宁夏吴忠市2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题含解析

宁夏吴忠市2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知等比数列{}n a 中,33a =，则15a a 等于（ ） A ．9
B ．5
C ．6
D ．无法确定
2．利用数学归纳法证明不等式()()
1111+
+++
,2,23
2
n f n n n N +
<≥∈的过程中，由n k =变成1n k =+时，左边增加了（ ）
A ．1项
B ．k 项
C ．12k -项
D ．2k 项
3．在ABC ∆中，若30A =︒，2a =，23b =，则此三角形解的个数为（） A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．不能确定
4．已知函数1()2ln (R)f x x a x a x ⎛⎫
=-+∈ ⎪⎝⎭
在定义域上有两个极值点12,x x ，则()12f x x ⋅的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞
B ．(,0)-∞
C ．(0,)+∞
D ．(1,)+∞
5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是底面ABCD 上的动点,1PA PC ≥，则满足条件的点P 构成的图形的面积等于（ ） A ．
1
2
B ．
4
π C ．44
π
-
D ．
72
6．已知下表所示数据的回归直线方程为y 44x =-，则实数a 的值为 x 2 3 4 5 6 y 3
7
11
a
21 A ．16 B ．18 C ．20
D ．22
7．设A ，B ，C 是三个事件，给出下列四个事件： （Ⅰ）A ，B ，C 中至少有一个发生； （Ⅱ）A ，B ，C 中最多有一个发生； （Ⅲ）A ，B ，C 中至少有两个发生； （Ⅳ）A ，B ，C 最多有两个发生； 其中相互为对立事件的是（ ） A ．Ⅰ和Ⅱ
B ．Ⅱ和Ⅲ
C ．Ⅲ和Ⅳ
D ．Ⅳ和Ⅰ
8．已知，是单位向量，且
，向量与，共面，
，则数量积
=
（ ） A ．定值－1
B ．定值1
C ．最大值1，最小值－1
D ．最大值0，最小值－1
9．设x ＝－2与x ＝4是函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则常数a －b 的值为( ) A ．21 B ．－21 C ．27
D ．－27
10．设点F 和直线l 分别是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点和一条渐近线，若F 关于直线l 的
对称点恰好落在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2
B
C
D
11．2019年4月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（ ） A ．150种
B ．240种
C ．300种
D ．360种
12．已知定义在R 上的函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()02f =，则不等式
()2x f x e >的解集为（ ）
A ．(),0-∞
B ．()0,∞+
C ．(),2-∞
D ．()2,+∞
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．设实数3AD =满足10
1010x y y x y -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪++≤⎩
，则2x y -的最小值为______
14．正态分布()2,X
N μσ三个特殊区间的概率值
()0.6826P X μσμσ-≤<+=,()220.9544P X μσμσ-≤<+=,()330.9974P X μσμσ-≤<+=,若随机变量X 满足()21,2X
N ，则()35P X ≤<=____．
15．已知集合P ＝{x|a ＋1≤x≤2a＋1}，Q ＝{x|x 2－3x≤10}．若P∪Q＝Q ，求实数a 的取值范围__________． 16．从长度分别为1234、、、的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，则
m
n
等于____________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，为了解网络外卖在A 市的普及情况，A 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到如表：（单位：人）
男性 50 50 100 女性 60 40 100 合计
110
90
200
（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖的情况与性别有关？ （2）将频率视为概率，从A 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X ，求X 的数学期望和方差． 参考公式：
，其中
．
参考数据：
18．某商家对他所经销的一种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果 如下表： 日销售量 1 1.5 2 天数 10 25
15
频率
0.2
若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立． （1）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；
（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列和数学期望．
19．（6分）在直角梯形PBCD 中，2
D C π
∠=∠=
，2BC CD ==，4PD =，A 为PD 的中点，如图
1．将PAB ∆沿AB 折到SAB ∆的位置，使SB BC ⊥，点E 在SD 上，且1
3
SE SD =
，如图2．
（1）求证：SA ⊥平面ABCD ； （2）求二面角E AC D --的正切值．
20．（6分）已知函数3
()3f x x x =-
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）求()f x 在区间[-3,2]上的最值．
21．（6分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．
（1）求与椭圆2214924
x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程．
（2）求顶点在原点，准线方程为4x =的抛物线的方程． 22．（8分）已知函数()21f x x a x =-+-，a R ∈．
()1若不等式()21f x x ≤--有解，求实数a 的取值范围；
(2)当2a <时，函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值．
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】
根据等比中项定义，即可求得15a a 的值。

【详解】
等比数列{}n a ，由等比数列中等比中项定义可知
2153a a a =
而33a =
所以2
1539a a a ==
所以选A 【点睛】
本题考查了等比中项的简单应用，属于基础题。

2．D 【解析】
【分析】
分别写出n k =、1n k =+时，不等式左边的式子，从而可得结果. 【详解】
当n k =时，不等式左边为111
1232
k +
+++，当1n k =+时，不等式左边为111111123
2212
k k k +++++++++，则增加了112(21)1222k k k k k ++-++=-=项，故选D. 【点睛】
项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律. 3．C 【解析】 【分析】
判断,sin ,a a A b ⋅的大小关系，即可得到三角形解的个数. 【详解】
1
sin 212
a A ⋅=⨯
=,
12<<即sin a A a b ⋅<<，
∴有两个三角形.
故选C. 【点睛】
本题考查判断三角形解的个数问题，属于简单题型. 4．B 【解析】 【分析】
根据等价转化的思想，可得'()0f x =在定义域中有两个不同的实数根，然后利用根的分布情况，可得
1a >，最后利用导数判断()12f x x ⋅单调性，可得结果.
【详解】
2
22
122'()1x ax a
f x a x x x -+⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭
令2
()2g x x ax a =-+，
依题意得方程()0g x =有两个不等正根1x ，2x ，
则
2
12
12
(2)40
201
a a
x x a a
x x a
⎧∆=-->
⎪
+=>⇒>
⎨
⎪=>
⎩
，
()
12
1
()2ln2ln1
f x x f a a a a a a a
a
⎛⎫
∴⋅==-+=--
⎪
⎝⎭
，
令()2ln1(1)
T a a a a a
=-->，
'()12ln0
T a a
∴=--<
()
T a
∴在(1,)
+∞上单调递减，
()(1)0
T a T
∴<=，
故()
12
f x x⋅的取值范围是(,0)
-∞，
故选：B
【点睛】
本题考查根据函数极值点求参数，还考查二次函数根的分布问题，难点在于使用等价转化的思想，化繁为简，属中档题.
5．A
【解析】
【分析】
P是底面ABCD上的动点，因此只要在底面上讨论即可，以,
AB AD为,x y轴建立平面直角坐标系，设(,)
P x y，根据已知列出,x y满足的关系．
【详解】
如图，以,
AB AD为,x y轴在平面ABCD内建立平面直角坐标系，设(,)
P x y，由
1
PA PC
≥得22222
(2)(2)2
x y x y
+≥-+-+30
x y
+-≥，设直线:30
l x y
+-=与正方形ABCD的边交于点,
M N，则P点在CMN
∆内部（含边界），
易知(1,2)M ，(2,1)N ，∴1CM CN ==，111122
CMN S ∆=⨯⨯=． 故选A ． 【点睛】
本题考查空间两点间的距离问题，解题关键是在底面ABCD 上建立平面直角坐标系，把空间问题转化为平面问题去解决． 6．B 【解析】 【详解】
4x =，代入回归直线方程得12y =，所以()1
123711215
m =
++++，则18a =，故选择B. 7．B 【解析】 【分析】
利用互斥事件、对立事件的定义直接求解． 【详解】
解：A ，B ，C 是三个事件，给出下列四个事件： （Ⅰ）A ，B ，C 中至少有一个发生； （Ⅱ）A ，B ，C 中最多有一个发生； （Ⅲ）A ，B ，C 中至少有两个发生 （Ⅳ）A ，B ，C 最多有两个发生；
在A 中，Ⅰ和Ⅱ能同时发生，不是互斥事件，故A 中的两个事件不能相互为对立事件； 在B 中，Ⅱ和Ⅲ既不能同时发生，也不能同时不发生，故B 中的两个事件相互为对立事件； 在C 中，Ⅲ和Ⅳ能同时发生，不是互斥事件，故C 中的两个事件不能相互为对立事件； 在D 中，Ⅳ和Ⅰ能同时发生，不是互斥事件，故D 中的两个事件不能相互为对立事件． 故选：B ． 【点睛】
本题考查相互为对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 8．A 【解析】 【分析】 由题意可设，
，再表示向量的模长与数量积，
【详解】
由题意设，则向量，且，
所以，
所以，
又，
所以数量积，
故选：A．
【点睛】
本题考查平面向量基本定理以及模长问题，用解析法，设出向量的坐标，用坐标运算会更加方便。

9．A
【解析】
【分析】
求出导数f′(x)．利用x＝－2与x＝4是函数f(x)两个极值点即为f′(x)＝0的两个根．即可求出a、b．【详解】
由题意知，－2，4是函数f′(x)＝0的两个根，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
所以
2
24
3
24
3
a
b
⎧
-+=-
⎪⎪
⎨
⎪-⨯=
⎪⎩
⇒
3
24
a
b
=-
⎧
⎨
=-
⎩
所以a－b＝－3＋24＝21.
故选A
【点睛】
f′(x)＝0的解不一定为函数f(x)的极值点．（需判断此解两边导数值的符号）
函数f(x)的极值点一定是f′(x)＝0的解．
10．C
【解析】
【分析】
取双曲线的左焦点为E，设右焦点为F，l为渐近线，l与渐近线的交点为,A F关于直线l的对称点设为P，连接PE，运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，离心率公式，计算可得所求值．
【详解】
如图所示，取双曲线的左焦点为E，设右焦点为F，l为渐近线，l与渐近线的交点为,A F关于直线l的对称点设为P，连接PE，
直线l与线段PF的交点为A，因为点P与F关于直线l对称，
则l PF ⊥，且A 为PF 的中点，所以,,22AF b OA a PE AO a ====， 根据双曲线的定义，有2PF PE a -=，则222b a a -=，即2b a =，
所以2
2
15c b e a a
==+=， 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了双曲线的离心率的求法，注意运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 11．A 【解析】 【分析】
根据题意，需要将5个安保小组分成三组，分析可得有2种分组方法：按照1、1、3分组或按照1、2、2分组，求出每一种情况的分组方法数目，由加法计数原理计算可得答案． 【详解】
根据题意，三个区域至少有一个安保小组， 所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分法： 按照1、1、3分组或按照1、2、2分组；
若按照1、1、3分组,共有113
3
54332
2
60C C C A A ⨯=种分组方法； 若按照1、2、2分组,共有1223
54232
2
90C C C A A ⨯=种分组方法， 根据分类计数原理知共有60+90=150种分组方法. 故选：A. 【点睛】
本题考查排列、组合及简单计数问题，本题属于分组再分配问题，根据题意分析可分组方法进行分组再分配，按照分类计数原理相加即可，属于简单题. 12．A
【解析】
分析：先构造函数()
()x f x g x e
=
，再根据函数单调性解不等式. 详解：令()()x f x g x e =，因为()()
()0x
f x f x
g x e '-'=
<，(0)2g = 所以()2()(0)0x
f x e
g x g x >⇒>⇒< 因此解集为(),0-∞ ， 选A.
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e
=
，()()0f x f x '+<构造()()x
g x e f x =，()()xf x f x '<构造()
()f x g x x
=
，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．-3 【解析】 【分析】
作出不等式组对应的平面区域，设2z x y =-，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最小值，得到答案． 【详解】
由题意，画出约束条件所对应的平面区域，如图所示，
设2z x y =-，则2y x z =-，当直线2y x z =-过点A 时，直线2y x z =-在y 轴上的截距最大，此时目标函数2z x y =-取得最小值，
由10
10
x y y -+=⎧⎨
+=⎩ ，解得(2,1)A --，
所以目标函数的最小值为min 2(2)(1)3z =⨯---=-．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算
能力，属于基础题． 14．0.1359 【解析】 【分析】
根据正态分布，得出其均值和方差的值，根据3σ的原则和正态曲线的对称性可得. 【详解】
由题意可知，=1μ，=2σ，
()()()()11351221221121120.95440.68260.1359.22P X P X P X ∴≤≤=
-⨯≤<+⨯--⨯≤<+⨯=-=⎡⎤⎣
⎦ 故答案为0.1359. 【点睛】
本题考查正态分布曲线的对称性和3σ的原则，属于基础题. 15．(,2]-∞ 【解析】 【分析】
由题可知，P Q ⊆，分=P ∅和P ≠∅两种情况分类讨论，解不等式，求出实数a 的取值范围. 【详解】
2={|310}{|25}Q x x x x x -≤=-≤≤
P∪Q＝Q ，
P Q ∴⊆
（1）=P ∅，即121a a +>+，解得0a <
（2）P ≠∅，即12112215a a a a +≤+⎧⎪
+≥-⎨⎪+≤⎩
，解得02a ≤≤
综上所述，实数a 的取值范围为(,2]-∞. 故答案为(,2]-∞. 【点睛】
本题考查集合包含关系中的参数问题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用，含参集合问题常采用数轴法，借助集合之间的包含关系得到参数的范围，一定要注意=P ∅的情况. 16．
14
【解析】 【分析】
分别求出,m n 即可． 【详解】
从4条长度不同的线段中任取3条，共有4种取法，即4n =，可组成三角形的只有一种(2,3,4)，因此1m =，
∴1
4
m n =． 故答案为：1
4
．
【点睛】
本题考查事件的概念，求事件的个数．解题时可用列举法列出任取3条线段的所有可能以及满足组成三角形的个数，从而得n ，m ．列举法是我们常用的方法．能组成三角形的判定关键是两个较小的线段长之和大于最长的线段长度．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）不能；（2）
.
【解析】 【分析】
（1）把表格中的数据依次代入公式，算出与
比较大小，并下结论；
（2）服从二项分布
，直接套用公式求期望值.
【详解】
（1）由列联表中的数据， 可得
，
故不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关． （2）由2×2列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为
，
将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人， 恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为，
由题意得．
故随机变量的期望，
∴方差为．
【点睛】
由于A市所有参与调查的网民中总体是未知的，所以无法用超几何分布模型求解.
18．（1）5.3155；（5）6.5.
【解析】
试题分析：第一问根据频率公式求得，第二问在做题的过程中，利用题的条件确定销售量为1．5吨的频率为，可以判断出销售量为1．5吨的天数服从于二项分布，利用公式求得结果，第二小问首先确定出两天的销售量以及与之对应的概率，再根据销售量与利润的关系，求得的分布列和，利用离散型随机变量的分布列以及期望公式求得结果．
试题解析：（1）由题意知：a=5．5，b=5．3．
①依题意，随机选取一天，销售量为1．5吨的概率p=5．5，
设5天中该种商品有X天的销售量为1．5吨，
则X～B（5，5．5），
．
②两天的销售量可能为5,5．5,3,3．5,5．所以的可能取值为5，5，6，7，8，
则：，，
，，
，
的分布列为：
ξ 5 5 6 7 8
P 5．55 5．5 5．37 5．3 5．59
．
考点：独立重复实验，离散型随机变量的分布列与期望．
19．（1）见解析（2）22
【解析】
试题分析：（1）证明：在图中，由题意可知，
,BA PD ABCD ⊥为正方形，所以在图中，,2SA AB SA ⊥=，
四边形ABCD 是边长为2的正方形， 因为SB BC ⊥，AB ⊥BC ， 所以BC ⊥平面SAB ，
又SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA ，又SA ⊥AB ， 所以SA ⊥平面ABCD ，
（2）在AD 上取一点O ，使1
3
AO AD =，连接EO ． 因为1
3
SE SD =
，所以EO//SA 所以EO ⊥平面ABCD ，过O 作OH ⊥AC 交AC 于H ，连接EH ， 则AC ⊥平面EOH ，所以AC ⊥EH ．
所以EHO ∠为二面角E —AC —D 的平面角，
2433EO SA =
=在Rt AHO 中，22245,sin 453HAO HO AO ∠===⨯=…11分 tan 22EO
EHO OH
∠=
=，即二面角E —AC —D 的正切值为22 考点：线面垂直的判定及二面角求解
点评：本题中第二问求二面角采用的是作角求角的思路，在作角时常用三垂线定理法；此外还可用空间向量的方法求解；以A 为原点AB,AD,AS 为x,y,z 轴建立坐标系，写出各点坐标，代入向量计算公式即可 20． (Ⅰ)增区间为（1，+∞），(-,1∞-)，减区间为（-1,1）；(Ⅱ) 最小值为18-，最大值为2 【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先求函数的导数
，然后解
和
的解集；
（Ⅱ）根据上一问的单调区间，确定函数的端点值域极值，其中最大值就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值.
试题解析：（Ⅰ）根据题意，由于3
2
()3'()333(1)(1)f x x x f x x x x =-∴=-=+-
因为'()f x >0,得到x>1,x<-1,故可知()f x 在(,1)-∞-上是增函数，()f x 在(1,)+∞上是增函数，而
(1,1),x ∈-则'()0f x <，故()f x 在(1,1)-上是减函数
（Ⅱ）当3x =-时，()f x 在区间[-3,2]取到最小值为18-． 当12?x =-或时，()f x 在区间[-3,2]取到最大值为2. 考点：导数的基本运用
21．（1）221169x y -
=（2）216y x =- 【解析】 【分析】
（1）根据题意双曲线方程可设为()22
2210,0x y a b a b
-=>>,可得关于,a b 的方程组，进而求出双曲线的方
程．
（2）根据抛物线的顶点在原点，准线方程为4x =,可设抛物线方程为()2
20y px p =>,从而可求得抛物
线的方程． 【详解】
（1）解:依题意，双曲线的焦点坐标是()()125,0,5,0F F -
故双曲线的方程可设为()22
2210,0x y a b a b
-=>>
又∵双曲线的离心率54
e =
∴
554
a = 解得4,3a
b ==
∴双曲线的方程为22
1169
x y -
= （2）解:∵抛物线的顶点在原点，准线方程为4x = ∴可设抛物线方程为()2
20y px p =>
∵42
p
-
= ∴216p =-
∴抛物线方程为2
16y x =- 【点睛】
本题考查圆锥曲线的综合，主要考查椭圆、双曲线、抛物线的相关性质，是基础题.解题时需要认真审题. 22．（Ⅰ）[0,4]（Ⅱ）4a =-．
【解析】
分析：（1）由绝对值的几何意义知|x 11|22
a a x -
+-≥-，由不等式f （x ）≤2﹣|x ﹣1|有解，可得|1|12a
-≤，
即可求实数a 的取值范围；（2）当a ＜2时，画出函数的图像，利用函数f （x ）的最小值为3，求实数a 的值． 详解： （1）由题
，即为
． 而由绝对值的几何意义知， 由不等式
有解，∴，即
．
实数的取值范围．
（2）函数
的零点为
和，当
时知
.
如图可知在单调递减，在单调递增， ，得
（合题意），即
．
点睛：这个题目考查了含有绝对值的不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，以及函数的最值问题；一般对于解含有多个绝对值的不等式，根据零点分区间，将绝对值去掉，分段解不等式即可.。