高级投资学(陈守东) 6.跟踪误差的均值-方差模型
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跟踪误差的均值-方差分析
最小化跟踪误差波动不会产生更有效的投资组合管理
现在的投资基金业绩通常由相对于基准证券组合的总收益业绩来判断，基准证券组合通 常是一个宽泛的多样化的资产指数。在业绩考核时，基金所有者和管理者讨论最近月（季） 的总收益、净费用和支出, 并将它们与公布的基准证券组合的收益做比较。
这是一种合理的方法，对于一位积极的管理者最直接的选择是与基准证券组合相符合的 指数基金。指数基金将真正能够提供与基准证券组合收益十分相近的收益，因为对于指数基 金来说，费用和交易成本都很低。因此，只要投资业绩在平均值之上，就是值得聘用的积极 管理者
但是由于 q0 = V-1/c， q1 ’Vq0 = q0 ’Vq0 = 1/c =σ02
因此，
x’Vx = D2 [σ12 -σ02 ] ≡ T 其中 T 代表跟踪误差方差。
（A-6）
管理的 TEV 证券组合的方差和“beta”
管理的证券组合（P）的方差为
(qB + x)’V(qB + x) =σB2 + T + 2qB ’Vx 但是 qB ’Vx = qB ’V(q1 –q0)D = Dσ02 (RB / R0 - 1) 因此， σP2 =σB2 + T + 2 Dσ02 (RB / R0 - 1)
图 1 均值-方差跟踪误差
跟踪误差方差
管理证券组合 P 的投资比例 qP = qB + x。因此，跟踪误差波动是
(qP − qB )'V (qP − qB ) = x'Vx （A-5）
记相对目标业绩为 D≡G / (R1 – R0)，由（A-4），等式（A-5）可以扩展为 D2 (q1 –q0)’V(q1 –q0) = D2 [q1 ’Vq1 + q0 ’Vq0 -2 q1 ’Vq0]
方差
比例
0
R0 = b/c
σ02 = 1/c q0 = V-11/c
1
R1 = a/b
σ12 = a/b2 q1 = V-1R/b
结合（A-1）和（A-2）消除拉格朗日乘子，使用证券组合“0”和“1”的定义，我们
得到，
x
=
R1
G − R0
(q1
−
q0 )
（A-4）
等式（A-4）描述了 TEV 最小方差跟踪误差投资修正 x 的集合。要求最小化跟踪误差 波动，对于给定的预期业绩（G）与两个特定总收益均值/方差（EV）有效证券组合 1 和 0， 投资比例之间的差成比例。X 独立于 original 基准证券组合。
≡
⎜⎜⎝⎛
a b
b c
⎟⎟⎠⎞
（A-3）
可以证明，三个参数 a，b，c 与两个特定有效证券组合的均值和方差相关，全局最小方
差证券组合，用下标“0”表示，位于由 origin 穿过全局最小方差证券组合的射线与有效边
界相交的证券组合“1”。这些证券组合的位置在图 1 中展示。它们有如下的特性：
证券组合
均值
很容易从（1）中导出管理证券组合 P 的性质，它的投资比例是 qP = qB + x： 跟踪误差的方差，T：
T
=
D
2
(σ
2 1
−
σ
2 0
)
（2）
总的方差：
σ
2 P
=
σ
2 B
+T
+
2
Dσ
2 0
(
RB
/ R0
− 1)
（3）
在 B 点上 P 的 Beta，
β P|B
=
1
+
D(σ
2 0
/
σ
2 B
)(
RB
/ R0
假设投资管理者遵从以下目标：以相对于明确指定的基准证券组合的给定预期业绩水平 为条件，最小化跟踪误差的方差。这是一个优化问题，当没有卖空约束时，可以求解。
定义下面的记号： N = 管理者资产的数目。 q =N x 1 向量，代表证券组合。K 分量是证券组合投资在资产 k 上的比例。下标表示证券组
合；例如，qB 是基准证券组合。证券组合的权重相加的和是 1；即 q’1 = 1，其中 1 是 （N x 1）维分量均为 1 的向量。 x = N x 1 向量，代表 self-financing 即，x’1 = 0 给证券组合带来的改变。如果 qP 是积极管理 的证券组合 P，x = qP – qB 代表管理的证券组合与基准证券组合之间的差。注意到 x 可 能包含负的项，被管理的证券组合包含的资产少于基准证券组合。同时注意到，x，qP， 和 qB 能够得到很多 0 项。例如，如果基准证券组合是 S&P 500，而由交易所列出的或 通过 NASDAQ 在美国交易的大约 5000 支股票构成，qB 中将会有大约 4500 个 0 项。 R = N x 1 预期收益向量。 Rj = 单个资产或者证券组合 j 的预期收益。 rjt = 在时间段 t 中，资产或证券组合 j 的实际收益。 V = 单个资产组成的总收益的 N x N 协方差矩阵。 σj = 资产或证券组合 j 的收益的波动（标准差）；σj2 是方差。 G = 相对于基准证券组合管理者的目标或预期业绩；“G”代表了超过基准证券组合收益的 平均“收益”。G = RP – RB。 以相对于基准证券组合的目标预期业绩为条件，管理者的目标是最小化跟踪误差波动。 跟踪误差的期望值为
− 1)
（4）
如等式（2）所示，跟踪误差的方差不依赖于基准证券组合。然而在预期业绩和跟踪误 差波动之间存在着变换。事实上，如果管理者实施 TEV 政策，交易描述了在均值-方差平面 中的一个二次方程。这在图 1 中很容易看出等式（3）所标绘的。它是对于不同预期业绩水 平的最小跟踪误差方差证券组合的轨迹。
管理者有时会被要求产生证券组合，它对基准证券组合的”betas”位于一个给定的范围。 资金所有者极有可能要求 beta 为 1.0，从经济理论中认识到，高（低）beta 值的证券组合“应 该”有高（低）收益。一般说来，这样的要求与 TEV 最优化矛盾！给定的预期业绩，同时 也具体指定的 beta，不可能生成一个 TEV 证券组合有最小的（无约束）跟踪误差方差。实 际上，如果基准证券组合的平均收益超过了最小方差证券组合的平均收益，TEV 证券组合
不幸的是，资产收益是有噪音的，并且资金所有者管理者要求能增加价值。这导致了很 多资金所有者管理者关注于跟踪误差波动，即投资组合管理者月的收益与基准证券组合收益 的差异。跟踪误差波动的最小化已经成为评计整体管理者业绩的一个重要标准。
对于大多数的基金管理者来说，低的跟踪误差波动似乎是合理的目标，这至少有两个 原因：第一，理想的积极管理者将会战胜基准证券组合，每一个月，有固定数量的净费用和 支出。这意味着 0 跟踪误差波动。这是理想的，因为基金管理者可以确定增加了超过指数替 代基金的价值。
的 beta 将会总是超过 1。 有一个特别令人困扰的结果（可以证明）：所有的通过既具有高的平均收益又具有低的
总波动而控制基准证券组合的 betas，在基准组合上都小于 1.0。这意味着，在均值-方差的 意义下，一个正业绩的 TEV 证券组合永远不能成为占主要地位的证券组合。当然，它的特 性是本质不同的，因为它将具有比基准证券组合更多的“市场风险”，而所有的占主要地位 的证券组合只有较少的市场风险。
类似的，依赖基准证券组合 B 计算的 P 的 beta 为
（A-7）
β = (qB + x)’VqB /σB2 = 1 + D(q1 –q0)’VqB /σB2
= 1 + D(σ02 /σB2) (RB / R0的收益超过了最小方差证券组合上的收益时，每一个带有正预期业绩的
G = (qP − qB )′R = x′R
它的方差是
(qP − qB )′V (qP − qB ) = x′Vx
因此， TEV 最优化问题可以描述如下：求 x，使得 Min x’Vx
s.t x’1 = 0 x’R = G
其解的必要条件为
Vx-λ1R-λ21=0 其中 λ1 和 λ2 待定的拉格朗日乘子。
当然，可能以一个具体指定 beta 为条件的最小化跟踪误差较无约束最优化 TEV 证券组 合有较大的跟踪误差波动。而 beta-约束管理的证券组合实际实际具有较低的总波动（尽管 它总有着较高的跟踪误差波动）。最小化跟踪误差同时约束 beta 在基准证券组合上，能实际 地生成占主要地位的证券组合。
TEV 跟踪误差边界
第二，为基金所有者进行管理投资的基金经理，他们自己至少会每年回顾他们的业绩是 否 well：管理者战胜了市场指数，优秀的基金经理。如果一个管理者连续的 bad luck，例如 连续六个月的业绩不佳，则应考虑是否应该选择新的基金经理。
因此，战胜基准证券组合的平均水平等同于有一个正的预期跟踪误差。减少跟踪误差的 波动等同于使被管理的证券组合的收益与基准证券组合的收益之间的差的方差最小化，这是 均值-方差分析。但是取代了对于给定的预期总收益，寻找最小总收益波动的证券组合的 Markowitz[1959] EV 有效证券组合，资金管理者不得不寻找对于给定的相对于基准证券组合 的预期业绩，跟踪误差方差最小的证券组合。我们称此为 TEV 准则：对于给定的预期跟踪 误差，最小化跟踪误差的方差。
（A-9）
无论我们使用 B 和 P 或者 B*和 P*，（A-7）和（A-9）中右边的后两项相同。因此，从
（A-9）中减去（A-7），
σP2 - σP*2 =σB2 - σB*2 这证明了 TEV 证券组合的轨迹在每一个预期收益的水平上，与 EV 边界有相同距离。
由于 B 在 TEV 轨迹上，在相同的预期收益下，这个距离就是基准证券组合方差与有效证券
下面正式定义 TEV 业绩准则，并描述它对所有证券组合有效的 EV 最优化。我们将展 示，管理者成功地从事 TEV 跟踪误差准则将会产生均值-方差 Markowitz 无效证券组合。
TEV 准则要求每一个管理者有同样的齐次假设和同样的资产领域以实施相同的交易， 而在乎所选择的基准证券组合。想象两个积极的管理者 A 和 B，管理者 A 接受了一个 S&P 500 指数基金，B 接受一个 NASDAQ 100 指数基金；今后他们的基准证券组合分别是 S&P 500 和 NASDAQ 100 指数。管理者 A 和 B 对于个人资产的预期收益、方差和协方差有着相同的齐 次预期。资金所有者的目标是每个管理者的预期业绩在每年超过各自的基准证券组合 200 个基本点（2%）。
如果 A 和 B 被允许选择任一国内交易所或 NASDAQ 股票，他们都将很快地实施交易。 他们管理证券组合的结果的不同只是因为他们基准指数不同。
如果基准证券组合恰好是 EV 有效的，TEV 证券组合也将会在有效边界上；但是如果基 准证券组合是低效的（这是必然的），TEV 管理的证券组合将会是低效的。
求解 x，
x=
V-1[R
1]
⎜⎜⎝⎛
λ1 λ2
⎟⎟⎠⎞
（A-1）
在（A-1）左乘[R 1]’，重新排列可得
⎜⎜⎝⎛
λ1 λ2
⎟⎟⎠⎞
=
A
−1
⎜⎜⎝⎛
G 0
⎟⎟⎠⎞
（A-2）
其中 A 是在 EV 集合代数中起到重要作用的有效集合信息矩阵，
A
=
⎜⎜⎝⎛
R'V R'V
−1 R −11
1R'V'V−1−111⎟⎟⎠⎞
组合 B*之间的差。管理的证券组合 P 沿着波动方向度量将与有 B 相同的数量。图 1 说明了
这个情况。
注意到解（1）中，x 是完全独立于原始的基准证券组合。这意味着有相同资产和相同
期望的管理者，可以不考虑衡量业绩的基准证券组合，从基准证券组合中的初始位置，去实
施完全相同的交易。当然实际管理的证券组合依赖于基准证券组合，因为它仅仅是基准证券
组合加上 x；基准证券组合中的这个修改保证了组成管理的证券组合，不依赖于基准证券组
合的成分。
参数 D 代表了比较的业绩目标。它是超过基准证券组合目标预期超额收益 G 除以特殊
有效证券组合“1”和“0”的预期收益的差。目标业绩越大，由 x 代表的修改越大，但是当
R1 和 R0 距离很远时，业绩的可能性将会提高。在图 1 中，R1 和 R0 之间的距离很远，意味 着全局有效边界非常容易溢出并且很少弯曲。清楚的是，这样允许产生了更高的业绩。
TEV 证券组合的 beta 大于 1。
TEV 边界是 EV 边界的方差转换
设 P*代表一个 EV 有效证券组合，与管理的证券组合 P 有相同的预期收益。类似的，
证券组合 B*与基准证券组合 B 具有相同预期收益。
等式（A-7）应用到任一证券组合，包括 B*和 P*，
σP*2 =σB*2 + T + 2 Dσ02 (RB / R0 - 1)
最小化跟踪误差波动不会产生更有效的投资组合管理
现在的投资基金业绩通常由相对于基准证券组合的总收益业绩来判断，基准证券组合通 常是一个宽泛的多样化的资产指数。在业绩考核时，基金所有者和管理者讨论最近月（季） 的总收益、净费用和支出, 并将它们与公布的基准证券组合的收益做比较。
这是一种合理的方法，对于一位积极的管理者最直接的选择是与基准证券组合相符合的 指数基金。指数基金将真正能够提供与基准证券组合收益十分相近的收益，因为对于指数基 金来说，费用和交易成本都很低。因此，只要投资业绩在平均值之上，就是值得聘用的积极 管理者
但是由于 q0 = V-1/c， q1 ’Vq0 = q0 ’Vq0 = 1/c =σ02
因此，
x’Vx = D2 [σ12 -σ02 ] ≡ T 其中 T 代表跟踪误差方差。
（A-6）
管理的 TEV 证券组合的方差和“beta”
管理的证券组合（P）的方差为
(qB + x)’V(qB + x) =σB2 + T + 2qB ’Vx 但是 qB ’Vx = qB ’V(q1 –q0)D = Dσ02 (RB / R0 - 1) 因此， σP2 =σB2 + T + 2 Dσ02 (RB / R0 - 1)
图 1 均值-方差跟踪误差
跟踪误差方差
管理证券组合 P 的投资比例 qP = qB + x。因此，跟踪误差波动是
(qP − qB )'V (qP − qB ) = x'Vx （A-5）
记相对目标业绩为 D≡G / (R1 – R0)，由（A-4），等式（A-5）可以扩展为 D2 (q1 –q0)’V(q1 –q0) = D2 [q1 ’Vq1 + q0 ’Vq0 -2 q1 ’Vq0]
方差
比例
0
R0 = b/c
σ02 = 1/c q0 = V-11/c
1
R1 = a/b
σ12 = a/b2 q1 = V-1R/b
结合（A-1）和（A-2）消除拉格朗日乘子，使用证券组合“0”和“1”的定义，我们
得到，
x
=
R1
G − R0
(q1
−
q0 )
（A-4）
等式（A-4）描述了 TEV 最小方差跟踪误差投资修正 x 的集合。要求最小化跟踪误差 波动，对于给定的预期业绩（G）与两个特定总收益均值/方差（EV）有效证券组合 1 和 0， 投资比例之间的差成比例。X 独立于 original 基准证券组合。
≡
⎜⎜⎝⎛
a b
b c
⎟⎟⎠⎞
（A-3）
可以证明，三个参数 a，b，c 与两个特定有效证券组合的均值和方差相关，全局最小方
差证券组合，用下标“0”表示，位于由 origin 穿过全局最小方差证券组合的射线与有效边
界相交的证券组合“1”。这些证券组合的位置在图 1 中展示。它们有如下的特性：
证券组合
均值
很容易从（1）中导出管理证券组合 P 的性质，它的投资比例是 qP = qB + x： 跟踪误差的方差，T：
T
=
D
2
(σ
2 1
−
σ
2 0
)
（2）
总的方差：
σ
2 P
=
σ
2 B
+T
+
2
Dσ
2 0
(
RB
/ R0
− 1)
（3）
在 B 点上 P 的 Beta，
β P|B
=
1
+
D(σ
2 0
/
σ
2 B
)(
RB
/ R0
假设投资管理者遵从以下目标：以相对于明确指定的基准证券组合的给定预期业绩水平 为条件，最小化跟踪误差的方差。这是一个优化问题，当没有卖空约束时，可以求解。
定义下面的记号： N = 管理者资产的数目。 q =N x 1 向量，代表证券组合。K 分量是证券组合投资在资产 k 上的比例。下标表示证券组
合；例如，qB 是基准证券组合。证券组合的权重相加的和是 1；即 q’1 = 1，其中 1 是 （N x 1）维分量均为 1 的向量。 x = N x 1 向量，代表 self-financing 即，x’1 = 0 给证券组合带来的改变。如果 qP 是积极管理 的证券组合 P，x = qP – qB 代表管理的证券组合与基准证券组合之间的差。注意到 x 可 能包含负的项，被管理的证券组合包含的资产少于基准证券组合。同时注意到，x，qP， 和 qB 能够得到很多 0 项。例如，如果基准证券组合是 S&P 500，而由交易所列出的或 通过 NASDAQ 在美国交易的大约 5000 支股票构成，qB 中将会有大约 4500 个 0 项。 R = N x 1 预期收益向量。 Rj = 单个资产或者证券组合 j 的预期收益。 rjt = 在时间段 t 中，资产或证券组合 j 的实际收益。 V = 单个资产组成的总收益的 N x N 协方差矩阵。 σj = 资产或证券组合 j 的收益的波动（标准差）；σj2 是方差。 G = 相对于基准证券组合管理者的目标或预期业绩；“G”代表了超过基准证券组合收益的 平均“收益”。G = RP – RB。 以相对于基准证券组合的目标预期业绩为条件，管理者的目标是最小化跟踪误差波动。 跟踪误差的期望值为
− 1)
（4）
如等式（2）所示，跟踪误差的方差不依赖于基准证券组合。然而在预期业绩和跟踪误 差波动之间存在着变换。事实上，如果管理者实施 TEV 政策，交易描述了在均值-方差平面 中的一个二次方程。这在图 1 中很容易看出等式（3）所标绘的。它是对于不同预期业绩水 平的最小跟踪误差方差证券组合的轨迹。
管理者有时会被要求产生证券组合，它对基准证券组合的”betas”位于一个给定的范围。 资金所有者极有可能要求 beta 为 1.0，从经济理论中认识到，高（低）beta 值的证券组合“应 该”有高（低）收益。一般说来，这样的要求与 TEV 最优化矛盾！给定的预期业绩，同时 也具体指定的 beta，不可能生成一个 TEV 证券组合有最小的（无约束）跟踪误差方差。实 际上，如果基准证券组合的平均收益超过了最小方差证券组合的平均收益，TEV 证券组合
不幸的是，资产收益是有噪音的，并且资金所有者管理者要求能增加价值。这导致了很 多资金所有者管理者关注于跟踪误差波动，即投资组合管理者月的收益与基准证券组合收益 的差异。跟踪误差波动的最小化已经成为评计整体管理者业绩的一个重要标准。
对于大多数的基金管理者来说，低的跟踪误差波动似乎是合理的目标，这至少有两个 原因：第一，理想的积极管理者将会战胜基准证券组合，每一个月，有固定数量的净费用和 支出。这意味着 0 跟踪误差波动。这是理想的，因为基金管理者可以确定增加了超过指数替 代基金的价值。
的 beta 将会总是超过 1。 有一个特别令人困扰的结果（可以证明）：所有的通过既具有高的平均收益又具有低的
总波动而控制基准证券组合的 betas，在基准组合上都小于 1.0。这意味着，在均值-方差的 意义下，一个正业绩的 TEV 证券组合永远不能成为占主要地位的证券组合。当然，它的特 性是本质不同的，因为它将具有比基准证券组合更多的“市场风险”，而所有的占主要地位 的证券组合只有较少的市场风险。
类似的，依赖基准证券组合 B 计算的 P 的 beta 为
（A-7）
β = (qB + x)’VqB /σB2 = 1 + D(q1 –q0)’VqB /σB2
= 1 + D(σ02 /σB2) (RB / R0的收益超过了最小方差证券组合上的收益时，每一个带有正预期业绩的
G = (qP − qB )′R = x′R
它的方差是
(qP − qB )′V (qP − qB ) = x′Vx
因此， TEV 最优化问题可以描述如下：求 x，使得 Min x’Vx
s.t x’1 = 0 x’R = G
其解的必要条件为
Vx-λ1R-λ21=0 其中 λ1 和 λ2 待定的拉格朗日乘子。
当然，可能以一个具体指定 beta 为条件的最小化跟踪误差较无约束最优化 TEV 证券组 合有较大的跟踪误差波动。而 beta-约束管理的证券组合实际实际具有较低的总波动（尽管 它总有着较高的跟踪误差波动）。最小化跟踪误差同时约束 beta 在基准证券组合上，能实际 地生成占主要地位的证券组合。
TEV 跟踪误差边界
第二，为基金所有者进行管理投资的基金经理，他们自己至少会每年回顾他们的业绩是 否 well：管理者战胜了市场指数，优秀的基金经理。如果一个管理者连续的 bad luck，例如 连续六个月的业绩不佳，则应考虑是否应该选择新的基金经理。
因此，战胜基准证券组合的平均水平等同于有一个正的预期跟踪误差。减少跟踪误差的 波动等同于使被管理的证券组合的收益与基准证券组合的收益之间的差的方差最小化，这是 均值-方差分析。但是取代了对于给定的预期总收益，寻找最小总收益波动的证券组合的 Markowitz[1959] EV 有效证券组合，资金管理者不得不寻找对于给定的相对于基准证券组合 的预期业绩，跟踪误差方差最小的证券组合。我们称此为 TEV 准则：对于给定的预期跟踪 误差，最小化跟踪误差的方差。
（A-9）
无论我们使用 B 和 P 或者 B*和 P*，（A-7）和（A-9）中右边的后两项相同。因此，从
（A-9）中减去（A-7），
σP2 - σP*2 =σB2 - σB*2 这证明了 TEV 证券组合的轨迹在每一个预期收益的水平上，与 EV 边界有相同距离。
由于 B 在 TEV 轨迹上，在相同的预期收益下，这个距离就是基准证券组合方差与有效证券
下面正式定义 TEV 业绩准则，并描述它对所有证券组合有效的 EV 最优化。我们将展 示，管理者成功地从事 TEV 跟踪误差准则将会产生均值-方差 Markowitz 无效证券组合。
TEV 准则要求每一个管理者有同样的齐次假设和同样的资产领域以实施相同的交易， 而在乎所选择的基准证券组合。想象两个积极的管理者 A 和 B，管理者 A 接受了一个 S&P 500 指数基金，B 接受一个 NASDAQ 100 指数基金；今后他们的基准证券组合分别是 S&P 500 和 NASDAQ 100 指数。管理者 A 和 B 对于个人资产的预期收益、方差和协方差有着相同的齐 次预期。资金所有者的目标是每个管理者的预期业绩在每年超过各自的基准证券组合 200 个基本点（2%）。
如果 A 和 B 被允许选择任一国内交易所或 NASDAQ 股票，他们都将很快地实施交易。 他们管理证券组合的结果的不同只是因为他们基准指数不同。
如果基准证券组合恰好是 EV 有效的，TEV 证券组合也将会在有效边界上；但是如果基 准证券组合是低效的（这是必然的），TEV 管理的证券组合将会是低效的。
求解 x，
x=
V-1[R
1]
⎜⎜⎝⎛
λ1 λ2
⎟⎟⎠⎞
（A-1）
在（A-1）左乘[R 1]’，重新排列可得
⎜⎜⎝⎛
λ1 λ2
⎟⎟⎠⎞
=
A
−1
⎜⎜⎝⎛
G 0
⎟⎟⎠⎞
（A-2）
其中 A 是在 EV 集合代数中起到重要作用的有效集合信息矩阵，
A
=
⎜⎜⎝⎛
R'V R'V
−1 R −11
1R'V'V−1−111⎟⎟⎠⎞
组合 B*之间的差。管理的证券组合 P 沿着波动方向度量将与有 B 相同的数量。图 1 说明了
这个情况。
注意到解（1）中，x 是完全独立于原始的基准证券组合。这意味着有相同资产和相同
期望的管理者，可以不考虑衡量业绩的基准证券组合，从基准证券组合中的初始位置，去实
施完全相同的交易。当然实际管理的证券组合依赖于基准证券组合，因为它仅仅是基准证券
组合加上 x；基准证券组合中的这个修改保证了组成管理的证券组合，不依赖于基准证券组
合的成分。
参数 D 代表了比较的业绩目标。它是超过基准证券组合目标预期超额收益 G 除以特殊
有效证券组合“1”和“0”的预期收益的差。目标业绩越大，由 x 代表的修改越大，但是当
R1 和 R0 距离很远时，业绩的可能性将会提高。在图 1 中，R1 和 R0 之间的距离很远，意味 着全局有效边界非常容易溢出并且很少弯曲。清楚的是，这样允许产生了更高的业绩。
TEV 证券组合的 beta 大于 1。
TEV 边界是 EV 边界的方差转换
设 P*代表一个 EV 有效证券组合，与管理的证券组合 P 有相同的预期收益。类似的，
证券组合 B*与基准证券组合 B 具有相同预期收益。
等式（A-7）应用到任一证券组合，包括 B*和 P*，
σP*2 =σB*2 + T + 2 Dσ02 (RB / R0 - 1)