BB′=x=
（Ⅳ）当BC′=AB=2时，如图4，与（Ⅲ）方法一同理可得：BD 2+（C′D ）2=（BC′）2，
设B′D=BD=x ，
则x 2+（x+1）2=22，
解得：x 1=
，x 2=（不合题意，舍去），
∴BB′=x=； （3）BC ，CD ，BD 的数量关系为：BC 2+CD 2=2BD 2，如图5，
∵AB=AD ， ∴将△ADC 绕点A 旋转到△ABF ，连接CF ， ∴△ABF ≌△ADC ， ∴∠ABF=∠ADC ，∠BAF=∠DAC ，AF=AC ，FB=CD ，
∴∠BAD=∠CAF ，
==1，
∴△ACF ∽△ABD ，
∴==，∴BD ，
∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°， ∴∠ABC+∠ADC ﹣360°﹣（∠BAD+∠BCD ）=360°﹣90°=270°， ∴∠ABC+∠ABF=270°， ∴∠CBF=90°，
∴BC 2+FB 2=CF 2=（BD ）2=2BD 2，
∴BC 2+CD 2=2BD 2．
【考点】1．阅读理解题；2．平移，旋转的图形变换性质；3．三角形全等、相似的判定与性质；4．勾股定理的运用．
四、计算题
计算：
【答案】3．
【解析】注意运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，同时注意符号．试题解析：原式=2+1-2+2=3．
【考点】实数混合计算．。