广东省广州二中奥数培训讲义第13讲《空间向量与立体几何》

第13讲 空间向量与立体几何
一. 直线,平面之间的平行与垂直的证明方法
1．运用定义证明(有时要用反证法); 2．运用平行关系证明;
3．运用垂直关系证明; 4．建立空间直角坐标系,运用空间向量证明. 例如,在证明:直线a ⊥直线b 时.可以这样考虑
(1)运用定义证明直线a 与b 所成的角为0
90; (2)运用三垂线定理或其逆定理; (3)运用“若a ⊥平面α,b α⊂,则a b ⊥”; (4)运用“若//b c 且a c ⊥,则a b ⊥”; (5)建立空间直角坐标系,证明0a b ⋅=. 二. 空间中的角和距离的计算 1．求异面直线所成的角
(1)(平移法)过P 作'
//a a ,'
//b b ,则'
a 与'
b 的夹角就是a 与b 的夹角; (2)证明a b ⊥(或//a b ),则a 与b 的夹角为0
90(或0
0);
(3)求a 与b 所成的角([0,]θπ∈),再化为异面直线a 与b 所成的角((0,]2
πα∈).
2,求直线与平面所成的角
(1) (定义法)若直线a 在平面α内的射影是直线b ,则a 与b 的夹角就是a 与α的夹角; (2) 证明a α⊥(或//a α),则a 与α的夹角为0
90(或0
0);
(3) 求a 与α的法向量n 所成的角θ,则a 与α所成的角为0
90θ-或0
90θ-. 3．求二面角
(1) (直接计算)在二面角AB αβ--的半平面α内任取一点P AB ∉,过P 作AB 的垂线, 交AB 于C,再过P 作β的垂线,垂足为D,连结CD,则CD AB ⊥,故PCD ∠为所求的二面角. (2) (面积射影定理)设二面角AB αβ--的大小为θ(090θ≠),平面α内一个平面图形F 的面积为1S ,F 在β内的射影图形的面积为2S ,则2
1
cos S S θ=±
.(当θ为钝角时取“-”). (3) (异面直线上两点的距离公式):2
2
2
2
2cos EF d m n mn θ=++-,其中θ是二面角
AB αβ--的平面角,EA 在半平面α内且EA AB ⊥于点A,BF 在半平面β内且FB ⊥
AB 于B,而AB d =,EA m =,FB n =.
(4) (三面角的余弦定理),三面角S ABC -中,BSC α∠=,CSA β∠=,ASB γ∠=,又二面角
B SA
C θ--=,则cos cos cos cos sin sin αβγ
θβγ
-=
.
(5)(法向量法)平面α的法向量1n 与平面β的法向量2n 所成的角为θ,则所求的二面角为
θ(同类)或πθ-(异类).
4.求两点A,B 间距离
(1)构造三角形进行计算; (2),导面直线上两点间的距离公式; (3),求AB . 5.求点到直线的距离
(1)构造三角形进行计算; (2)转化为求两平行红色之间的距离. 6.求点到平面的距离
(1)直接计算从点到平面所引垂线段的长度; (2)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (3) (体积法)转化为求一个棱锥的高3V
h S
=
,其中V 为棱锥体积,S 为底面面积,h 为底面上的高.(4)在平面上取一点A,求AP 与平面的法向量n 的夹角的余弦cos θ,则点P 到平面 的距离为cos d AP θ=⋅. 7.求异面直线的距离
(1)(定义法)求异面直线公垂线段的长; (2)(体积法)转化为求几何体的高; (3)(转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (4)(最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值;
(5)(射影法)如果两异面直线,a b 在同一平面内的射影分别是一个点P 和一条直线l , 则a 与b 的距离等于P 到l 的距离; (6)(公式法)2
2
2
2
2cos d EF m n mn θ=--±. 8.求平行的线线,线面,面面之间的距离的方法,通常是转化为求点与线或点与面之间的距离. 三.多面体与旋转体 1.柱体(棱柱和圆柱)
(1)侧面积S c l =⋅侧(c 为直截面周长,l 为侧棱或母线长)(2)体积V Sh =(S 为底面积,h 为高) 2.锥体(棱锥与圆锥)
A (1)正棱锥的侧面积'1
2
S c h =
⋅侧(c 为底面周长,'h 为斜高)(2)圆锥的侧面积:S rl π=侧 (r 为底面周长,l 为母线长)(3)锥体的体积:1
3
V Sh =(S 为底面面积,h 为高).
3.锥体的平行于底面的截面性质:
23
111123,S h V h S h V h
==. 4.球的表面积:2
4S R π=; 球的体积:34
3
V R π=. 四.解题思想与方法导引
1.空间想象能力;
2.数形结合能力;
3.平几与立几间的相互转化;
4.向量法
例题讲解
1．正四面体的内切球和外接球的半径之比为( )
A,1:2 B,1:3 C,1:4 D,1:9
2．由曲线2
4x y =,2
4x y =-,4x =,4x =-围成的图形绕y 轴旋转一周所得的几何体的体积为1V ;满足2
2
16x y +≤,2
2
(2)4x y +-≥,2
2
(2)4x y ++≥的点(,)x y 组成的图形绕
y 轴旋转一周所得的几何体的体积为2V ,则( )
A,1212V V = B,122
3
V V = C,12V V = D,122V V =
3．如右图,底面半径1r =,被过A,D 两点的倾斜平面所截,截面是离心
率为
2
的椭圆,若圆柱母线截后最短处1AB =,则截面以下部分的 几何体体积是( ) A,32
π
B,2π C,π
D,(12π+
4．在四面体ABCD 中,设1AB =
,CD =直线AB 与CD 的距离为2,夹角为3
π
,则四 面体ABCD 的体积等于( )
B,12 C,1
3
A
B
5．三个圆柱侧面两两相切,且它们的轴也两两相互垂直,如果每个圆柱底面半径都是1, 那么,与这三个圆柱侧面都相切的最小球的半径是( )
1
B,1
2
C,12
D,14
6．四面体ABCD 的顶点为A,B,C,D,其6条棱的中点为123456,,,,,M M M M M M ,共10个 点,任取4个点,则这4个点不共面的概率是( ) A,57 B,710 C,2435 D,47
70
7．正方体'''
'
ABCD A B C D -的棱长为a ,则异面直线C 'D 与BD 间的距离等于 .
8．正四棱锥S ABCD -中,0
45ASB ∠=,二面角A SB C --为θ
且cos m θ=m ,
n 为整数),则m n += .
9．在正三棱锥P ABC -中,AB a =,2PA a =,过A 作平面分别交平面PBC 于DE.当截面 ADE ∆的周长最小时,ADE S ∆= ,P 到截面ADE 的距离为 .
10．空间四个球,它们的半径分别是2,2,3,3.每个球都与其他三个球外切.另一个小球与这 四个球都相切,则这个小球的半径等于 .
11．三个1212⨯的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成A,B 两 片,如图,把这六片粘在一个正六边形的外面,然后折成多面体,则这个 多面体的体积为 .
12．直三棱柱111A B C ABC -中,平面1A BC ⊥平面11ABB A ,且AC =
1,则AC 与平面1A BC 所成的角θ的取值范围是 .
A
B C
A 1
B 1
C 1
C D M
K N
S 13．如图,直三棱柱111ABC A B C -中,AC BC =,连接1AB ,1BC , 1CA ,若11AB BC ⊥,求证:11AB CA ⊥
14．如图,设S ABCD -是一个高为3,底面边长为2的正四棱锥, K 是棱SC 的中点,过AK 作平面与线段SB,SD 分别交于M,N (M,N 可以是线段的端点).试求四棱锥S AMKN -的体积V 的最大值与最小值.
15．有一个m n p ⨯⨯的长方体盒子,另有一个(2)(2)(2)m n p +⨯+⨯+的长方体盒子, 其中,,m n p 均为正整数(m n p ≤≤),并且前者的体积是后者一半,求p 的最大值.
课后练习
1．甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四 面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一 个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为a ,则以四个氢原子为顶点 的这个正四面体的体积为( ) A,
3827a
3 C,313a D,38
9
a
A
B
D
E F
2．夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之 比为( )
A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:3
3．设二面角a αβ--的大小是0
60,P 是二面角内的一点,P 点到,αβ的距离分别为1cm, 2cm,则点P 到棱a 的距离是( )
A,
3cm
B,3 C,2
3
cm
D,3 4．如图,E,F 分别是正三棱锥A -BCD 的棱AB,BC 的中点,且DE ⊥EF.若BC=a ,则此正三棱锥的体积是( ) A,
3
24
a
B,3
24a
3
3
5．棱长为的正八面体的外接球的体积是( ) A,
6
π
B,
27
C,3
D,3 6．若线段AB 的两端点到平面α的距离都等于2,则线段AB 所在的直线和平面α 的位置关系是 .
7．若异面直线,a b 所原角为0
60,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线,a b 上到A,B 距离为 2和平共处的两点,当3EF =时,线段AB 的长为 .
8．如图(1),在直四棱柱1111A B C D ABCD -中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有1A C ⊥1B 1D (注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)
C D
F A
B
O
C D
E
O A
A
B
D P
9．如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题: ①AB 与EF 所连直线平行; ②AB 与CD 所在直线异面; ③MN 与BF 所在直线成0
60; ④MN 与CD 所在直线互相垂直. 其中正确命题的序号为 .(将所有正确的都写出)
10．如图,在ABC ∆中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC 分别交AB,AC 于D,E.将ADE ∆沿 DE 折起来使得A 到1A ,且1A DE B --为0
60的二面角,求1A 到直线BC 的最小距离.
11．如图,已知矩形ABCD 中,AB=1,BC=a (0)a >,PA ⊥平面ABCD,且PA=1. (1)问BC 边上是否存在点Q 使得PQ ⊥QD?并说明理由;
(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQ ⊥QD,求这时二面角Q PD A --的正切.
A B
C
D
A B
C D
图(1)
A B
E
N
M 图(2)
第13讲 空间向量与立体几何 答案
例题：
1,B 设棱长为a ,外接球的半径为R,内切球的半径为r ,
则2
22))R a R -=-
解得4R a =
,3412
r a a a =-=,有r :R=1:3. 2,C 设(0,)(0)A a a >,则过A 的两个截面都是圆环,面积分别是2
2
2
(4)(44)x a ππ-=-和
2222222
12(){(4)[2(2)]}(44)x x a a a πππ-=----=-,于是12V V =.
3,B 在椭圆中1b r ==,
又
c a =,
得a =所求的体积22111(12)22
V πππ=⋅⋅+⋅⋅= 4,B 过C 作//CE AB ,以CDE ∆为底面,BC 为侧棱作棱柱ABF ECD -,则所求四面体的体
积1V 等于上述棱柱体积2V 的13,而CDE ∆的面积1
sin 2
S CE CD ECD =⨯⨯∠,AB 与CD 的公垂线MN 就是棱柱ABF ECD -的高,于是21
sin 2
V MN CE CD ECD =⨯⨯⨯∠=
132122⨯⨯=,因此121132
V V ==. 5,A 三个圆柱的轴为三条两两垂直的异面直线,而异面直线的距离都为2,则所求球的半径为
1r =
.
6,D 44
1064
106631414727070
C C C ---==.
设E 是'CD 上的点,过E 作EH DC ⊥于H,所以EH ⊥面ABCD,过H 在面ABCD 内作HF BD ⊥,连接EF,所以EF ⊥BD,令DH x =,HE a x =-
,2
FH x =
,所以
EF= 3
==≥.
8,5 因各侧面为全等的等腰三角形.在SAB ∆内作高AE,则CE 也是SBC ∆的高,故
A
B
C
D
E A ’ P
B
C D
E F O AEC θ∠=.设1SA =
则AE CE ==,0452sin 2AB BC ==,222
AC AB BC =+
=02
458sin 4(1cos 45)42=-=-
222cos 32AE CE AC AE CE
θ+-==-+⋅得385m n +=-+=.
2a
; 将三棱锥的侧棱PA 剪开,当ADE ∆的周长最小时,其展开图如图 ADE ∆的周长即是展开图中线段'AA 的长.易证ABD ∆
∽PAB ∆,又PA=2AB=2a ,故2AD AB BD a ===,
32PD PB BD a =-=,3
4
PD DE BC a PB =⋅=.ADE ∆中,
DE
上的高AH ==
.于是
2
12ADE S AH DE ∆=⨯⨯=; 从P 向底面作高PO.则
=.
于是23133412P ABC V a a a -=⋅
⋅=. 又229
16
PDE PBC S PD S PB ∆∆==,
得339916161264A PDE A PBC
V V a a --==⨯=.设P 到截面的距离 为d ,
则31364A PDE P ADE ADE V V d S a --∆==
⋅=,
于是5
d a =. 10,6
11
设半径为3的球心为A,B,半径为2的球心为C,D.则易知 AB=6,CD=4,AC=AD=BC=BD=5.设小球中心为O,半径为r ,则O 在 四面体ABCD 内且AO=BO=3+r ,CO=DO=2+r .取AB 中点E,连结 CE,DE,则CE ⊥AB,DE ⊥AB,故平面CDE 为线段AB 的垂直平分面
α,所以O 在平面CDE 内,又由OC=OD=2+r 知O 在CD 的垂直平
分面β内,故O 在等腰CED ∆底边CD 上的高EF 上(F 为CD 中点),易算出
ED=EC=
4=,得ECD ∆为等边三角形.于是
EF=
2
ED =.
而OF
A B C
A 1
B 1
C 1 S H
H 1
=
==代入OE+OF
=解得611
r =
. 11,864 将几何体补成一个棱长为12的正方体,几何体的体积为正方体体积的一半,为3
122
.
12,00
030θ<< 作AD ⊥1A B 于D,易证AD ⊥平面1A BC ,所以ACD θ∠=.设1AA a =,
AB x =,
则sin AD θ==⋅,故222
23sin 13sin a x θ
θ=-.易证BC ⊥平面11A ABB , 故0
90CBA ∠=,从而AB AC <,
即x <,于是222
2
3sin 0313sin a a θθ≤<-,1sin 2
θ<, 又00090θ<<,得00
030θ<<.
13,证明:设D,1D 分别为AB,11A B 的中点.连结CD,11C D 及1BD ,1DA .因为11//BD D A ,所以 四边形11BD A D 为平行四边形,得1BD //1DA .因AC=BC,于是1111B C C A =.又D,1D 分别为 AB,11A B 的中点,故CD ⊥AB,11C D ⊥11A B ,而1AB 在平面ABC(或111A B C )内的射影为AB (或11A B ),得1AB ⊥CD,1AB ⊥11C D ,又已知1AB ⊥1BC ,所以1AB ⊥平面B 11C D ,从而1AB
⊥1BD ,又1BD //1DA ,所以1AB ⊥1DA .又1AB ⊥11C D ,得1AB ⊥平面1A CD,从而得证.
14,解:为了建立V 与原四棱锥S ABCD -的关系.我们先引用 下面的事实:
(如图)设111,,A B C 分别在三棱锥S ABC -的侧棱SA,SB,SC 上, 又111S A B C -与S ABC -的体积分别是1V 和V,则
1111
V SA SB SC V SA SB SC
⋅⋅=
⋅⋅. 事实上,设C,1C 在平面SAB 的射影分别是H,1H .则
111
C H SC CH SC
=, 又1111SA B SAB S SA SB S SA SB ∆∆⋅=
⋅,所以11111111
1
313
SA B SAB C H S V SA SB SC V SA SB SC CH S ∆∆⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅.下面回到原题. 设SM x SB =,SN y SD =,因S ABCD -的体积为2013243
V =⨯⨯=.于是由上面的事实有
012
S AMN S KMN S AMK S ANK S ABD S CBD S ABC S ADC V V V V V V V V V V --------=+=+.得2V SM SN SA SM SN SK SB SD SA SB SD SC ⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅⋅= SM SK SA SN SK SA SB SC SA SD SC SA ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=111222xy xy x y +=+,于是31
x y x =-, 而由0131x y x <=≤-,1x ≤,得112x ≤≤.则31x V x y x x =+=+-,(112
x ≤≤). 又得'2213(32)1(31)(31)
x x V x x -=-=--.所以 (1)当1223x ≤<时,'0V <,V 为减函数,(2)当213
x <≤时,'0V >,V 为增函数. 所以得min 2
343x V V ===,又11232x x V V ====,得max 112
32x x V V V =====. 15,解:由题意,2(2)(2)(2)mnp m n p =+++,得222(1)(1)(1)2m n p
+++=. (1)当8m ≥时,由m n p ≤≤,则32222(1)(1)(1)(1)28
m n p +++≤+<,矛盾! (2)当2m ≤时,222(1)(1)(1)2m n p
+++>,矛盾! (3)当3m =时,则65(2)(2)np n p =++,即(10)(10)120n p --=.
所以p 的最大值为130;
(4)当4m =时,则43(2)(2)np n p =++,即(6)(6)48n p --=.
所以p 的最大值为54;
(5)当5m ≥时,222(1)2222(1)(1)(1)(1)55
p m n +=>++++,得98p <. 综上所述:p 的最大值为130.
课后习题答案
1．过顶点A,V 与高作一截面交BC 于点M,点O 为正四面体的中心,1O 为底面ABC 的中心, 设正四面体VABC 的棱长为m ,则
=VM,1O M
=13AM =
, 123O A AM ==
,1VO ==,
得11OO VO VO a =-=-
在1Rt AOO ∆中,22211AO OO AO =+,
即222()()33a m a =-+,
得3
m =. 则1VO =43
a ,
有203111(sin 60)3227V ABC V m VO a -=⋅⋅⋅⋅=.选B. 温馨提示:正四面体外接球的半径VO :内切球的半径1OO =1:3:13a a =.
2． 32212341::():(2):(2)2:3:133
V V V R R R R R πππ=⋅⋅⋅=,选B. 3．设PA ⊥棱a 于点A,PM ⊥平面α于点M,PN ⊥平面β于点N,PA=t ,PAM θ∠=,则 0sin 1sin(60)2t t αα=⎧⎨-=⎩
,
5sin αα=,
有sin α=
或(舍去),
所以1sin 3
t α==cm ,选B. 4．由DE ⊥EF,EF//AC,有DE ⊥AC,又AC ⊥BD,DE
BD=D,得AC ⊥平面ABD. 由对称性得090BAC CAD BAD ∠=∠=∠=,
于是2
AB AC AD ===
. 311()3222224
B ACD V a a a -=⋅⋅⋅⋅=,选B. 5．可由两个相同的四棱锥底面重合而成,
有2r =
得r =,
外接球的体积343V r π==,选D. 6．当2AB <时,AB//α;当2AB =时,AB//α或AB ⊥α;当2AB >时,AB//α或与α斜交.
7．由EF EA AB BF =++,得22222cos EF
EA AB BF EA BF θ=+++⋅⋅ (1)当060θ=时,有2
19412212AB =+++⋅⋅⋅,得2AB =(2)当0120θ=时,有219412212AB =++-⋅⋅⋅,得6AB =. 8． AC ⊥BD.(或ABCD 是正方形或菱形等)
9．将展开的平面图形还原为正方体NACF EMBD -,可得只②,④正确.
10．解:设ABC ∆的高AO 交DE 于点1O ,令1AO x =,
由
12=,有112OO x =-,
在11A OO ∆中,01160A O O ∠=,有222011111112cos 60A O A O O O A O O O =+-⋅⋅⋅
得1
AO =当6x =时,1A 到直线BC 的最小距离为6.
11．解:(1)(如图)以A 为原点建立空间直角坐标系,设BQ x =,则
Q (1,,0)x ,P(0,0,1),D (0,,0)a 得(1,,1)PQ x =-,(1,,0)QD a x =--
由PQ QD ⊥,有(1,,1)(1,,0)0x a x -⋅--=,得210x ax -+= ①
若方程①有解,必为正数解,且小于a .由2()40a ∆=--≥,0a >,得2a ≥.
(i)当2a ≥时,BC 上存在点Q,使PQ ⊥QD;
(ii)当02a <<时, BC 上不存在点Q,使PQ ⊥QD.
(2)要使BC 边上有且只有一个点Q,使PQ ⊥QD,则方程①有两个相等的实根, 这时,2
()40a ∆=--=,得2a =,有1x =.
又平面APD 的法向量1(1,0,0)n =,设平面PQD 的法向量为2(,,)n x y z = 而(1,1,0)QD =-,(0,2,0)(0,0,1)(0,2,1)PD =-=-, 由2200n QD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得(,,)(1,1,0)0(,,)(0,2,1)0
x y z x y z ⋅-=⎧⎨⋅-=⎩,解得,2x y z y ==有2(1,1,2)n =,则
121212cos ,n n n n n n ⋅<>===⋅,
则12tan ,n n <所以二面角Q PD A --
.。