2022年上海市嘉定区二模数学试卷(线下)

2021学年嘉定区第二次质量调研
数学试卷
（满分150分，考试时间100分钟）
考生注意：
1． 本试卷含三个大题，共25题；
2． 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一
律无效；
3． 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或
计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．下列实数中，属于无理数的是（▲） (A)
4； (B) 020020002.2； (C) 11； (D)
7
22． 2．下列关于x 的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（▲）
(A) 042
=+x ； (B) 022
=+x x ； (C) 0442
=+−x x ； (D) 022
=+−x x ． 3．如果将抛物线1)1(2
−+=x y 向上平移2个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（▲）
(A) )2,0(； (B) )0,2(； (C) )11(，
； (D) )11(，−． 4．数据1，1，1，2，4，2，2，4的众数是（▲）
(A)1； (B)2； (C)1或2； (D)1或2或4．
5．如图1，在等腰梯形ABCD 中，BC AD //，DC AB =，对角线
AC 、BD 相交于点O ，那么下列结论一定成立的是（▲） (A)CBA CAB ∠=∠； (B) ABC DAB ∠=∠； (C) DAB AOD ∠=∠； (D) ODA OAD ∠=∠．
6．在Rt △ABC 中， ︒=∠90C ，8=BC ，2tan =A ，以点A 为圆心，半径为8的圆记
作圆A ，那么下列说法正确的是（▲）
(A) 点C 在圆A 内，点B 在圆A 外； (B) 点C 在圆A 上，点B 在圆A 外； (C) 点C 、B 都在圆A 内； (D) 点C 、B 都在圆A 外．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7．计算：=−)21(2x ▲ ． 8．分解因式：=−a a 92
▲ ．
9．不等式
1221
>−x 的解集是 ▲ ． 10．计算：
=−+−−1
1
12x x x x ▲ ． 11．用换元法解方程
3222=+++x x x x 时，如果设y x x
=+2
，那么原方程可化为关于y 的整式方程是 ▲ ．
图1
12．如果正比例函数x k y )1(−=的图像经过点A )4,2(−，那么k 的值是 ▲
13．数据2−、1−、0、1、2的方差是 ▲ ．
14．在不透明的袋中装有5个红球、2个白球和1个黑球，它们除颜色外其它都相同，如果
从这不透明的袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为白球的概率是 ▲ ． 15．如图2，在△ABC 中，点D 在边BC 上，DC BD 2=，
设向量a AB =，b BC =，那么向量=DA ▲ （结果用a 、b 表示）． 16．已知圆1O 与圆2O 外切，其中圆2O 的半径是cm 4，
圆心距cm
O O 621=，那么圆1O 的半径是▲
cm ．
17．我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距．如图3，在△ABC 中，︒=∠45A ，
︒=∠30B ，CD 是△ABC 中边AB 上的高，如果6=BC ，那么△ADC 和△BCD 的重心距是 ▲ ．
18．在正方形ABCD 中，5=AB ，点E 在边BC 上，△ABE 沿直线AE 翻折后点B 落到
正方形ABCD 的内部点F ，联结BF 、CF 、DF ，如图4，如果︒=∠90BFC ，那么=DF ▲ ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）
计算：31
)2(1
21)21(2)
2
1(−−+
−+−．
20．（本题满分10分）
解方程组：⎩⎨⎧=−+=−．
，065822
2y xy x y x ②①
21．(本题满分10分，每小题满分各5分)
如图5，在△ABC 中，︒=∠90C ，BD 是△ABC 的角平分线，AB DE ⊥，垂足为
E ，已知16=AE ，5
3sin =
A ． （1）求CD 的长；
（2）求DBC ∠的余切值．
A B
C
D
图2
C B
D 图3 图4
22．(本题满分10分，每小题满分各5分)
已知直线)0(4≠+=k kx y 与双曲线都经过点),2(m A ． （1）如果点)6,2(−B 在直线)0(4≠+=k kx y 上，求m 的值；
（2）如果第三象限的点C 与点A 关于原点对称，点C 的纵坐标是3−，求双曲线的表达式． 23．（本题满分12分，每小题满分各6分)
如图6，在四边形ABCD 中，AC 是对角线，AD AC =，点E 在边BC 上，AE AB =，CAD BAE ∠=∠，联结DE ． （1）求证：DE BC =；
（2）当BC AC =时，求证：四边形ABCD 是平行四边形．
24．（本题满分12分，每小题满分各4分）
在平面直角坐标系xOy （如图7）中，已知抛物线32
++=bx ax y 经过点)0,3(A 、
)1,4(B 两点，与y 轴的交点为C 点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求四边形OABC 的面积；
（3）设抛物线32
++=bx ax y 的对称轴是直线l ，点
关于直线l 对称，在线段BC 上是否存在一点E 是菱形，如果存在，请求出点E
.
图6
图7
25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分4分）
在梯形ABCD 中，已知AB DC //，︒=∠90DAB ，3=DC ，6=DA ，9=AB ，点E 在射线AB 上，过点E 作AD EF //，交射线DC 于点F ，设x AE =． （1）当1=x 时，直线EF 与AC 交于点G 如图8，求GE 的长； （2）当3>x 时，直线EF 与射线CB 交于点H . ①当93<<x 时，动点M （与点A 、D 不重合）在边AD 上运动，且BE AM =，联结MH 交AC 于点N 如图9，随着动点M 的运动，试问HN CH :的值有没有变化，如果有变化，请说明你的理由；如果没有变化，请你求出HN CH :的值； ②联结AH ，如果CAD HAE ∠=∠，求x 的值．
A B
C
D F
E 图8
G A
B
C D F E
图9
H M N
A
B
C D 备用图
2021学年嘉定区第二次质量调研数学试卷参考答案及评分意见
一、1. C; 2. B; 3. D; 4. C; 5. D; 6. A.
二、7. 2−4x;8. a(a−9);9. x>6;10. 1;
11.2y2−3y+1=0;12. 3;13. 2; 14. 1
4
;
15.−a−2
3
b;16. 2;17. √3+1;18. √10.
三、19. 解原式=2+√2−2+√2+1−2√2………………8’
=1……………………………………………2’20.解由②得：(x+6y)(x−y)=0……………………2’
∴(x+6y)=0或(x−y)=0……………………2’
原方程组可变为：{x−2y=8
x+6y=0
，{
x−2y=8
x−y =0
……………2’
解这两个方程组得原方程组的解是：{x1=6
y1=−1，{x2=−8
y2=−8…4’21.解(1) ∵DE⊥AB∴∠AED=90°
在Rt△AED中，sin A=DE
DA
…………………………………1’
∵sin A=3
5∴DE
DA
=3
5
……………………………………1’
∵AE=16DE2+AE2=DA2∴DE=12 DA=20……1’∵BD平分∠ABC，∠AED=∠C=90°∴CD=DE ……1’
∴CD=12……………………………………………………1’(2)由(1)得 DA=20∴AC=32 ……………………………1’在Rt△ACB中，sin A=BC
AB
……………………………………1’∵BC2+AC2=AB2∴BC=24……………………………1’
在Rt△BCD中，cot∠DBC=BC
CD
………………………………1’又BC=24 CD=12∴cot∠DBC=2……………………1’
22.解(1) 由点B(−2,6)在直线y=kx+4上
∴6=−2k+4………………………………………………1’∴k=−1………………………………………………………1’∴直线的表达式是y=−x+4……………………………1’
∵点A(2,m)在直线y=−x+4上∴m=−2+4……1’
∴m=2………………………………………………………1’(2) 设所求的双曲线表达式是y=k
x
(k≠0)……………………1’∵第三象限点C与点A关于原点对称，
∴点A的纵坐标与点C的纵坐标是互为相反数………1’∵点C的纵坐标是-3 ∴点A的坐标是(2,3)……………1’
∵点A在双曲线y=k
x 上∴2=k
3
∴k=6……………1’
∴双曲线的表达式是y=6
x
…………………………………1’23.证明(1) ∵∠BAE=∠CAD∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC ∴∠BAC=∠EAD……………………………………………2’
在△BAC和△EAD中，{AB=AE
∠BAC=∠EAD
AC=AD
∴△BAC≌△EAD………………………………………………2’
∴BC=DE……………………………………………………2’(2) ∵AC=BC∴∠B=∠CAB
∵∠B+∠CAB+∠ACB=180°∴∠ACB=180°−2∠B
∵AB=AE∴∠B=∠AEB
∵∠B+∠AEB+∠BAE=180°∴∠BAE=180°−2∠B…1’∴∠ACB=∠BAE……………………………………………1’∵∠BAE=∠CAD∴∠ACB=∠CAD……………………1’∴AD // BC……………………………………………………1’∵AC=BC AC=AD∴BC=AD…………………………1’∴四边形ABCD是平行四边形…………………………………1’
24. 解(1) ∵抛物线y =ax 2+bx +3经过点A(3,0)、B(4,1)两点 ∴ {0= 9a +3b +31=16a +4b +3 …………………………………………… 1’
得 {a = 1
2 ……………………………………………………… 1’b =−5
2 …………………………………………………… 1’
∴ 抛物线的表达式是y =12
x 2−5
2
x +3 ………………………… 1’
(2) 联结OB ，点B 的坐标是(4,1) 由题意得S △BOC =1
2
×4×3=6
………………………………… 1’
S △OAB =12
×3×1=32 ………………………………………… 1’ ∵ S OABC =S △BOC +S △OAB …………………………………… 1’
∴ S OABC =6+3
2=
152
………………………………………… 1’
(3) 存在 …………………………………………………… 1’
由(1)可知：对称轴l 的表达式是直线x =2.5
∵点D 与点B 关于直线l 对称，点B 的坐标是(4,1) ∴点D 的坐标是(1,1) , 可以求得，DC =AD =√5，
直线BC 的表达式是y =−1
2
x +3，直线AD 的表达式是y =−1
2
x +3
2
，
∴ AD // BC …………………………………………………… 1’
只要AD =EC ，就能得到四边形ADCE 是菱形.
设点E 的坐标为(x,−1
2
x +3)，得√(x −0)2+(−1
2
x +3−3)2=√5
解得x =±2（负值舍去） …………………………………… 1’ ∴点E 的坐标为(2,2) …………………………………… 1’
∴在线段BC 上存在一点E ，使四边形ADCE 是菱形， 点E 的坐标为(2,2)
25.解(1) ∵DC // AB∴FC
AE =FG
GE
……………………………1’
∵EF // AD∴四边形AEFD是平行四边形∴DF=AE，AD=EF ∵ AE=x=1∴DF=1∵CD=3∴CF=2………1’又AD=6∴EF=6…………………………………………1’
∴FG=6−GE∴2
1=6−GE
GE
∴GE=2……………………1’
(2) ① CH∶ HN的值没有变化…………………………………1’过点C作CG⊥AB，垂足为G
由题意可知CG=AD=6DC=AG=3∵AB=9∴GB=6
∴△CGB是等腰直角三角形∴CB2=CG2+GB2∴CB=6√2…1’∴∠B=45°∠HEB=90°∴∠EHB=45°
∴∠B=∠EHB∴HE=BE∵AM=BE∴AM=HE 又AM // HE∴四边形AMHE是平行四边形…………1’∴MH // AB∴△CNH∽△C A B……………………………1’
∴CH
HN =CB
AB
………………………………………………………1’
∵AB=9∴CH
HN =6√2
9
=2√2
3
…………………………………1’
(2) ②当3<x<9时，由①得HE=BE∴HE=9−x
在Rt△CDA中，tan∠CAD=CD
AD =3
6
=1
2
在Rt△AEH中，tan∠HAE=HE
AE =9−x
x
∵∠CAD=∠HAE∴1
2=9−x
x
∴x=6……………………2’
当x>9时，同理得BE=EH∴EH=x−9=BE
同理EH
AE =1
2
∴x−9
x
=1
2
∴x=18
综上所述：x的值是6或18…………………………………2’。